Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 70
Текст из файла (страница 70)
яв~ гги кв Аналогично находим гг„= — / 1(х)з1пвхг(х = -. = — ( — 1) 1 г, 1 гг в Исходной функции 1(х) соответствует ряд Фурье 1(х) Ь(х) = — + ~~г — — (1 — ( — 1)") сових+ — ( — 1)"т~ зшвх. 4 ггиз и И=1 Функция 1(х) непрерывна во всех внутренних точкой отрезка [ — гг; я], поэтому, согласно тсорелге Дирихлс, для всех этих точек имеем равенство Г(х) = Я(х), т. е. (1 Решение: На рисунке 260 изображен график ф функция удовлетворяет условиям Дирихле, значит, она рзагюжима в ряд Фурье.
Находим коэффициенты ряда: ао = — ~,г (х) дх = — [ ( — х) г1х + — [ 2х г(х = —, 1 1 1 г Згг х гг гг 2' я — я о 1 1 1 а„= — ~,г"(х) сових г(х = — ~ ( — х) созвхг1х+ — г' 2хсозихдх = и гг 2 Зх 6 /созх созЗх соз5х 1(х) = Я(х) = — — — — + — + —.— +,. + 4 я.1 12 Зз 5 + <чйпх зш2х сов Зх 1 2 3 + — — ° .. Н точках х = хх сумма с(х) Ряда Равна у( — д-+О)+ ('(х — О) гг+2х 3 2 2 260 Рис.
261 где (67.2) (67.3) где При этом Я(+я) = 2 ХХргьмер 67.х. х Е ( — я; т), Т = 2я. т. е. р(г + 2я) = Р(Г). б7.2. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций Если разлагаемая на отрезке ( — я; я] в рял Фурье функция 7(х) является чет ой гн й или нечетной то зто отражается на фо фформулах к(еффициентов Фурье (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда (он становится так называемым неполным). Если функция 7'(х) чегпная, то ее ряд Фурье имеет вид ае У(х) = — + ~ ~а„соя пх, "е=;./'~(х)«х.
ап=- ~У(х)есзпхдх, п~р~, е о "фУн Ги П ) ш р дФур ,7'(х) = ~~~ Ь„зшпи Ь / У(х) 81ппхах и Е М. (67.4) о Ц Как известно (см. п. 39.4), если функция 7" (х) ин мотричном отрезке [ — а; о], то а 2 ~ Дх) гЬ, если 1(х) — четная функция, о (67.5) — а О если 1(х) — нечетная функция. Если функция,~'(х) — — четная, то 7"(х) сових — четная функция (1( — х) сгн( — пх) = 1(х) сквих), а 1(х) впах — нечетная функция ٠— х) вп( — цх) = — 7(х) вппх).
ли же 1(х) — нечетная функция, то, очевидно, функция у(х) соз пх — нечетная, а 1(х) вп пх — четная, С учетом формулы (67.5) из формул (66.13) — (66.!5) пол чаем о . ) ( . ) ш ываюгся неполными тригонометрическиРяды (67.1) и (67.3) ь з ми рядами или я ами р д по косинусам и па синусам соответственно. Разлож азложить з ряд Фурье функцию )'(х) = х, 0 Ращение: На рисунке 261 изображен график заданной функции. Условиям Дирихле функция у = х удовлетворяет. Эта функция— нечетная. Следоватсщьно, о„= О, и = О, 1,..., а 2 Ь„= — / хвппхс1х = — ~ — — сових~ + — ззшпх~ ~ = — ~ — — ( созхп, я И -~ -,] е т. о. Ь„= — .
( — 1)"+ (и Е Ь(). Ряд Фурье содержит только синусы: ,~ 2 „,, /зшх йгг2х вп3х х = ~~ — . ( — 1)"+' - вппх =- 2] — — + — —... п=ч б7.3. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с периодом, отличным от 2я. Пусть функция 1'(х), определенная на отрезке ( — 1; 1], имеет период 21 Ц'(х+ 21) = 7(х), где 1 -- произвольное попожитсщьвое число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.
Сделав подстановку х = — 1, данную функцию 1(х) преобразуем в я функцию ~р(1) = 1 ~ — $~, которая определена на отрезке ( — гб я] и имеет Я 1 период 2" = 2з.. Действительно, если 1 = — я, то х = — 1, если $ = я,то х = (и при — я <1 < я имеем — 1< х <1; (1 +2„) =у1 — (Ь+2х)) =У~ 1+21] =У~ ] =т(~) где = — — сов яп =- — . ( — 1) 8 8 >,и яп яп где и=1,2,3, Таким образом, (67.
