Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 54
Текст из файла (страница 54)
родолжая этот процесс (дифференцируем — - подставляем— — »ЯЕМ вЂ” ПОЛУЧ »1 У» (Хь»'ь(Х У»1У21.. )ув). Сабе м и, ре полученные уравнения в систем: ф» У с5»»1(х У1)У21 ° ..)ув) 12 ~,7 ~2(2 У1,У2,...,У ), Й'у, С»ХЗ " З(~~ У»~ У21 ° ° ° , 'дл), (52.3 УД~ гь(Х' У1; У2;...; Ув). ( — ) УРавнений системы (52.3) выра в» »разин Рункции дз уз ". У "еречх,функци1ОР1 нее1»ро„во ы „» а ( 1) ' чим: 1 У» ~,У» . ПолуУз — Рвз(х~у» У» -- У» ) Уз = У»з(х'У» У»1.. )У» ) (52.4) Найденные значения.уз, уз,..., по ст з,..., У„подставим в последнее уравнение системы (52.3). Получим одно ДУ и-го по (52.
).. ДУ и-го порядка относительно искомо, функции у». — 1 = Ф(х;у»,. есть —;у»,'у»;...;У» ). Пусть его общее решени. П о У» = 121(х;с»,сз;,,;с„) Ролнфференцнровзв его (п ц ' водных у», " » ' 1) Раз и подставив значения про р и " Ура е с стем (52 41 У»пуз,... д„1 ), н дем функц »»»в 2»'1 С2 ~С»» П)тимор 52.1. Решить систему уравнений — = 4У вЂ” 32, с дя аз — = 2У вЂ” 32. 370 Е у' = 4у — 32, уа — 4у'+ бу = 92.
11ч первого уравнения системы выражаем 2 через у и д'. 4у — у' 3 11одставляем значение 2 во второе уравнение последней системы: 3 2: е. у" — у' — бу = О. Получили одно ЛОДУ второго порядка. Решаем шти )12 — 2 — 6 =. О, 21 = — 2, кз = 3 и у = с»е 2'+ сзез* -- общее решение уравнения. Находим функцию 2. Значения у и у' = (с»е *+ сзе ~)' = :. — '2с»е 22 + Зсзезк подставляем в выражение 2 через д и у' (формула (52.5)).
Получим: 2 = 2с»е 2*+ — сзез '. 32 Таким образам, общее решение данной системы уравнений имеет Замечанпа Систему уравнений (52.1) мох»»»о решать методам интегрируамых кимбпнаций. Суть метода состоит в том, что посредством арифметических операций из уравнений данной системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, т. е. легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции.
Проиллюстрируем технику этого метода на следукицем примере. < ~~ =у+1, »й дя »а Пример 52.2. Ре»пить систему уравнений; (,1 Решение: Сложим почленно данные уравяения: х'+у' = 2+у+2, или (х+У)' = (х+ у) + 2. Обозначим х+ у = 2. Тогда имеем 2' =- 2+2. Решаем полученное уравнение: — 2 = »й, 1п(2+ 2) — 1пс» = 1, + = е, »12 2+2 '2+2 С» 2+ 2 = с»е», или х + у = с»е» — 2. Получили так называемый первый пнтезрал системы. Из наго можно выразить одну нз искомых функций через другую, тем самым ~~ Решение: Прод»»фференцируем первое уравнение» уа = 4у' — 32'. 1й»дставляем 2' = 2У вЂ” 32 в полученное равенство: уа = 4У' — 3(2У вЂ” 32), »1" — 4У' + 6У = 92.
Составляем систему уравнений: уменьшить на единицу число искомых функций. Например, у = с>ег— — 2 — х. То>7>а первое уравнение системы примет вид < х = сте' — 2 — х+1, т.е. х'+х = с>е' — 1. Найця из него х (например, с помощью подстановки х = ис), найдем' и у. Замечанье. Данная система «позволяет» образовать еще одну интегрируемую комбинацию: х' — у' = — у — х, т. е.
