Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 67
Текст из файла (страница 67)
465 окрестности точки хе. Но отсюда еще не следует, что он будет ск диться к данной функции 1 (х); он моясет оказаться расходящимся иг сходиться, но не к функции у(х). 'Гак, например, функция имеет в точке х = 0 производные всея порядков, причем 1!")(0) = 0 при всяком и (см. пример 10.6). Ряд Маклорена имеет вид 0 О О О+ — т+ — х +...+ — х" +... 2! 2! ' и! Он сходится, но его сумма Я(х) в любой точке х равна нулю, а не Х(х). Пусть для функции ! (х) составлен соответствующий ой ряд Тейлора. Ц Пусть ряд Тейлора (64.2) сходится к функции Х(х) н некоторой окрестности точки хе, т.
е. 1(х) = Ит Я,„(х). Так как и-я частичная сумма 5„(х) ряда (64.2) совпадает с многочленом Тейлора Р„(х), з. е. Я„(х) =- Р„(х), находим: 4 Ип> В (х) =- 1пп Ц(х) — Рп(х!) = 1пп (Х(х) В„(х))— = У(х) — И>п В„(х) = У(х) У(х) = О Обрагно, пусть Ип> В (х) =. О. Тогда 1пп 5„(х) = Ищ Р (х) = 1пп (Х(х) — В„(х)) = = Х(х) — Ит В„(т) = 1(х) — 0 =- у(х).
Замечание. Если ряд Тейлора (64.2) сходится к порождающей функции Х(х), то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора, с е. В„(х) = т (х). (Напомним, что В„(х) = 1(х) — Я„(х), а г„(х) = 5(х) — о',>(х), где Я(х) — сумма ряда Тейлора.) ф 'Хаким образом, задача разложения функции у(х) в степенной ряд снедеяа по сушестну к определению значений х, при которых В (х) -+ 0 (при и -+ оо). Если сделать это пе просго, то следует каким- нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится к данной функции. На практике часто пользуются следу>о>цей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.
!.1 Согласно теореме 64.1, достаточно показать, что 1пп В„(х) = О. » — кю По условию теоремы 64.2 для лк>бого и имеет место неравенство ! Х!"!(х)) < М. Тогда имеем: ~'ь" () 1пп (В„(х)) = 1пп (х — хо) " ь.>,>> ' а->со (и+ 1)! ) (х — хе)" »-~сю ~ (и + 1)> ье> Осталось показать, что 1пп ~ ~ = О. Для этого рассмотрим -- ~ (-. ) !(х — хо) ! Так как 1пп — "~ = Ип> — „„> = !х — хе~. 1!и> =0 <1, (пе2 (, ! 1)! -> и„-' (а+ 2)! ° !х — хо~ +~ "->' "+ 2 то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, н силу необходимого признака сходимости, 1 — 1 +' 1пп и„= Ип> =Оп ( ц! б4.2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена) Д я раз нгпкения функции у'(х) в ряд Маклорена (64.3) нужно: а) найти производные у'(х), >гл(х), .
Х (х) б) вычислить значения производных в точке хе = 0 в) написать ряд (64.3) дпя заданной функции и найти его интервал сходимости; г) найти интервал ( — А; В), в котором остаточный член ряда Ма- клорена Я„(х) — г 0 при и -+ со. Если такой интервал существует, то в нем функция !(х) и сумма ряда Маклорена совпвдают. Замечение. В интервале схедимосги степенного ряда остаточный член стремится к нулю при и — г Рю.
Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена не- которых элементарных функций (этн разложения следует запомнить): х х 2 РР е*=1+ —.+ — +...+ — +..., 1! 2! и! х б (-сс; сс), (64.4) 3 5 х г .ы юпх=х — — + — +( !) + 3! 5! ''' (2 + Ц! х е ( — со; со), Хг Х! .«н сов х = 1 — — + — —... + ( — 1)" — + 2! 4! (2и)! х 6 ( — оо; со), (64.6) а а(11 — 1) 2 а(а — 1)...(а — и+1) [ — 1;Ц, еслиа>0, х6 ( — 1;Ц, если — 1<а<0, (64.7) ( — 1; 1), если а < — 1, 1 1+ + 2+ + Р+ 1 — х «; е (-1; 1), (64.8) х е ( — 1; Ц, (64.9) х б [ — 1;Ц, (64.10) хг хе н+1 1 (1+х) =х — — '+ — —...+( — 1)" +...
