Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 71
Текст из файла (страница 71)
21 l х и =,,,...). — г Прсьглер 67.5. Погггроить ряд Фурье в компгхексно)) форме для 2-периодической функции ,]О, хб ( — 1;О), ~1 х 6 [О;1], Рнс. 266 (,1 Решение: На рисунке 266 изображен график функции г(х). По формулам (67.18) находим (1 = 1): — дх 7 2 о — — е ' — 1 1 -~д— о всех точек непрерывности функции г (х) справед- (-1)п — 1. Хгп — 1)ОО с, гхфО; 2яп Х = — (соз ггп — с зш 2яп Следовательно, для лино равенство 1 ОО 1)О 1 г(х) = — +х ~~7 е П= С:О 17ххго) хОΠ— ОО Зх77ю ахки 'е е е е 2 .г к Зк Зх ( Я(0) = 0 + — = — Я(х1) = + - = 1, на графике Я(х) не отмсчеиа).
1+1 2 2' ООО В электротехнике и радиотехнике члены ряда. с е ' называются гармониками, коэффсщиенты х., — комплскспымп амплипхудомп гармоник, а числа ОХО ОО Я(п (и = О, х1, х2,...) — — волновыми числамп функции Дх) = 2 с„е' "*. Совокупность величин (сг, сз,..., с„,... ) назьпхается амплишудпым стхекгпром. Графически амплитудный спектр изображается в виде вертикальных отрезков )ьлиной с„, расположенных в точках ьг„= — ' числовой кп оси. Как в м к (67.18 видим7 комплексная форма Ряда фурье (и ] ф более компакт~а, чем обыкновенный ряд Фурье. 3бВ.
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Как известно, всякую (периодическую или непериодическую) функцию 7(х), удовлетворяющую на отрезке ( — 1; 1] условиям тхюремы Дирихле, могкно разложить в ряд Фурье Е(х) = — + ~~с опсози„к+Ь зпси„х, оо (68.1 где и Ягс ( а = — / Е"(Е)сози„Есй (п=0,1,2,...), (68.2 1 г Ьп сс — зС Х(Е)зспи„ЕГЕЕ (п =1,2,...). — с Это разложение будет справедливым на всей числовой оси Ох том случае, косда Е"(х) — периодическая функция с периодом Т = 21 Рассмотрим случай, когда 1(х) — нсГпериоднчсккая функпия, данная на бесконечном промежутке ( — со; со) (т.
е. Е = +со). Будем предполагаттч что на любом конечном промежутке [ — Е; функция Дх) удовлегворяет условиям теоремы Дирихле и что сходи ся следующий несобственный интеграл: !Дх)( ГЕх = М < ос. Говорятс Дх) абсолюпсяо вппсезрпруема на всей числовой оси. Подставляя в ряд (68.1) значения коэффициентов а„и Ьп (68.2), получим: с СО г (х) = — / 1(Е) сй+ — ~ / с (Е)(стжчиГГЕ созипх+ з1пмпс.згпипх) ГХЕ, — с П-1, т.
е. с ггс Уу(Е) ' ЕЕ УЛЕ).с П( — ) . (683) п.=1 иченноувели"и"а ь( Псрвс»-слагэсьсоев пра й части равенства (68.3) при 1 — + +ос стремится к нулю, Гс к. с ~ — ', ~ У(е) ее < — ' ~ )у(е) й(е < — ' /' (У(е)( й = — ' -э О. Рассмотрим второе слагаемое в равенстве (68.3). Величина ип = — принимает значения сос = —, иг = — к и = 3я об тзую 7ГИ ГГ 27à — гсс 1, зсс Е, °, р щие бесконечную арифметическую прогрессию с разностью схи П (Схи сс и + и, П = О,1,2,...), Прн ЭТОМ ЬиГГ -+ О При Е -+ +ОС. Итак, СО 1 (' Г(Е).
п(Е х),й = — ~~ ~ Е(Е) ~ п(Š— ) й .с я — 1 — с =1 — с 1 ОО 1 = — 2, ' ~ ~ Е(Е) - СОЗи„(Š— Х) СЕЕ) Скип сс — ~~~, Сг(ип) . С1ип~ п=1 гг 2;Г пс гдс сг(и ) = ~ С(Е) сози (Š— х) ГЕЕ, и Полученная сумма напоминает интегральную сумму для функции ГСг(и) = ( 1(Е) . сози(Е. — х) Гй, и б (О;+ос) -с (ссоказывсзется, что так оно н есть), поэтому, переходя в равенстве (68. ) вз 31 к пределу прн Е -+ +ос, получаем 1 СО 1 Г У(х) = — 11',С, р( п)С1 = — / т(и) «и, Я С-+Ос и:.=1 о нли ОС У(х) сс — ~ Е ~ Ю (Š— )«' (68.4) о Я Формула (68.4) называется формулой Фурье, а интеграл в правой части формулы — ипспегрплом Фурье для функции 1(х). Формула Фурье имеет место в точках непрерывности функции 1(х); в точках разрыва данной функции интеграл Фурье равен среднему арифметическому ее односторонних пределов: 1 Г У(х — О) + Е" (х+ О) 2 — 1(Е) соз и(Š— х) сй = о — СО Формулу (68.4) мсокно переписать в другом виде (в виде однократного интеграла).
