Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 72
Текст из файла (страница 72)
сфера стлгиваегся в ючку. Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поли (изотермические поверхности) представляют собой, круговые цилиндры, общей осью которых служит нить. Д ч В случае плоского поля Н = ХХ(х; й) равенство ХХ(х; Р) = с представляет собой уравнение линии правил поля, т. е. линия уровня —- это линия на плоскосп» Охв, в точках которой функция П(х; й) сохраняет постоянное значение. В метеороло» ии, например, с»нг»» изобар и изотерм (линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек местности.
Пинии уровня применяя»тся в математике при исследовании поверхностей меп»пом сечений (см. п. 12.9). 70.2. »'»роизводная по направлению Для характеристики скорости измонения поля ХХ = П(М) в зада» ном направлении введем понятие «производной по направлению». Возьмем в пространство, где задано поле С '= ХХ(т;й; г), пекет рук» точку М и найдем скорость изменения»)»ункций П при движени точки М в произвольном направлении Л. Пусть вектор Л имеет начал в точке ЛХ и направляющие косинусы стна, говд, совт.
Приращение, функции (Х, возникающее при переходе ог точки ЛХ к некоторой точке М» в направлении вектора Л определяе»ся »х(Х = Г(М») — Г(ЛХ), или МУ = ХХ(т+ »1я;1»+ Ь»»; в+ Ьх) — ХХ(я;ррв) 1'ис. 268 (см. рис. 268). Тогда ~»Л = ~МЛХ»~ = /~~~ + (Ьд)в +(»хх)з. Производной огп фрвм»1мм ХХ =. ХХ(ЛХ) в »почке ЛХ по направления» Л называется предел д(Х р М' р ХХ(ЛХ ) — П(ЛХ) дЛ ах-ш»хЛ щ м )МЛХ~ ~ П »роизводная по направлению Л и характеризует скорость изменения функции (поля) в точке ЛХ по этому направлению.
Если д ) О, д дЛ то функция Г»юзрвстает в направлении Л если — ( 0 то функция дЛ П в направлении Л убывве»: Кроме того величина д(' пред»т' вл ет собой мгновенную скорость изменения функции ХХ в направлении Л в ! д(.Н точке М» чем болыпе ~ дЛ ~, тем быстрее изменяется функция П. В этом »хх»тоит физический смысл производной по направлению. П ер 70 Х Найти производную функции ХХ = з у — в точке М(0; 1; 2) в направлении от этой точки к точке М»(2; 3; 3). 'О Решение: Находим вектор МЛХ, и его 2 ММ» — — (2;2;1), сове = 4+4+ 1 направляющие косинусы: 2 2 1 — оовд = —, сов у = —.
3' 3' ' Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке ЛХ: дП дГ дд — =2я, — =2р — 4х, — =-4р, дх ' дв ' дз — =2 0=0, — ~ =-2 — 4 2= — б, — ~ = — 4. дду дП дтм д1»м дхм Выведем формулу для вычисления производной по направлению, считая, что»)»ункция Г(т;р; в) ди»)х)»еренцируема в точке М. Тогда ее полное приращение в этой точке ЛХ можно записать твк» МУ = — . Х»я + — .
»'.гй + — . »хв + с» Ххя + сз»хй + Хз»'.»в, д(Х д(Х дП дя дц дя гт»еС», Сг, 6 -- с с, с ~;, -- бе конечно малые функции при»хЛ -+ 0 (см. п. 44.3). Поскольку»хк .= Х»Леона, Ьу = Х»Л сов д, »'.»з = »'.»Л сов 7, то М' дП дП д(Х = — созе+ — сснд+ — соз7+ ~»»т»зс»+ ~2 созд+ О» соз7. Х»Л дх дй ' дг Переходя к пределу при Х»Л вЂ” + О, получим 4юрмулу для вычисления производной »»о направлению: , »т ~дП дП дП дХХ ~ — = — с»на+ — созд+ — соз у.
(70.2) ~дЛ- . В случае плоского поля П = ХХ(х; р) имеем: соз д =. соз ~ —" — о) .= у вш»т, соз у = О. Формула (70.2) принимает вид: д(Х дд д(Х вЂ” = — с»н а + — еш о. дЛ дт ду Замечание. ня" . По тие производной по направлению являп»ся обобщением понятия частных щюизводных —, 'д, д . р — — — ~. Их мо»кно ассматривать как производные от функции и по направлению коордияатных осей Оя Ой и Оя. Так, если направление Л совпадает с положите.»»ьным направлением оси Оя, то, положив в формуле (70.2) = О, »3 = —, дг» дХ» у получим 2' дЛ йт' 502 Следовательно, по формуле (70.2) имеем: дП! 2 2 1 16 — =О. — — 6 — — 4 дЛ2м 3 3 3 3 Поскольку — < О, со заданная функция в данном направлении убы- ЯУ пает.