2 3 п+1 хе х5 гн+1 агс58 х = х — — + — —... + ( — 1)"— 3 5 2и+1 1 те 1.3 хе 1.3 5 «х агсвшх = х+ — + + + 2 3 24 5 246 7 1 3 5...(2и — 1) хг"'' + +..., 2 4 . 6... (2п) 2и + 1 Н,5 ,гп+! еЬх=х+ — + — +...+ +... 3! 5! ' ' (2п+ Ц! (64 11) х Е [ — 1; Ц, (64.12) х Е ( — со; ос), (64.13) хг х х с11х = 1+ — + — + — +... + +..., 2! 4! 6! (2и)! Докажем формулу (64.4). Пусть 7(х) = е*. х 6 ( — со; ос). (64.14) („) Имеем: а) 7Р(х) = е*, )'"(х) = е*, ..., 2 ! )(х) = е*, ...; б) 7(О) = 1, У'(О) = 1, ..., У('О(О) = 1, ...; 1! 2! ' " п! " ' ' я-Рсо! а„+1 [ и -Роо[ ьй = 1пп (и+ 1) = сс, т.
е. ряд сходится в интервале ( — оо;ос); РР РРРР г) для всех х е ( — 11;«г) имеем ф">(х)[ = е* < е = М, т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом М = ел. Следовательво, по теореме 64.2 !пп В (х) = О. Таким образом е' = 1+ — * + — + ... 1! 2! Докажем формулу (64,5).
Пусть «(х) = в!и т. (,4 Имеем: а) УР(х) = соех = е!п(х+ $)Р,Г(х) = — вшх = вш(х+ 2. $), 7'е( ) = — ~~х = вш(х + 3 - $), ..., 7!"1(~) = йп(х + $) ...; О, и = О, 2, 4, 6, ..., б) 7(")(0) = в!и "2 = — 1, и = 3, 7, 11, ..., +1, п=1,5,9,...; в) 3!ах х — — + — —... + ( — 1)" ° —.'— , +... Легко прове- 3! 5! ''' (2п+1р рить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси„т. е, при всех х е ( — сс; со); г) любви производная функпни 7'(х) = ешт по моду«по не пре- восходит единицы, [7!">(х)[ = [е!п(х + и 2) / < 1.
Следовательно, по теореме 64.2 имеет место разложение (64.5). Докажем формулу (64.6). Пусть 7(х) = сов х. ( 2 Формулу (64.6) можшг доказать так же, как и формулу (64. 5). Одна- ко проще получить разложение функции сов х, воспользовзвпгись свой- ством 3 степенных рядов. Продифференцировав почленпо ряд (64.5), получим: 2 5 х х сов х = 1 — — + — —..., х 6 ( — со; со). 2! 4! Докажем формулы (64.13), (64.14).
Пусть 7'(х) = сЬх (или 7(х) = вЬх). 467 е П Д Заменив в формуле (64.4) х на — т, получим разложение функции ,-х. х х тз х и е * =- 1 — —, + — — —, + — —... + ( — 1)" . —, +..., (64.15) справедливое для всех х 6 ( — оо; со). Суммируя (и вычитая) почленно равенства (64.4) и (64,15), получим разложение гиперболического косинуса (синуса): е+е* х т сЬх = — = 1+ — + — +... х 6 ( — оо' оо) 2 2! 41 2 е 2 хз,д 3Ьх = = х+ — + — +..., х 6 ( — со;оо).
