Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Рнс. 235 Д Разобьем кривую АВ на и элементарных дуг ЛХ; 2ЛХ; (Х = 1 тв). 2 —,П. женно участок дуги однородным, т. е. считал, что плотность в каждой точке дуги такал же, как и в точке (х;; у;); найдем приближенное значение массы тв дуги й; ;1М;: т; - У(хбУт)Ые С Суммируя, находим приблиясенное значение массы т: ) 7(хб ув)с212. (55.7) с=.-1 За массу кривой АВ примем предел суммы (55.7) при условии, что шах с112 — + О (п -+ оо), т. е.
— йш ~~ у(хЗ.- у.) А1 1 х.и;- о1;, нли, согласно формуле (55.2), т= / у(х;у)сН. АВ (Заметим, что предел существует, и:лн кривая А В гладкая, а плотность задана непрерывной в каждой точке АВ функцией.) ° 40б Масса кривой Масса материальной кривой АВ (провод, цепь, трос,... ) определяется формулой т = / у(М)й, где у = у(М) = у(х;у) — — плотность АВ кривой в точке М. Статические моменты, центр тяжести Статические ьюмепты относительно осей Ох и Оу и координаты центра тяжести материальной кривой АВ определяются по формулам Я, = ~ у "Дх;у)с11, 5„= (' х. ~(х;у)й1, х, =. — ", ус = — '. АВ АВ Моменты инерции Для материальной кривой АВ моменты 1,, 1„, 1о инерпии относите пьно осей Ох, Оу и начала координат соответственно равны: / у 'у(х;у)А1, 12 = ~ х -у(х;у)с(1, Хо = ~(х +у )-"у(х;у)сй.
АВ 2 2 2 Пример ББ.й. Найти центр тяжести палуокружиости х + у = ХХ, лежащей в верхней папуплоскости. Плотность считать равной единице в каждой точке кривой (у = 1). 1 1 Решение: Из соображений симметрии ясно, что центр тяжести находится на оси Оу (см. рис. 236). Поэтому хс = О. Орднната центра тяжести (у Ау АВ Ус = АВ Знаменатель дроби — длина полуокружности. Рнс. 23б Поэтому ~ сН = кй. АВ Для вычисления числителя воспользуемся параметрическими уравнениями окружности х = Хс'сов 1, у = Ввп1 Х, О < Х ( к. Иьнжм: и у сП = / Яйп1 ХР21п21+ Ввсов21.
ой = ХХ2 ~ вшХсХХ = 2Д2. АВ о Следовательно, у, .= — = —. Итак, х„= О, у, = —. 2Д2 2В 211 35б. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ РОДА 5б.1. Основные понятия Решение задачи о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) приводит к понятию криволинейного интеграла П рода. Криволинейный интеграл П рода определяется почти так же, как и интеграл 1 рода.
407 (56А АВ то / О(х; у) / Сг(х; у)ду = 0 (все 11у1 = 0). в / Р(х; у) дЬ+ О(х; у) ду АВ определяется равенством 400 409 Пусть в плоскости О«у задала непрерывная кривая АВ (или В) и функция Р(х; у), определенная в каждой точке кривой. Разобьем крн- вуюАВ точками ЛХо = А,М1,...,М = В в направлснииотточки А к точке В на н дуг К 1Й1 с длинами Ь11 (1 —.- 1, 2,..., н). На каждой «элементарной дуге» ЛХ; 1ЛХ; возьмем точку (хбу;) н саста вим сумму вида где Ьх1 = х1 х 1 — проекция д ЛХ1 1ЛХ1 на ось Ох (см.
рис. 237). Сумму (56.1) называют ингаеграл Рнс. 237 ной суммой длл функции Р(хд у) но не ременноЬ х. Таких сумм можно сост вить бесчисленное множест1ю. (Отличие сумм (55.1) и (56.1) очевидно. Если при Л = 1пах Ь11 -+ 0 интегральная сумма (56.1) имеет к 141(п нечный предел, ве зависящий ни от способа разбиения кривой АВ от выбора точек (х1; у;), то его называют криеолинейпым ингаеграло но координате 1е (или П рода) от функции Р(х;у) по кривой АВ обозначан1т ~ Р(х;у) дх илн / Р(х;у) дх.
АВ 1 Итак, Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции 1„>(х' ) по координате у1 1у где Ьу1 -- проекция луги Й, .1М1 на ось Оу. Криволинейный игппегрол П рода общего вида / Р(х;у)дх+Ц(хП1)ду = / Р(х;у)дх+ / (,)(х;у)дх. АВ АВ АВ Криволинейныйинтеграл / Фх у г) +С( '"* цо пространственной кривой Х определяется аналогично. О1метим лишь некоторые свойства криволинейного интеграла П рода. 1.
При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл П рода изменяет свой знак на противоположный, т. е. (проекция дуги М; 1Й1 на оси Ох и Оу меня1от знаки с изменением направления). 2. Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т. е. 3. Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ох, Р(т; у)дх = 0 (все 61х1 = 0); аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Оу: 4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается ) не зависит от выбора начальной точки (зависнт только ог направления обхода кривой). 1,.1 Действительно, А~пСпл Аыо Спл (см. рис. 238).
С другой стороны, оплппн нпл лспо Таким образом, лшппл СпЛппп 11 частности, Р( ° у) ь(х = / Р(х; х(х)) ь1т. (56.6) лв ш ьчислясгся по формуле Рис. 239 410 56.2. Вычисление криволинейного интеграла П рода Вычисление криволинейного интеграла П рода, как и 1 рода„может быть сведено к вычислению определенного интеграла. Параметрическое представление кривой интегрирования П усть кривая АВ задана парамегрическими уравнениями х =. х(г)' н у = у(г), где функции х(Ь) и у(Х) непрерывны вместе со своими п изводпыми х'(Ь) и у'(Ь) на отрезке [сь; Я, причем начальной точке кривой соответствует значение параметра г = а, а конечной точке В значение г = )3. И пусть функция Р(»;у) непрерывна на кривой А.
