Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 64
Текст из файла (страница 64)
1)ш ии со йцг (1+ — ) l 'и +со и +ос и' = е ф О. 'гео ема 59 1 дает необходимое условие сходив '' ряд „ное> из уел„вия 1пп ии = не . ду еле ет что ряд сходит и — > со ся. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых )гш ии сс О. и >ос В качестве примера рассмотрим так наяывае р мый еа моническисг Очевидно что )пп ии сс О. Однако ряд )59.7) расходится.
Покажем 1 и это. ) 1 Как известно )см. )17.14)), 1пп ! 1+ — ) = е. Отсюда следует, что и->со и при любом и е )с) имеет место неравенство (1+ — тг ( е. Логарифмируя ч> о неравенство по основанию е, получим: г. е. и+1 > )и, — > )п)п+ 1) — )ггп.
и п, ' п Подставляя в полученное неравенство псючеред > нов=1 2,...,ц — 1,я, получим: 1>1п2, 1 — > 1пЗ вЂ” 1п2, 2 1 — >)с 4 — )пЗ, 3 Сложив почленно эти неравенства, получим о>, 1п п + 1 Пс>скольку )пп )п)п+ 1) =- сю, получаем 1пп Ь"„= оо, т. е. гармонический ряд )59.7) расходится.
В качестве вто)юго примера можно взять ряд 1 1 1 1 — + — + — +...— +... у7) ъ~2 угЗ ~/пп йш 1 — 9, Однако этот РЯд Расходитск- (60Л) (60.5) (А — е) ° во < и„< (А+в) ° в . (60.2) (60.3) Оо ~ ~Вог Ц Действительно, 1 1 1 1 1 1 1 1 Я„= — + — + — +... — > — + — -ь... — = — и = ъlй, вг) тг2 ху3 " ' /и всй всй " всй,/и т. е. о' > всй.
Следовательно, о'„-э оо при и -+ сю, ряд расходится. йбО. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЗНАКОПОСТОЯННЫХ РЯДОВ Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, возм ности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость расходимость ряда во многих случаях можно установить с помо так называемых досгаогвочных тгризнокоо. Рассмотрим некоторые из них для знамополозссмгиельныж р дов, т. е.
рядов с неотрицательными членами (Знакоотрицательнь ряд переходит в знакоположительный путем умножения его на ( — 1) что, как известно, не влияет на схоцимость ряда). б0.1. Признаки сравнения рядов Сходимость или расходимость знакоположительного ряда час. устанавливается путем сравнения его с другим («эталонным») ряд о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравне лежат слепующие ттореьсы. "еорема 60 1. ПУсть даны двз знакополажи ел р гг=1 Если для всех и выполняется неравенство то из схадимооги ряда (60.2) следует сходимость ряда (60.1), из рас- ходимости ряда (60.1) следует расхадимость ряда (60.2).
Ц С)гхгзначим и-е частичные суммы рядов (60.1) и (60.2) соответственно через Ьо и бг„. Из неравенства (60.3) следует, что 00 1') фо) < бцг) ! )Усть ряд (60.2) сходится в его сумма равна бм тогда !гпг о„"~ = от. ' )лены ряда (60.2) полсвкигельггы, псхчтому о„< оз и, след г о!") о и следовательно, г учетом неравенства ( . ), ' (60.4), о!") < Я . Таким образо»1, последователь- к ь сд ) Ф'), аг(г"), ...
монотонно возрастает (ио > О) и ограниче- ность *'1 (см. тсо е- па сверху. числом з. о а.. По признаку существования предела ( . рь . !и) ма 15.3) последовательность (о'„) имеет гг)геде1 (М -ел йщ о' = о'1, т. е. ряд (60.1) сходится. Пусть теперь ряд ( . ) ра ., (60.1) сходится. Так как члены ряда неотри!' аив) = оо.
Тогда с четам нера- патель ны, в этом случае имеем !пв а'„= оо. ' д, у* гг-ггю венства (60.4), получаем 1пп о'! ) = оо, т. е. ряд (60.2) расходится. ° о-гсг Замечание еорема . Т 60.1 справедлива и в том случае, когда неравенство ( (60.3) выполняется не,пля всех членов рядов (60Л) и (60.2), а начиная с некоторого номера Ггг. Это вытекает из из свойства 3 числовых рядов (см.
и. 59.1). Теорема 602 (предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда (60.1) и (60.2). Если существует конечный, о — ггю Во и (60.2) сходятся или расходятся одновременна. ! ! По определеншо предела последовательное" и ( . ) ости (см. и. 15.2) для всех О выполняется и, яро»ге, воем ажно конечного числа, нх, для любого > неравенство ~-в — А~ < е, или )ив ~ вв Если ряд (60.1) сходится, то из левого неравенства (60.5) и теоремы 60.1 вытекапг, что ряд 2 (А — е)во также сходится. Но тогда, о=.г согласно свойству 1 числовых рядов (см. и.
о.. ), р д ( . ) 'с) 11 я (60.2) сходится. Если ряд( . ) р Е ) (60.1) асходится то из правого неравенства (60.5), теоремы 60.1, свойства 1 вытекает, что и ряц (60.2) расходится. Аналогично, если ряд (60.2) сходится (расходится), то сходящимся (расходящимся) будет и ряд (60.1). 1т ер 60.1.
Исследовать на сходимосгь Рид г. 33+ 2о. и=г из <Ч.ил, 2, из < Ч. ллз < Ч и! из < Ч . из < Ч и! 3 ь-! и„< Ч'иь < Ч б0.2. Признак Дапамбера (~л Решение: Находим (~ Решение: Сравним данный ряд с рядом леометрической прогре 1 1 1 Я 21в, который сходится (Ч = — < 1). Имеем „< — „.