2 31 31 Формулы (64.13) и (64.14) доказаны Докажем формулу (64.7). Пусть г" (х) = (1 + х)'", где гг 6 К. Ц Имеем: а) У'(х) = а(1 + т) ', 7о(х) = а(а — 1)(1 + х) (00(х) = а(а — 1), (г2 — (и — 1))(1+х) ' ", ..., и 6 И; б) ('(О) = 1, У'(О) = а, Уп(0) = о(а — 1), ..., ,(00(0) = а(о — 1)... (и — и+ 1), ...; ) (1+ х) - 1+ гтх+ ~-~~ — — ~х2+. 2! ... + Нт —,Оà — о... ~Р.
— + 1~ и! х" +...- [и [ . [на — 1 а — 2...гг — и — 1 и+1!~ !и„е2! ~и!-о(о — 1Иа — 2)... (о — (и — 1))(гг — и) [и+1 [ = йпт [ [=1, т. е. составленный для функции (1+х)" ряд сходится в интервале ( — 1; 1). Можяо показать, что и в данном случае, т. е. при х 6 ( — 1; 1), остатОЧНЫй ЧЛЕН гс„(Х) СтРЕМИтСЯ К НУЛЮ ПРИ И -2 Сс.
Ряд (64.7) называется биномиальньом. Если о = и 6 74, то псе чле- нь1 ряда с (и + 1)-го номера равны О, так как содержат множитапь ' а — и = и — и = О. В этом случае ряд (64.7) представляет собой извест-, ную формулу бияома Ньютона: (+х) = +-и +"'" "х+...+и(и-') -'.- 1! 2( и.' Докажем формулу (64.8). Пусть 7'(х) = 1 — х ( ) Формула (64.8) может быть получена разными способами: 1) пользуясь правилом рпзлогкения функции в ряд; 2) рассматривая ряд 1+ х + тт + хз +... + хо +... как ряд геометрической прогрессии, первый член которой равен единице в знаменате2п, о = х; известно (см.
пример 62.1), что данный ряд сходятся при х 6 ( — 1; 1) н его сумма равна 1 3) воспользовавгпись формулой (64.7): положив в ней о = — 1 и заменив х на — х, получим формулу (64.8). Докажем формулу (64.9). Пусть 7(х) = 1п(1+ х). Формула (64.9) также может быть доказана розными способами. Приведем один из них. (.) Рассмотрим равенство =1 — х+х — х +...+( — 1)пхп+..., 1+х справедливое для всех х Е ( — 1;1).
Используя свойство 4 степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке [О; х), х 6 ( — 1; 1): а х 2 х 2 = /',~Г ~1,ц+ ~ 12,11 /' 13 гй+... + (-1) ь /Гп,у+..., о о о о о о нли 2,3 х~+ 1п(1+ х) = т — — + — —... + ( — 1)п + .. 2 3 и+1 Можно показать, что это равенство справедливо и для х = 1. Докажем формулу (64.10). Пусть 7(х) = пгс16х. Ц Положив в формуле (64,7) а = — 1 и заменив х на х2, получим равенство — =1 — х~+х~ —...+( — 1)в.хп+..., хй( — 1;1).
1+х Тогда ь 2 х 3 2 1 2 / / 1 ' '+/( ) ' 1+ 1 + 12 о о о или ,3 3 дпео х агсгй х = х — — + — —... + ( — Ц" — +... 3 6 ' 2и+1 Можно показать, что равенство спранедливо и при т. = х1, тге. при всех т Е [ — 1;Ц. Дока2кем формулу (64.12). ПУсть 7(х) = огтз1пх. Ц Положив в формуле (64.7) а = — — в заменив х на ( — х1) получи 2 равенство 1 :1' 1.3 4 1.3.5 ° — 1 1 т4 ! х4„1„ха[ 1.1) ,у1 хз 2 24 2 1 6 Тогда — — 4Ц=. /4й 1-/ — 4111 / !4 1+ О О О О или 1 т 13 хв ашзшх = х + — — + — — +... 2 3 2 4 5 Можно покезжгзь что полученное равенство спранедливо при вгнх Ряды (64.4) — (64.14) в комбинации с правилами сложения, вычитз ния, умножения, дифференцирования, интегрирования степенных рядов (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
