Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 62
Текст из файла (страница 62)
51 Я» Яз 58.2. Вычисление поверхностного интеграла И рода Вычисление поверхностного н1ггеграла П рода сводится к вычислению двойного интеграла. Пусть функция В(з; у; х) непрерывна во всех точках поверхности Я, заданной уравнением « = в(х; у), где х(я; у) — непрерывнвл функк(ия в замкнутой области О (или Ю„„) — проекции поверхности Я на плоскость Оку. Выберем ту сторону поверхности Я, где нормаль к ней образует с осью Оз острый угол. Тогда Ьп1 > О (1 = 1, 2,..., и). Так как «1 = «(к;; у1), то интегральная сумма (58.1) может быть записана в виде В(к1; У1гк1)Ьп1 = ~~ Р»(к1, У1» к(х1; у»))»»п1.
(582) »=-1 1=1 Правая часть етого равенства есть интегральная сумма для функции Я(кй у; х(к; у)), непрерывной в области В. Переходя к пределу в равенстве (58.2) при Л вЂ” + О, получаем формулу где Р, б), Š— непрерывные функции, определенные и точках двусто- ронней поверхности Я. Ц 1((х~ У( х) г(а 1(у = Д Е(х; У; з(т; У)) дх ду, (58.3) выражающую поверхностный интеграл П рода по переменным к и у через двойной интеграл. Если выбрать вторую сторону, т.
е. нижнюю, поверхности Я, го полученный двойной интеграл берут со знаком « нус». Поэтому Ц В(х;у<х)дхду =+ЦВ(х;у1я(х;у)) йхду. Аналогично Ц1*1(х~у~ ») дхдх — + Ц Г;у(х;у(х,з)< а) дхдз, (58.5 3 о„ ЦР(х;У;«)дуй»=+ Ц Р(х(у;«);у<я)дуда, (58. Я ~<* где ГУ, и О„, — проекции поверхности Я па плоскости Охз и О соответственно (замкнутые области). В формуле (58.5) поверхность Я задана уравнением у = у(х; »), в формуле (58.6) -- уравнопием х = х(у; г). Знаки, перед интегралам вь<бирш<тгся в зависимости от ориентации поверхности Я (так, в фо муле (58.5) берем знак «плюс», если нормаль к поверхности образу с осью Оу острый угол, а знак «минус» — если тупой угол). Дая вь<числепия общего поверхностного интеграла П рода испо зуют формулы (58.4) (58.6), проектируя поверхность В на все три к ординатные плоскости: ~ Р(х; у;з) йудз+ <з(х; у;з) йт <Ь+ В(х;у; з) йхйу = (58.4 = х Ц Р(х(у1я);у;я) ду<Ь Е х Ц Я(х;у(х;«)<я) дхдз х Ц В(х;уия(х; у)) дхду.
ЦРдудз+Одхд«+Вдхду = Ц(Рсоа«+1„ус<ад+Вова у) <Ь. (58.8) При.мер БВ.1. Вычислить 1, = Ц вЂ” дуй. + здвйх+ 5дхду по верхней стороне части плоскости 2х — 3у + з = 6, лежащей в Гт' октанте. хз„ <з.„ Замечание. Можно показать справедливость равенств диду = соз.у <Ь, йх<Ь = созд ° <Ь, дусЬ = созе <Ь, (58. где <Ь вЂ” элемент площади поверхности Я; сов «, сов 11, соз.у — направляющие косинусы нормали и к выбранной стороне поверхности Я. Г!оверхностныо интегралы 1 и П рода связаны соотношением <,,у Решение: На рисунке 253 изображена заданная <асть плоскости. Нормаль и, соответствующая указанной стороне поверхности, образует с осью Оу тупой угол, а с осями Ох и О» —. острые. В этом можно убедиться, найдя направляющие косинусы нормального вектора и = (2; — 3; 1) плоскости: 2 сова= >О, ьУГ4 1 соз у= >О.
/144 и <т< 0~ < = <<, 3 сову< = — — ~ О, /144 Рис. 253 Г< = + Ц ( — 3 — — у+ — ) дудг — Ц «дядя+ 5 Ц йхйу = Р„, Р.„ о аз<а з е — гм ( ду ~ ( — 3 — — у+ — з))дз — ~<Ь (' яда+5 —.2 3 = — 9. ° о о 2 о 58.3. Формула Остроградского — Гаусса Связь между поверхностным интегралом П рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью устанавливает следующая теорема.