7) для — 4 < х < 4. у(х) = — г я=1 (67.8) где п=1,2,...; (67 ге) где 2 г , япх Ь„= — у,7(х) в(п — г(х (l в Рвс. 262 и=1,2, (67.11) Разложение функции И(В) в ряд Фурье на отрезке [ — я; я] имеет ввд ав >Р(г) = — + ~ а„савггг+ Ь„вгпга, 1 / 9>(Г)сг>впгдв (п = 0,1,2, ) 77 — У Р(6) вш 1г16 (. = 1,2, ), Возвращаясь к переменной х и заметив что с = Ях гй' = ~дх получим Ряд (67.6) с кгхзффициентами, вычисляемыми по формулам (67.7) называется рядом Фррье для фрикциа 7'(х) с периодом Т = 20 Замечание. Все теоремы, имеющие место для рядов Фурье 2я-периодичоских функций, остаются в силе н для рядов Фурье функций, период которых Т =- 26 В частности, если 7(х) на отрезке [ — 1; г].
Свгпиав> то ее ряд Фурье имеет внд г 2г 2, [ У(х)дх а. = — / 7'(х)ссн — г(х, в о если г (х) - — ивчетг>ая функция, то ,7(х) = ~~> Ь„вш я=1 Пример 67.3. Разложить функцию 7(х) = х на интервале ( — 4; 4) ряд Фурье. с,)~ Решение: Данная функция нечет~ая, удовлетворяет условиям Днрнхле. По формулам (67.10) и (67.11), при 7 = 4, имооьп х = ~~г~ Ь вш ™~, 4 где 6„4 ~ хвгп ггх> п — 1>2,3,... о Вычисляем Ь„: 1/ 4 я.пхг' 4 4, япхЯ Ь = — ~ — х — сов — ~ + — - — вгп — [~ = 21, ггп 4 ]о яп яп 4 Ц 67.4. Представление непериодической функции рядом Фурье Пусть у =,7(х) — непериодическая функция, звданная на всей числовой оси (-ос < х < оо). Такая функция не может быть разложена в ряд Фурье, т.
к. сумма ряда Фурье есть функция периодическая и, следовательно, не может быть равна 7'(х) для всех х. Однако непериодическая гбрюдрю 7'(х) мозгсст быпгь предсгпавлеиа е опде ряда Фурье на .любом конечном яромезгсртке [а; Ь], на котором она удовлетворяет условиям Дирихле. Для етого можно поместить начало координат в середину отрезка [а; Ь] и построить функцию Гг(х) периода Т = 2г = ]Ь вЂ” а~ такухь что уг(х) = )с(х) при — 1 < х < 6 На рисун- ке 262 приведена иллюстрация построе- ! ния функции 7г(т). Рис. 263 Рвс. 264 ьъх — ьх!е е — 15 2 х~ ыя + — ых = — "'+ ~. 2 2 в=1 4Ь„)е"" (а„+1Ь„)е "'* 2 2 ~ +'Х ', Ых+ — Гик 2 ь=1 а +1Ь с „= (а„— (67.12) а — 15я где обозначено с 490 Разлагаем функпию 71 (х) в ряд Фурье.
Сумма этого ряда во в точках отрезка [и; Ь] (кроме точек разрыва) совпадаег с заданной фу цией Дх). Вно этого промежутка сумма ряда и Г(х) являются сонь шенно различными функциями. Пусть теперь непериодическую функцию Г(х) требуется разл жить в ряд Фурье на отрезке [О; 1]. (Это часчньгй случай: начало к ординат перенесено в точку х = и отрезка [а; Ь]; область опрепелен функции т'(х) будет иметь нип [О; 1], где 1 = [Ь вЂ” а[.) Такую функцию можно произвольным образом доопределить отрезке [ — 1; О], а затем осуществить ее периодическое продолжение периодом Т = 21. Раиюжив в ряд Фурье на отрезке [ — 1; 1] получена таким обрзж1м периодическую функцию 71 (х), получим искомый р для функции 7(х) при х е [О; 1].
