Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Теория тройноп1 интеграла аналогична теории двойного интеграла. Поэтому изложим ео в пегхголько сокращенном виде. Пусть в замкнутой области Ъ' пространства Отух задана непрерывная функция и = у(х; у; 2). Разбив область )г сеткой поверхностей ва и частей 1:; (1 = 1, и) и выбрав в каждой из них произвольную точку м1(х;;у;;21), составим интегральную сумму у у(х1„уг;21)ьъ1 для 1=1 функции у(х; у; 2) по области (г (здесь гхХ1 — объем элементарной обла- И). Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа и таким образом, что каждая «элементарная область» И стягивается в точку (21 с. диаметр области 111 стремится к нулю, т.
е. дг — у 0), то его называют трооным ипп2егроло и от функции в = Дх; у; 2) по области )г и обозначают Щгм,;а '«ь (. Щго;~;.~.). Таким образом, цо определению, имеем: Здесь пе = гух ду 112 — элемент объема. Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл: 1 ц/ с. г(х; у 2) 11э = с . Ц/ ((х; у; 2) г(э, с — сопвС. 6. Оценка тройного интеграла: .1 <Ц«у(х;„;х)1в<И р; Рис. 226 Рис. 225 (54.3) 393 2.
«««Ц1(х;й;з) ~ ~я(х;у;я))ив = т 1 (х1 55 х) вв х Ц«(2 (х1 Гй 3)) дв. и 3. Ц«,((х;р;з)с1в = «««ях;551г) Й~+ «Ц((х;р;з)дв, если Г и н 1ь = $'1 () Ъз, а пересечение Ь~ и 12 состоит из границы, их разделяющей 4. Щ Дх;р; з) се ) О, если в области Ъ" функция г(х;у;з) > О. Если в области интегрирования г'(х; урх) > р(х; 551 з), то и «««)(и;у; )г(и > Ц«р( -,ргх)~1, 5. Щ Й~ = 'г', так как в случае 1'(х; р; з) = 1 любая интетральная сумма имеет вид 2,ЬЪ'„= $' и численно равна объему тела. где т и И вЂ” соответственно наименьшее и наибольшее значения функ- ции )'(х; рг к) в области Ь'. 7. Теорема о среднем значении: если функпия Дх; 55 з) непрерь на в замкнутой области Р, то в этой области существует такая то ' Иа(хо; ро1зо)> что «««Ях;Их)г1в= 1(хо рв;хо).К, где Ъ' — объем чела. 54.2.
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к носледовагелыюму вычислению трех определенных интегралов. Пусть областью интегрирования Г' является тело, ограниченное снизу гщверхностью з = я1(х; у), сверху — поверхностью з = зз(х; р), причем з1(х;р) и зз(х;р) (з1(х;р) < зз(х;р)) — непрерывныефункции в замкнутой области Р, являющейся проекцией тела на плоскость Охр 1гм. рис. 225). Будем считать область Ъ' --. правильной в направлении вси Оз: любая прямая, параллельная оси Оз, пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в о6ласти Г функции Дх; Ьй х) имеет место формула «2(юР) Щя*;р;*)и =Ц( 1 н*;у; ~ь)ь, (54в и и 1*и) водящая вычисление тройного интеграла к вычислению двойного инп трала от однократного (доказателыггво формулы (54.2) не приводим).
11ри этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной з ори постоянных х и р в пределах изменения г. Нижней границей интеграла является аппликата точки А — точки входа прямой, параллельной оси Оз в область |', т. е. х = з1 (х; р); верхней границей — аппликата 1 1 точки  — точки выхода прямой из области Г, т. е. я = зз(х; р), Результат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных: хир, Если область Р ограничена линиями х = а, х = Ь (а < Ь), р = х1 (х) и у = ср~(х), где д1 (х) и уз(х) — непрерывные на отрезке [а, Ь] функции, причем ~р1 (х) < дз(х) (см. рис.
226), то, переходя от двойного интеграла но области Р к повторному, получаем формулу по которой вычисляетю тройной интеграл в декартовых координатах.. При мер 54.1. Вычислить ))) (х+ ) 11х11У 112, д» дк д ди д» О~о дк дк ду ди д» дм д» д» д» ди д» ды 1(и;исш) = о о 1 ( 2)1 о о о о 2 х=г.сову, у=г о1пу», 2=2 3 2 1 1 2 1 15 1 4 3 4 24 3 24 24 4 (г 3 О, ог Е (О; 2х], 2 6 Й). 395 Замечания. 1. Если область Ъ' более сложная, чем рассмогреннвя„то ее слеоу1 т разбить на конечное число таких областей (правильных), к которым можно применить формулу (54.3). 2. Порядок интегрирования в формуле (54.3), при определенных условиях, может быть иным. где Ъ' ограничена плоскостями х = О, у = О, 2 = 1, х + у + 2 = 2 (рнс.
227). (~ Решение: Область 1' является правильной Рис. 222 4 в поправлении оси Ог (как, заметим, в в направлении осей Ох и Оу). Ее проекция на плоскость Оху является пра- 1' вильной в направления оси Оу (и оси Ох). Согласно формуле (54.3), '-' имеем: 1 — » г — » — о )О(я+2)1(хду112 = ~11х / 11У ) (х+ 2) Дг = 1 1-» (2 — х — )2 = )»1х ) (2х — хг — ху — х+ — — )11у = 2 2 1 г у (2 — х — у) 1 1- 2 2 » ( 2 )1 о Г ~ г г з х(1 — х) 1 (2 — х) 1 1 =)(х — х — х +х — — — — + — — + — х) ах 2 б б 2 2 ) о 54.3.