Тогда, по определению, Р(х у)ьь» = 1[ш ~~~ Р(хнуь)дхь лв <л ьо1 ьм Преобразуем интегральную сумму к переменной С Так как Ахь = х,, — хь ь = х(ьь) — х(ьь, ), то по формуле Лагранжа (см. (25.2)) имеем: ььхь = х'(сь)А Ьь, где с; е (гь-Нгг)~ ььгь = ь» гь — о Выберем точку (х;; у;) так, чтобы х; = х(с,), у; = — у(с;). Тогда и и образованная интткрвльная сумма лт Р(х(с,);у(сь)) .
х'(с;) . М; буд пи интегральной суммой для функции одной переменной Р(х(Ь); у(ь)) х'(Ь на промежутке [а;Я. Поэтому Р / Р(х;у) ь(х = / Р(х(1);у(Ь))х'(1) гй. (56.2 лв и Аналогично получаем: / О(» У) У = / Ях(г). У(г))У'(Ь) а. (56 3) лв и Складывая почленно полученные равенства (56.2) и (56.3), полу чаем: (-;у) 4 +Е- у) 4: = /(Р(х(Ь);у(Ь))"(Ь) О(х(Ь);, (Ь))у'(Ь)) 4 лв и (56 4 Нанос представление кривой интегрирования Если кривая АВ задана уравнением у = ьь(х), х Е [а; Ь), где фувкппз ьл(х) и ее производная ~р'(х) непрерывны на отрезке [а; Ь[, то нз )п~рмулы (56.4), приняв х за параметр, имеем параметрические уравнивая кривой АВ: х = х, у = ~р(х), х е [а; Ь) откуда получим: ь /' Р(х;у) 4,+О(х;у)<Ку = / [Р(~;~(х))+О(х ~(х))Ь"(х)] 4 ("') Если А — гладкая пространственная кривая, которая описываегся непрерывнымн на отрезке [а; Я функциями х = х(Ь), у = у(г) и '.
= я(г), то криволинейный интеграл Р(х; у; х) Нх + бп~(х; у; х) ь(у + В(х; у; х) ь(х Р дх + < > ьЬу + В дз -- / [Х (х(ь) у(Ь), (Ь)) х (Ь)+ лв +Ю (х(Ь); у(ь)пх(Ь)) у'(Ь) + В(»(Ь); у(ь) пк(Ь)) '(Ь)1 ьй (56.7) Замечание. Криволинейные интегралы 1 и П рода связаны соотношением / Рдх+ ь„>ь(у = / (Рстеа+ ьп'оззд') оь, где а.
и р' — углы, лп лв образованные касательной к кривой АВ в точке М(»; у) с осями Ох и Оу ьтютветственно. Пример 56.1. Вычислить 1 = / (х — у) ь(х + (х + у)~ ду, В— ломаная ОАВ, где О(0; 0), А(2; 0), В(4; 2)- О Решение: Так как В = ОАВ =- ОА + АВ (см. рис. 239), то 1 = / = / + ь ол лв Уравнение отрезка ОА есть у = О, 0 < х ( 2; уравнение отрезка АВ: у = х — 2, х е [2; 41 Со- гласно формуле (56.5), имеем: 1 =.
(' [(х — 0)г ~- О) сЬ + г~'12г + (2 — 2)г 11 сЬ = о г +4х~ + —. ~ = — +(16 — 8)+ -(216 — 8) = —. ° 1 (2х — 2)з!' 8 1 136 3 )о )г 2 3 )г 3 6 3 ХХр,,мв 5в.х. Вычислить 1 = ~ уг Ох+(хг+г) с!р+(х+у+зг) сЬ, 1 -- отрезок прямой в пространстве от точки А(1;0;2) до точки В(3; 1; 4). О Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки А я ! 2 1 2 или в параметрической форме: х = 2с+ 1, р = ь, у з = 2с+ 2. При перемещении от точки А к точке В параметр ь' меняется ' от 0 до 1. Х!о формуле (56.7) находим, что 1= ~~ьг 2+((21+1) +21+2) 1+(21+1-~-Ь+(21+2)г) ° 2~сй 95 = ~ (1418 + 281+ 13) Ф = --. 3 о Бб.З. Формула Остроградского-Грина Связь между двойным интегралом по области В и криволиней ным интегралом по границе Х, этой области устанавливает формула Остроградского-Грина, которая широко применяется в математическом анализе.
Пусть на плоскости Охр задана область В, ограниченная кривой, пересекающейся с прямыми, параллельными координатным осям но более чем в двух точках, т. е. область  — правильная. Теорема 56.2. Если функции Р(х;у) и ®х;р) непрерывны вместе со своими частными производными — — и — ~ в области В, то имеет ду дх место формула ~~~( — — — ) сЬс)у = ~ РсЬ+ Яс(у, (56.8) ОО ОР где Х вЂ” грзнис(з области Ври интегрирбвзние вдоль кривой В производится в положительном направлении (при движении вдоль кривой, область В остается слева). ь ~'! ) О1' '0 — сЬ с!р = ( ссх / — ссу = и'" ь я „!.) = / сЬ. Р(х„у)/ »» ья) ь»» ь = ~ р(х;у»г(х)) с!х — ~Р(х;Ьо,(х)) с1х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