В частности, функцию Дх) можно доопределить на отрезке [ — 1; четным образом (т. е. чтобы при — 1 < х < 0 было Дх) = Г"( — х)) . см. рис. 263. В этом случае функция Дх) разла1нется в ряд Фур который содержит только косинусы (см. формулы (67.8) и (67.9)). Если же функцию Г(х) продолжить на отрезок [ — 1;О] нечетны образом (см. рис.
264), то она разлагается в ряд, состоящий только и. синусов (см. формулы (67.10) и (67.11)). Ряд косинусов и ряд синусов для функции 7(х), заданной на отрс ке [О; 1], имеют одну и ту же сумму. Если хо -- точка разрыва функ1 ,Г (х), то сумма как одного, так и другого ряда равна одному и тому ж, 2 Замечание. Все, что было сказано о разложении в ряд Фурье функ ции Г(х) на отрезке [О;1], переносится практически без изменения н случай, когда функция задана на отрезке [О; я]; такую функцию меж но рвзло1кить как в ряд косинусов, так и в ряд синусов (формулы (67.1 (67-3)). Лрммер 67.4. Разложить в рядкосинусов функцию Дх) = ~ 2 0 < х < х.
Г,1 Решение: Продолжим функцию Дх) на отрезок [ — х; 0] четным абра.'юм (см. рис. 265). Разлагаем в ряд функцию ] ~ х 0<х<я, 2 2 с пориодом Т = 21Г. Условиям теоремы Дирихле функция 71(т) удовлетворяет. Используя формулы (67.1) и (67.2), нахо- Рис. 265 дим: 2 Гх — х ГГ ае = — / — Г(Х = —, 1Г .Г' 2 2' 0 Таким образом, я — х к 2 /совх созЗх сов бх Г (х) + [ 2 в гз '' ] ' 2 4 я[, 1 3 5 глеО<х < х призтом Я(О) = = — Я(хя) =, =0 .
° в я х О+О 2' 2 гя — х 1 и = — / созпхГ(х = — 2(1 — сОб7Гп) я .Г' 2 хп о 67.5. Комплексная форма ряда Фурье Ряды Фурье часто применяются в комплексной форме записи. Преобразуем ряд (66.12) и его коэффициенты (66. 13) — (66.15) к комплексной форме. Для этого используем формулы Эйлера, вырзлсающие косинус и синус через показательную функцию: Фпь — зь* Гкь — ив х е +е СОВПХ =, В1ППХ =- 2 21 (из формулы Эйлера е1т = сову1 + геша и вытекающего из нее Е~1т ' Е 1" равенства е '" = сов~о — Гз1п~р находим, что сояГр зшГд = е .е ).
Подставив эти выражения в ряд (66.12), находим: 24 пв СО е +е Вья — мчж 1ьь — 1ьт и*) = — +Е". в=1 Найде к ффициентов с„и с . И айд м выражения для комплексных коффи е пользуя выражения лля а„и 5„(формулы (66.14) и (66.15)) получим о)), получим 1/1 1 сО = ~ ( Дх) с2з пас(х — х — х) ((х) ъшпхДх к l 1 — Дх)(севпх — хзшпх) с(х = — / Ях)е с™с)х, 2~г / т. е 1 2я / .г(х)е дх (п= 1,2,3,,), (6713) — к ао 1 г 'о = — = — 1 ((х)дх,; (67.14) О 1/1,".
77 2 ~ к ( ) + с 1(х) 8)пгххс(х к .г — л — л 1 у. 2~ Г(х)(созпх+ хыппх) дх =- — у(х) дх ( О 2.г 2 (67. 15) Таким образом, формулу (67.12) можно записать в виг ь У(х)=„+С- схп* с -хОО с„+ с „е, или г'(х) = ~ с„е"ы. (67.16) 77= — ОО Коэффнциеггты этого эфф шеггты этого ряда, согласно формулам (67.13) -(67.15), мо записать в виде 'лам . — . ) можно 1 с„= — х( 27(х)е ™с(х (п = О, х1, х2,...). (627.17) -О Ц авенство (67.16) называется номгслек 22 ф мос2 смо ор ряда Фррье фрммг)им,)'(х), а числа сш найденные по формуле (67.17),— Если функция г(х) задаетсж на отрезке ] — 1; 1], то комплексная фома ее ряда Фурье имеет вид г копая с р- ПХОО У(х) = ~~ с„е ' , с„ = — ~ Цх)е ' с(х (и = О,х1,х2,....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