Следо — 2 ° 3+2 2 тельно, данный ряд сходится. Приллер 60.2. Исследовать сходимость раца 2 -з —. ~р 1 ешение: Здесь и„= -з —. Возьмем ряд с общим членом и Э 1 1 ьлй я !!у который расходится !гармонический ряд). Имеем > —. Следо 1 Яп и' тельно, данный ряд расхллдится. Пример 60.Я. Исследовать сходимосгь ряда 2 ', 15,Я . лп (,) Решение: Применим предельный признак сравнения.
Так как. !ае я Огп = — ф. О (см. пример 17.7), то по теореме 60.2 исходный ряд расходится, как сравнимый с гармоническим рядом. В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбер (1717 — 1783, французский математик) позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.
! ! Так как 1пп — ' — 'т! = 1, то по определению гл!!едала для любого е > 0 ш-лл~ найдется натуральное число ллл такое, что при и > Ж выполняется неравенство ~ —,— "-! — — 1~ <е или 1 — е< — <1+а. (60.6) ив и,„ Пусть 1 < 1. Можно подобрать е так, что число 1+а < 1. Обозначим 1+ е = Ч, Ч < 1. Тогда нз правой части неравенства (60.6) получаем ивлл! лл„ < Ч, или и„+! < Ч - и,ь и > ллл.
В силу свойства 3 чилшовых рядов .!!лжно считать, что и ль! < Ч ° и„длЯ всех и = 1, 2, 3,... ДаваЯ номоРУ и эти значения, получим серию неравенств: т. о. члены ряда из + из + ил +... + и„+... меныпе соответствующих членов ряда Чи! + Чзи! + Чли! +... + Ч"+ ли! +..., который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 0 < Ч < 1. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд из + из +...
+ и„+..., л.педовательно, сходится и исхолшый ряд (59.!). Пусть 1 > 1. Вэтом случае 1пп "+! = 1 > 1. О!сюда следует, что, в-!со ие начиная с некоторого номера ллл, выполняется неравенство > 1, ив или ив.!.! > и„, т. е. члены ряда возрастают с увеличением номера и. Поэтому !пп и„ф. О. На основании следствия нз необходимого признака (см.
п. 59.3) ряц (59.!) расходится. Замечания. 1. Если 1 = 1, то ряд (59.1) может быть как сходящимся, так и расходящимся. 2. Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида и! или а". Пример 60 ~. Исследовать на сходимость ряд 2,' —,. 1 и! ! 1 1шл — = 1пп, = 1пп, = !пп = О. ив ь! ! +!)1 . и.
-л и„п л, -л (п+ 1)! -л п+ 1 Так как 1 = 0 < 1, то цаяный ряд по признаку Даламбера схоцнтся. ° сю Прзллиер 60.6. Исследовать сходимлкть ряда 2,' — л. в=-! Рис. 258 Вычисляем 1 1 1) 3 е и исходный ряд 1й Канаве«ле«ннй и выемей мат«мал «е. Лелный «уйе (;1 Решение: Вычисляем Зп" 1 3 1 3" ° 3 ° пй 1«й 1ш11 т г 1'йп п й 1(11+ 1)т пй) пе 3" . (л, + 1)й =3 1пп ( — ) =3 1пп ~ — 1) =3. --~-+ ~ --Ь+-) Так как 1 = 3 > 1, то данный ряд по признаку Даламбера расходится. "' 60.3. Радикальный признак Коши Иногда удобно пользоваться радйзкальимм призивко,и Коши длм исследования сходимости знакоположитсльного ряда. Этот признак й многом схож с признаком Даламбера, о чем говорят его формулировй н и дгжачательство.
Как и для признака Даламбера, в случае, когда 1 = 1, вопрос о сходимости ряда остается открытым. Доказательство теоремы аналогично доказательству признака Даламбера. Поэтому опустим его. 1Хрв,мер 60.6. Исследовать на сходимость ряд 2,' — „. ~ п ) п=1 О Решение: Так как ~-,'- (.,)и ='~-.'- (..",) то применим радикальный признак Коши к ряду ~-' 3" а п + 1) 1 l п 1 л 1 — = 1'п1 — „~ — — ) = — 1пп 3" ~ +1) 3 (1+ Ряд 2 —;, . ~ — и — ) сходится, а значит, сходйпся „,зн ~ +11 согласно свойству 1 числовых рядов. 60.4.
Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд Теорема 50.5. Если члены знакоположительного ряда 2 ип могут п=1 быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно УбываюЩей на пРомежУтке (1е Рос) фУнкЦии Г(к) так, что и1 = у(1), ий = у(2),..., и„= 1" (п),..., то: 1) если / у(к) Вт сходится, то сходится и ряд (59.1); +ее 2) если / 1(к) 11я расходится, то расходится также и ряд (59.1). 1 О сходимости несобственных интегралов см. 3 40.
Д Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции у = ('(я), основанием которой служит отрезок оси Оя от я = 1 до я = п (см. рис. 258). Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки (1; 2), (2; 31, ... Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем: 1(2) 1+((3).1+...+1(п) 1 < / 1(Я) «1ч < 1(1) 1+У(2) 1+...+1(п — 1) 1, 1 из+из+ ° .. + и„< / т'(х)с1х < ит+ из+...
+ и„ 1 З, — и, < / 1(х) дх < Зн — и„. 1 или (60.7) -С-СО в 1(х) дх = +ос и интегралы ( 1(х) дх неограниченно возрасгатог 1 1 а пРи н — + оо. УчитываЯ, что Зв > ( т (х) дх+ иа (см. (60.7)), полУчаем, 1 что 3„-+ оо при н -+ оо. Следовательно, данный ряд (59А) расходтпся. Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