Замена переменных е тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла е цилиндрических и сферических координатах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто применяется метод подстановки, т. е. совершается преобразование перемени ых. Пусть совершена подствловка х = 1о(и;е;го), у = Ф(и;и;го), 2 = —. т(и;и;ю). Если эти функции имеют в некоторой области У* про:транства Оииго непрерывные частные производные и отличный от нуля опрацелиюль то справедлива о1ормула замены переменных в тройном интеграле: ))) 1(х;у; )11хг124 = Щ 2»(у1(и; ирш); ~(и; и; 1г); х(и; и; ю)) .
~Е(и; и; го) / г(и 11и 111о. (54.4) Здесь 1(и; и; ю) — — определитель Якоби, или якобиан преобразования (примем без докдзательства). Для вычисления тройного интеграла часто используют так назывземые цилиндрические координаты. Положение точки М(х; у; 2) в пространстве Охуг можно определить заданием грех М(х; у; 2) чисел г, 12, 2, где 1. — длина радиуса-вектора проекции точки М на плоскость Оху, ог-- О угол, образованный этим радиусом-векто- т У ром с осью Ох, 2 — аппликата точки М (см.
р рис. 228). х Этн три числа (г, 12, я) называются пи- рис. 228 линдрическими ноординатпоми точки М. Цилиндрические координаты точки связаны с ее декарп1выми координатами следующими соотношениями: Вя Вг да % де з вх ьв в в дт ве дя совр — т яп у 0 з1пу тсозу 0 0 0 1 Х(т;у;г) = =т>0. (54.5) Рве.
230 Рис. 229 Х(т;у;г) = ~ созуапВ рсозусовВ сов — рзплВ то ЩХ(х;р;г)4хВУВг = — ! - /л:ьг /~~+ л Возьмем в ка гестве и, е, ш цилиндрические координаты т„у, г а вычислим якобиан преобразования: Формула замены переменных (54.4) принимает вид гЩ Х(х; р; г) гЬ гХрг1г = гЩ Х(ссажу; т з1п~у; г)т г(т Йр гЬ. к $" Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по т, по у и по г аналогично тому, как зто делается В декартовых координатах. Замечание. К цилиндрическим координатам бывает удобно пере ти в случае, если область интегрирования образована цилиндрическ поверхностью.
Пример 54.я. Вычислить гЩ г г(х г)р гЬ, где Ъ' — область, ог к ниченная верхней частью конуса х +р = г и плоскостью г = 1. (,1 Решение: На рис. 229 изображена область интегрирования 1~. Вь числим интсгрвл путем перехода к цилиндрическим координатам: х сову, р = т япу, г = г. Здесь гЬгХргХг = т г(тглугЬ. Урзанени конусаприметвидтгсовггр+тазш у = гг,т.
е. г = т. Уравнениеокруж г 2 ности хг + рг = 1 (границы области П) зацишстся так: т = 1. Новь переменные изменяются в следующих предслахг т — от 0 до 1, у -- о О до 2.г, а г — от т до 1 (прямая, параллельная оси Ог, пересеквющ область О, входит в конус г = т и выходит из него на высоте г = 1). Таким образом, согласно формуле (54.5), получаем: г.
ЩггХхгХргЬ = Щг.т сЬ дусЬ = ( Йр/ тгХт~ ггЬ = Ъ Ъ а о гг ! г 1 г~г 1 1 г / гХу ~тг(т — -~ = ( глгр/ т. ( )глт= е о о о о о Заметим, что, не переходя к цилицарическим координатам, нолу чим: лГЛ:Р" Щг-гХхг(ргХ = ~ г(х (Г г(р ~ г г1г. Сферическими координатами точки ЛХ(х; р; г) пространства Охрг называется тройка чисел р, у, В, где р — длина радиуса-вектора точки М, у -- угол, образованный проекцией радиуса-вектора ОМ на плоскость Охр и осью Ох,  — угол отклонения радиуса-вектора ОЛХ ог пси Ог (см. рис. 230).
Сферические координаты р, у, В связаны с декартовыми координатами х, р, г соотношениями: х = рссеу ° апВ, р = ряпу.апВ, г = рсовВ (р > О, 0 < у < 2х, 0 < В < х). В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно производить, перейдя к сферическим координатам. Для этого нужно воспользоваться формулой замены переменных в тройном интеграле (54.4).
Так как якобивн преобразования сгеуап — ряпувшВ рсозусозВ зуглув1пВ рсхеуз1пВ рвшусозВ сов В 0 — ран В япуяпВ рв1ллусозВ = Рап'Рз1пВ ' В - В + сов — рзш = рапуяпВ( — рзшуьйпг — ряллусозгВ)+ + рсозузупВ( — рссвуз1п  — рсозусовгВ) = — ргяпг узшВ 1 — р созгуяпВ.1= — р в1пВ.1 = — р япВ, = ЯХ(рсоз2221пВ;рзупгрзпгВ;рсозВ) .р з|пВ гурйрЮ. (54.6 Ъ'* Замечание, Переходить к сферическим координатам удобно, ког область интегрирования Ъ' есть шар (уравнепие его границы х2 + у2 + 2 = Хг в сферических координатах имеет вид р = Л) или его час а также осли подынтегральная функция имеет вид Яхт + уз + 22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