(х — у)' = — (х — у). Положив х — у = р, имеем: р> = — р, или — к = — >й, 1пр — 1псг = — 1, 1( р — С, — 1 р = сге, или х — у = сге . Имел два первых интеграла системы, т. е. х+ у = сгег — 2 и х — у = сге ", легко найти (складывая и вычитая пер- --1 ые интегралы), что х = — с>е + -сге — 1 У = -с>е — 2о е — 1. ° 1 1 ! 52.3. Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнений (52.1) в случае, когда она представляет собой сис>лему линейных однородных ДУ с посл>олиными коз>1>4)ийаентлами, т.
е. систему вида с( В.— = аПУ> +ангУ2+... +а> У<е дуа =а„>У>+ахгУг+...+ а „У„. Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнешгй с тремя неизвестными функциями у>, уг и уз: ау> = ап у1 + аггуз + а> зуз, фгг = а21У1 + а22уг + агзуз, (52.6) Уз хх . аз1У1 + аз2уг + аззуз где все коэффициенты ае (г,,у = 1, 2, 3) — - постоянные. Будем искать частное решение системы (52.6) в виде У1 = о е *, уг = )> е"х< уз = 'у е х, (52.7) где а„,б, 7, к — постоянные, которые надо подобрать (найти) твк, чтобы функции (52.7) удовлетворяли системе (52.6) .
Подставив эти функции в систему (52.6) и сократив на множитель е~х ф О, получим: с ой = апо+ а>26 + агз7, 6п = аж о + аггд + агз7, 7й = аз>а + азгд+ азз7, !>лн > (ап — Й)о+ а>28+ агз ) = О, аг>О + (агг х)>> ) а237 О аз>с<+ азг)1 + (азз — к)7 — О. (52.8) 1)истему (52.8) можно рассматривать как одиороднук> систему трех ал- гебраических уравнений с тремя неизвестными о, )>, 7. 21тобы эта си- < гема имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы опре- л< литель системы был равен нулю: ап — й а«2 а21 а22 << аш азг (52.9) агз азз — к )"ч) Уравнение (52.9) называется харангперисгаичесним уравнением системы (52.6).
Раскрыв опрепелителгь получим уравнение тре- тьей степени относительно к. Рассмотрим возможные случаи. Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и рвзличньс 1'1, йг, йз. Для каждого корня 12 (1 = 1, 2, 3) напишем систе- му (52.8) и определим коэффициенты ог, 61, уг (один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким образом, получаем: О) 1<х О) для корня 91 частное решение системы (52.6): У1 — — о>е ", уг ы у(') — - еь *. (г) Ьх . Р) , 1„ (2) для корня йг — У1 = оге ', уг = > ге, Уз —— 72« (З) Ь„ (З) „ Ь,х (З) 1,„, длякорняиз — у1 =озе" уг =>зе уз =7зе Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систе- му, общее решение системы (52.6) записывается в вице у> — с>О1« + сгоге +свозе уг = с11)>е>в + сгибе~ ' + сздзе ." ', уз = с> уге~<х + сг ге"х + сз7зе"'х.
Пример 5й.д. Решить систему уравнений Д~. = У> — Уг, с( — Я- = -4У1 +уг О Решение: Характеристическое уравнение (52.9) данной системы имеет вид 1 — к — ) — 4 1 — к =О, или 1 — 2Й+кг — 4 = О, к~ — 2Й вЂ” 3 = О, к1 = — 1, кг = 3. Частные решения „(1) Их (1) Л Их я (2) Нх данной сн емы ищем в виде У1 — о!е 1 уг — — >61е у1' — — 2 ' х у( ) = )>ге~1*.
Найдем о; и 61 (1 = 1, 2). 372 1 0 1 — й — 1 3 1 — Ь 1 — Ь вЂ” 1 0 Е (1 — ( — 1))ог — А = О, — 4ог + (1 — ( — 1)Ю1 = О, 2ог — Д =О, т. е. — 4ог + 2Д = 0 =О, — 1 ° =О, 3 1 — 61 '~О Р~()=е * и Рз()=2е '. (1 — Ь)(йз — 26 + 5) = О, Ьз = 1 — 2з. Ь)(йз 26-,4) (Ь Ц = О, й, =1, Ьг =1+2' — 2аз — ))з = 0~ — 4ог — 2)9з = О.