Теорема 58.1. Если функции Р(х;уия), ГУ(х;у1 я), В(х;у< я) непре- рывны вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной области Г', то имеет место формула ~Ц ( — + — + — ~ йх ду дз = ф Р ду два йх да+ В дх ду, (58.9) дР дГ„1 дВ где Я вЂ” ~раница области Ъ' и интегрирование по Я производится по ее внешней стороне. Формула (58.9) называется <5ормулой Осп<роарадокого Гаусса (является аналогом формулы Остроградского — Грина (см. п.
56.3). ( 1 Пусть область 1«ограничена снизу поверхностью Я<, уравнение которой х = з<(х;у); сверху — поверхностью Яз, уравнение которой Поэтому перед двойными интегралами в формулах (58.4) и (58.6) <ледует брать знак «плюс», а в формуле (58.5) — знак «минус». Следовательно, < то Рассмотрим тройной интеграл Рис. 254 но вычислить иначе 1, =1-Ц-Ц-Ц, Я, Яз Имеем: 1з = — 6+ Ц 5з(хо(у — Ц (ОАС) (мзв) Рис. 255 3 6-зз 5.
—.2 3 — (' 6(х (' гз(г =- 1 2 + Ц (-О) ду аг = -6+ (сов) 1 « =+9 — — ~ (6 — 2х) 6)х 2 о о (6 2х)з ~з БВ 4 Формула Стокса г = гз(х(у) (функции гз(х; у) и гг(х;у) непрерывны в,замкнутой обл сти 1) - проекции Г' на плоскость Оху, г1(х) у) < гг(х; у)); сбоку . цилиндрической поверхностью Вз, образующие которой параллелью оси Ог (см. рис. 254).
Я вЂ” з1хз(уз(г = У «2(«щ) д11 =Ц Ьду ~ — Ь«« в «з (зщ) = Ц Я(х; у; гг (х; у)) 6)х г)у— — Цй(х; у; гз(х; у))з(хг(у. Двойные интегралы в правой части раве ства заменим поверхностными интегразщми П рода по внешней стороне поверхностей' Яз и дз соответственно (см.
(58.3)). Получаем: Ц~ д дхг)у«)г = Цйдхг1у+ ЦВг(хну У Яз Я1 Д |я равный нулю интеграл ЦВ«(х((у по внеп ей (см. свойство 5 п. 58.1), получим: ~Ц ~~ Ь ду дг = Ц Вдх ду+ Ц В д*ду+ Ц Н 1х ((у Яз Яз Яз или дй Я д 6(хг(У6(г = ЦВ(х;У;г)з(х((У, (58,10). где  — поверхность, ограничивающэя область 1г. Аналогично доказываются формулы Ц~ — «(х г(у«(г = ф Я(х; у; г) 6(х 616, (58.11) дО У Я дР Я вЂ” г(х «(у 6(г = ф Р(х; у; г) «)у «(г. (58.12) Складывая почленно равенства (58.10), (58.11) и (58.12), полу чаем ' формулу (58.9) Остроградского-Гаусса.
И Замечания. 1. Формула (58.9) остается справедливой для любой области 1', которую можно разбить на конечное число областей рассмотренного нида. 2. Формулу Остроградского — Гаусса можно использовать для вычисления поверхностных интегралов П рода по замкнутым поверхиостяьс Пример 58 й. Вычислить 1 = ф — хз(уз(г+ гз(гг(х+ 56(х6(у, +Я где д — внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями 2х — Зу+ г = 6, х = О, у = О, г = О.
(,;) Резпение: По формуле (58,9) находим: 1 ! 1= Я( — 1+0+0)з(хдуг(г = — Яс(п = — — ° 3-6 = — 6. ° ) У Заметим, что интеграл 1з (см. пример 58.1) мож- где поверхности Вз, Бз, дз есть соответственно тре- угольники ОАС, АОВ, СОВ (см. рис. 255). Связь между поверхностными и криволинейными интегралами 1 П рода устанавливает следующая теорема. = ~ Рдх+ 1~г(у+ ВгЬ, (58.И) созо ° созд: соз7= д ; — —: 1. дз ду д» соз д ! Отсюда — — = Тогда ду соь т Следовательно, равенства: 435 Тсоуема 58.2. Если фУнкцин Р(„.у,) ( рывны вместе со своими частными производными первого поря ка в д точках ориентированной поверхности д, то имеет место формула ь где 1 — граница поверхносги д и интегрирование вдоль кривой А производится в положительном направлении (т.