1 Г 1(х) = — / Г(со ~ ((Е) ссхчи(Š— х) Гй = о — С.'О ОО СΠ— сто ~ Щ(созиЕ. сових+зпсиЕ ° сйпих)сй = 7à Π— СО 1 ЗГ .С о /1 — ГСи~ — / 1(Е) созиЕГЕЕ сових+ — С щзщисс(Е-зших — СО коз т. е. (68.5) где Как видно, есть аналогия между рядом Фурье и интегралом Фурье: в обоих случаях функция 7(х) раскладывается на сумму гармонических составляющих. Однако, ряд Фурье суммируется по индексу п, принимасощсму дискретные значения а = 1, 2, 3,...; в интеграле Фурье производится интегрирование по непрерывной переменной ьс.
Некоторые сведения, связанные с интегралом Фурье, изложим в виде замечаний. Замечание. 1- Если фунспцся У(х) — четмол, то формула Фурье (68.5) принимает вид 2 ф(х) = / А(ьс) ссеьсхсссо, где А(ьс) = — / Д4) соесо5сй„(68 6) О в случае нечетной функции-- 2 7"(х) = / В(ьс)епьохссьс, где В(ьс) = — / 7Яешсогса. (68.7) о 2. Если функция )'(х) задана лишь на промежутке (О;+со), то ее можно продолжить на промежуток ( — со; 0) разными способами, в частности — четным или нечетным образом: в первом случае она будет представлена формулой (68.6), во втором — формулой (68.7).
3. Формулу Фурье (68.5) можно представить в симмес ричной форме записи, если положить в формулах (68.6) и (68.7) А(ьс) = - -А(ю) 1( к В(ьс) ГВ(со), В ф с2 Б 2 / ~(~) ~еь'хссьс, где А(ьс) = — / сг(с) о о в случае нечетной функции Г2 (2 т 7(х) = — / В(со)ешьсхс5о, где В(ьс) = с/ — / 1(с)ешайг(с. О о 496 7 .(Ф) -л,й.
исси в симметричной форме запи' л.)= —,~ () *"" 2к У где Е(ьс) = /,с(с)е (с(ьс) = †-с(ьс)). Нредставить интегралом Фурье фуспсцсссо е ', х е (О +ос), о, = о, х б ( — со; 0). 7(х) = : Ф н ия удовлетворяет условиям представимости инте- О Решение: ункц гралом урье, Ф ье абсолютно интегрируема на промежутке ( — сю;+ос): сь о сь ~Дх)~г(х = / е'гсх+ / е ессх = 2. — сю а Функция нечетная, применим формулу (68.7): 2+,, 2 ы / -с. О Следовательно, 7(х) = — — ° ешьсхс7со, х е ( — со; 0) О (О;+со). ° 1+ ~' о 497 С"с сруякцив со и со Функции А(со) и В(ьс) называтотся соответственно косинус-преобразованием и синус-гсреобрпзованием Фызье для функции х( ). 4.
Интеграл Фурье (68.4) о комссаексссой форме имеет Ви д 1(х) = — I е сссо / 1яе сй; 2к .с интеграл Фурье (68.5) имеет вид Дх) = — / с(ьс)е 2к у вся у — — с1у = Д1) . в +У 2 2е Замечание. Инт яресно сугмс!Тить, что ес:ли к = — 1~ ' * = — с, со 0 С другой стороны, у(1) — — с 1 аким образом, Иными словами, и ри помощи представления ф нк рье иногда можно функций интегралом Фужно вычислить величины несобственных интегралов. Глава ХН1.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 2б9. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОЛЯ "теория поля - круиньгй раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные ноля. К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики я других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всомирного тяготения, магнитные, электрические ссспьс .— все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния ог своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т.
д. Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие. Эти понятия важны и в усвоении основных идой математического анализа функиий многих переменных. Д Подем называется обласгь Г пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке ЛХ этой области соответствует определенное число Г = Г(М), говорят, что в области определено (задано) скалярное ноле (иии функция та ска).