Э 70.3. Градиент скалярного поля и его свойства В каком направлении Л производная д — имеет наиболыпее значе- дП ниву Это направление указывает вектор, называемый градиентом скалярного поля. Можно заметить, что правая часть равенства (70.2) представляет ст2бой скалярное произведение единичного вектора е = (сова; сов д; сов у) и некоторого векторв 9 = ~ сдП.дбс,дПт дя' др' дг Д Вектор, координатами которого являются значения частных про- изводных функции 42'(я; р; г) в точке М(я; сб г), ншзываксг градиентпоги фуннсссгм и обозначшог атас(П, т. е. рас1 П = 1 дс'; дс'; дб 1, 'сдя' др ' дк!' Отметим, ч 2о йгми1 П есть векторная величина. Говорят: скалярное иоле П порождает векторное поле грвдиелта бс.
Теперь равенспю (70.2) можно запистагь в виде дП кгвс1 П дЛ вЂ” = е ° йтас(П дП вЂ” = ( атас( Ц сов 4р, (70.3) ;,л Л Рис. 269 где 442 — угол меж,пу вектором ктас1П и направлением Л (см. рис. 269). ф Из формулы (70.3) сразу следует; что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда сте со = 1, т.
е. при со = О. Таким образом, направление градиента совпадает с направлением Л, вдоль которого функция (поле) меняем я быстрее всего, т. е. градиент 4ункс1пп ркагыоаеса направление напбысгаребшего ооорастан я фрнксспи. Наиболыпая скорость изменения функции П в точке ЛХ равна дГг дб дП ° В атом состоит физический съсысл гродиента. На указанном свойство градиента основано его спирокое применение в математика и других дисциплинах. Приведем важные свойства градиентно функции.
1. Градиент направлен ссо нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку. ~.~ Действительно, по люсюму направлению вдоль поверхносгги уровня (П = с) ~ =. О. Но тогда из (70.3) следует, чтт2 сов у2 =- О, тс е. 4р = 2. ° дЛ 2, атас1(П+ И) = кгвс1ьс+ ктас1Ъ', 3. 6гвс)(с. П) = с - ксвс1 бс, с = согсв1, 4. йгас)(П . Ъ") = 026твс11" + 12 кгас( бс, . ~((,2) И гас)П вЂ” П гагар б. 6гас1( —.) = И' 6, „„1р(П) =-ХКГ1П. Д Доказываются эти свойства па основании определения градиента.
Докажем, например, последнее свойс-гво. Имеем: йтас1ДС2) = — (1(с2))с2+ — (1(П)) у'+ — (7(П))14 = — — г + — . — у + — — к = —, ксас1 К ° ОУ аи2 ОУ дП. И дП д7 дП дя дП др дП дг дП Замечание. Приведенные свойства градиента функции остшогся справедливыми и для плоского поля. Пршиер 70 2 Найман наибольшую скорость возр ссганияфункции П = гй + к + —" в точке А( — 1; 1; — 1). с/ г и (,,'1 Решение: Имеем ,. 1П .+ + —.+ Р+ йтас(бс( — 1;1; — 1) = 2г2+ Оу — 2к = 24' — 2Е Наибольшая скорость возрастания функции равна )2 24~4г= '4-';2.44=2 2. Отметим, что функция П будет убывать с наиболыпей скоростью (2ъ~2) если точка А движется в нвправлении — втас(П(А) = — 24'+ 2к (в,нтиградиентное направление). 505 71.2.
Поток поля (71.1) К с» о(Мс) пс схоь 507 271. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ 71.1. Векторные линии поля Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором а = а(М). Изучение поля удобно па синеть с понятия векторных линий онн являются простейшими геометрическими характеристиками поля. Вемпсорнос»' лпииес» поля а называется линия, касательная к которой в каждой ое точке М имеет направление соогветствуюпсег ей вектора а(М). Это понятие для конкретных полей имеет ясный физическ смысл.
Например, в »юле скоростей текущей жидкости векторными ли пнями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линю тока); для магнитного поля векторными (силовыми) линиями бутсу линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном. Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторук> замкнутую кривую, называе ил вектор>»ой трубкой.
Изучение векторного поля обычно начинают с изучения располо жения его векторных линий. Векторные линии поля а = Р(х; р; и) с + 1„) (я; р; г)»' 4 Н(я; сл ) ь описываются сиспемой дифференциаль- ных уравнеяий вида ая с(у »Ь Р(я;р;г) Я(х;р г) Н(я;р;г) (71.2) ~ ] Действительно, пусть Рс»с — векторная линия поля, и = хг»+ ру' + вй — ее радиус-вектор. Тогда вектор дг = сст . с 4. Рис. 270 + с»р .у + сЬ й направлен по касательной к линии РЯ в точке ЛХ (см. рис. 270). В силу коллинеарности векторов а н 6т ш>сдует пропорциональность их проекций, т.
е. равенства (71.2). Лрсс»мер 77.с. Найти векторные линии поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной' угловой скоростью и> вокруг оси Ов. О Ре»пение: Это ноле определено вектором Ъ' = — о>рс»+ о>я) (см. при- мер 69.2). Согласно (71.2), имеем: »Ь с1р »Ь о>х »Ро = — о>ус(о, — — или — о»р о>х О О . сср = о>х Ж. ) яг + рг = с>, Интегрирун, получим: т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