для Ьг = 1 получаем О - ог +)Зг + 0. 7г = Π—,+о р -ъ=о, О ° о~+ЗРи+О 71 =-0 Р) зх Уг и р( ) 2езх — 2(ох+ бз — — О, — оз — 2Юз — ')г = 0 3)1з — 2пуз = О. 375 При Й1 —— — 1 система (52.8) имеет вид Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим аг = 1, тогда Д = 2. Получаем частные решения При йз = 3 система (52.8) имеет виц Положим аг = 1, тогда дз = — 2. Значит, корню Ьз = 3 соответствуют частные решения: Общее решение исходной системы, согласно формуле (52.10), запишетса в виде: Рг = сгз *+ сзез, Рз = 2сге * — 2сзез-.
Ф Слрчай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: Ьг = а+ (Ь, Ьз = а — (Ь, Ьз. Вид частных решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1. Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять их линейные комбинации (и. 50.1, случай 3), применяя формулы Эйлера; в результате получим два действительных решения, оодержащнх функции вида еак . соз Ьх, е'* . з)пдт. Или, выдвпяя действительные и мнимые части в найденных коьшлекснггх частных решениях, получим два действительных частных решения (можно показать, что они тоже являются решениями уравнения).
При этом понятно, что комплексно- сопряженный корень Ьз = а — (6 не даст новых линейно независимых действительных решений. ПРимеР Бх 4 Найти частное решение системы г)х = Р1+Рз г( г 8. = -Рг+Рг — Рз, ф =Зрз+рз, удовлетворяющее начальным условиям: Р (О) = 7, „. (О) — 2 Рз(0) 1~) решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение: (см (52 8)) ()гсюда находим; ф1 = Ор о1 = ( )~ ,(Ц,,(В О (г)— Ча но. решение сисжмы= Р1 — е рз - Рз е д,„я йз = 1-)- 21 получаем (см. (52.8))-' Отсюда находим: оз = 1 (положили),,Вз = 2(, уз = 3.
Частное комплексное решение системы: рг =е, Рз =(е, рз (з) (1+зг)* Р) 2. Р+ж)г Р) 3 (г+г()з В найденнык решенияк выделим действительную (Ве) и мнимую (1ш) части: (г) = еР" зг)* = е'(сов 2х+ зз)п2х), В.ер(1=с соз2х, 1щр, =е зш2х; з) г Р) Р) — 2(е(г-ьзг)* = е*(2(соз2х — 2зш2х), Вер( ) = — 2е з1п2х, 1щрз —— 2е соз2х; з х , , (2) з з дз — — е Р) ЗеР "збг — е*(3 сов 2х + 13 юп2х), Вед( ) = Зе*соз2х, 1пгрз = Зе зш2х. х, (2) г Как уже отмечено, корень Ьз — — 1 — 21 приведет к этим же самым реше- ни.йм. Таким образом, общее решение системы имеет внд Уг =сге + сге*соз2х+сзе*з1п2х, Уз = сг 0 — 2сзе* зш 2х + 2сзе* соз 2х, Уз = — сге*+ Зоге соз2х'+ Зеве з)п2х Выделим частное решение системы. Прн заданных начальных условя ях получаем систему уравнений для определения постоянных сг, сг, сг Е 7 = сг + сг + О, 2=0 — О+2цм 1 = — сг+Зсз+О ==аког=б, сз=2, сз=1 Следовательно, искомое частное решение имеет вид уг = 5е*+ 2е'соз2х+ в*вп2х, уз = — 4е*зш2гг й 2е*соз2х, уз = — бе*+ бе" соз2х+ Зе*зш2х.
Ф ХХригиер ох.Б. Решить систему уравнений: ,~. =Уг Уз+Уз Хх — Уг + Уг Уз Уз = — уг+ 2уз. (;) Решение: Составляем н решаем характеристическое уравнение 1 — У вЂ” 1 1 1 1 — з — 1 0 — 1 2 — к =О, Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень к кратности т (т = 2, 3). Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде: а) если гп = 2, то Уг —— (А + Вх)еь*, Уз — — (С+ Х)х)ег, Уз = = (Е+ Ех)еь'; б) если т = 3, то уз = (А+ Вх+Схг)е"*, уг = (В+ Ех+.Рхз)е™, уз = (С+ Нх+ Жхз)еь*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