Иначе говоря, скалярное иоле — - это скалярная функция Г(ЛЕ) вместе с ее областью оиродепения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторьсй вектор а = а(М), то говорят, что задано векторное ноле (или аекторнал функция точки) Примерами скалярных псхсссй могут быть сюля температуры (воздуха, тела, ...), агмосферного давления, плотности (массы, воздуха, ...), электрического псионцизла и т. д. Примерами векгорных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитнос иове, пово плотности электрического тока и т.
д. Если функция Г(М) (а(М)) не зависит от времени, то скалярнос (векторное) поле называется стационарным (или установившимся); поле, которое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное сссхссе температуры при охлаждении тела), называется не- стационарным (или иоустановившимся). Далее будем рассматривать только стационарные поля. Если И вЂ” область трехмерного пространства, то скалярное иола Г можно рассматривать как функцслю трех поременных х, у, г (координат (, = Г(к; у;.). (бЦ.1) (Наряду с обозначениями Н = ХХ(ЛХ) ХХ = Г(х" — (х; й; «), используют запись т), где р —.
- радиус-вектор точки ЛХ.) Если скалярная функция ХХ(М) зависит только от я, то соответствующее скалярное поле ХХ( ) вают плоским. Аналогично: вектор а = а(М) о е ел — а( ° ), определяющий векторное поле м но рассматривать как некто н ю ф з м но р у функцию трех скалярных аргументов х, я и «: а = а(х; Р; «) (или а = а(т)). Вектор а, = а(М) можно представить (разложив е ординатных осей) в виде (разложив его по ортам ко- "=- Р(х;Р;«)с+СХ(х Я «)у. +71( „, ра а — а, равна нулю, а две тие в .нных, то векторное поле называется плоским. Нап и с ример, Векторное поле называется однородным если а(ЛХ) —.
р, т. е., и ~~ — — постоянные величины. Таким п поле тяжести. 3,: Р = О, сХ вЂ”, = — тл дссь = О, сХ = О, й = — тл = О, Ю вЂ”,, = — тля, я — ускорение силы . , тл — масса точки. Р В В ' .. Редполагать, что скалярные )з В дальнейшем будем и с ункции, (О( о.б 1 -- определяющая скалярное поле, .Р(х" .«) О(; ;;с; ) — адыопСие векторное поле) непрерывны вместе ~Ф п ао.ж.
фу„ ллрное поле в газках п . .. Я « опрсделяет скаРос 'Ранства, огРаниченного сферой в начале координат и . ' с центром радиусом Н = 1; скалярное поле Н = — з « «-т определено во всоси сгространстве ней х + й = 0) . о гр транстве, за исключенном точек оси О ( ' «(на П Рмлсер 69.8. Найти поле лине .йной скорости Г мжгериальной ючки, вращающейсл против часовой стрелки с гл . Релки с угловой скоростью (3 Решение: Углов ую скорость представим в вице вектора Ы лежа ес на оси О«, направленного вверх. Имеем: м = (О; 0;ы) (ст = мЛ). Численное значение линейной скорости В' (мо с ль, к , равно сор, где р — расстояние врапсаюсцейся точки 500 ЛХ(х; я;«) от оси вращения (оси О«).Но р = тешу (у — угол между вектором т и осана О«).
Следовательно,1т = ыр = ы т.вша, т.е. = )са х т~. Вектор скорости Ъ' направлен в сторону вращения, совпадает с направлением векторною произведенил м х т (и' Л. Т, Г Л. и, векторы У, т, ч образуют правую тройку). Следоваюльно, Ъ'= м х т, г.е. г г Й 0 0 со х '~/ « Рис. 267 = — сай$+ сох3 + О' к или )т — ( ьтЯ;ых; 0). Поле линейных скоростей Г тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, есть плоское векторное поле. ~10. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 70.1. Поверхности и линии уровня 501 Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией Н = Н(х; й; «). Для наглядного представления скалярного поля используют поверхности и линии уровня Д Повержностаью Рровмл скалярного поля называется геоьсегрическое место точек, в которых функция ЦМ) принимает постоянное значение, т. е. Н;; ) = .
(70.1) Н(х;Р;«) = с. Давая в уравнении (70.1) величине с различные значения, получим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. Ее уравнение можно найти пу вем подстановки координат точки в уравнение (70.1). Для скалярного поля, образованного функцией поверхностями уровня явллется множество концентрических сфер с центрами в н,, и в начале координат: 1 — хз — я« — «« = с. В частности, при с = 1 получим х«+ й«+ «« = О, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