е. при обходе границы й поверхность д должна оставаться все время слева). Формула (58.13) называешься формулой Спюкса (Д.Г. Стоке, — - английский математик, физик). Ц Пусть з = 1(з; у) — уравнение поверхности о', функции 1(з; у), г' '(х; у), Д„'(я; у) непрерывны в замкнутой области Ю (проекции поверхности д на плоскость Оху), Х~ — граница области Р (см. рис.
25б). Будем считжть, что поверхность д пе) ресекается с любой прямой, параллельной оси Оз, не более чем в одной точке. Выберем верхнюю сторону поверхности д. Рассмотрим сначала интеграл вида ~ Р(и; у; з) йт. У Значения функции Р(х; у; з) на А равны значениям функции Р(ай у; з(х; р)) на Аь Интегральные суммы для криволинейных интегралов П рода по контурам Л и 1ч совпадают. Поэтому у Р(з; у;з) йя = ~ Р(з;у;»(з;у)) гзг. Рнс. 256 ь ь| Применим к этому интегралу формулу Остроградского — Грин (см.
п. 56.3). Тогда получим: д (я~ у~ «(я~у))пя = Д(б (Р(,, ( ))) р д Преобразуем полученный двойной интеграл в равный ему поверх- постный интеграл рода см. П (см. и. 58.2). Для этого последнее равенство перепишем в виде дР дР дай / Р(ай д; з(з; у) ) гЬ = — О ( — + — — ! соз усЬ ь| Я (см. 58.7) и используем уравнение нормали к повсрхно: и ( . ( ., )). ности д (см. (45.3)).
Так как выбрана верхняя сторона поверхности д, т. е. соз'у > 0 (Т— пстрь угол между тй . жду нормалью и к поверхности д и осью Оз), то нормаль дз — дз, 1. Напра „яющие к„и„усь1 пропер 71 имеет проекции — д, — Гр, пальны соответствующим проекциям: дР соз д Я Я' =-Ь' — „ )" дР д ггдР дР )' ау,Ь Я,Ь=Д',,Ь ду дз Л Я Я П'~ Р(т у, ) от = У вЂ” дз гЬ - — гй Йу /у дз ду Х.
Я аются при соответствующих условиях еще два нналоги 1но получают / дз да «д9 дЯ Яз; у; ») йу = Π— ~Ь г(у — з г1у гЬ, Я ь д д11 дй л(зц у; з) г1« = Д вЂ” г(у гЬ вЂ” — с1х йж Я Складывая почленно три последних равенства, получаем формулу Стокса (58.И). Отметим, что формулу Стокса (5823) можно применить и для поверхностей более сложного вида (разбив се па части рассмотренного выше типа).
нейФормулу Стокса мож но применять для вычисления криволнненого интеграла по замкнутому контуру с помощью поверхностного интеграла. Игг формулы Стокса вытекает; что если выполняются условия Яд дР ОВ Яд дР дП дт ду' ду дх' дх дх (см. п. 56.4), то криволинейный интеграл по произвольному простря, сгвенному замкнутому контуру Е ранен нулю: ~ Р йх+ !з йу+Р гЪ = О г. Следовательно, в данном случае криволинейный интеграл не зази от вида пути интегрирования.
Пример 58.3. Вычислить 1 = ~ хзуз йт + йу + 2гЬ, где контур б — окружность хз + уз = 11~; х = Ог а) непосредственно, б) используя формулу Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу *=+,/в*- * — о*. С1 Решение: Поверхность интегрирования изображена на рисунке 257. а) Запишем уравнение окружности в параметрической форме: х =-'Ксовв, у = Пв!и1, х = О, Г Е [О;2х1 По формуле (56.7) имеем: 2м г 2~ 112 вгг 12звпвг(-Пв!и!) гй+ о Рис. 257 2х 2'т + ~ Всоввйв = — Н~ ~ яп !сов 1г1!+О = о о гг1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
