Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 73
Текст из файла (страница 73)
е. векторные линии данного и = сгр поля представляют собой окружности с центрами на оси Ов, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси. Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Для яаглядносги будем считал а(М) вектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся с тационарно. Представим, что некоторая поверхность Я находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости просекает через поверхность Я. Выберем определенную сторону поверхности Я. Пусгь Г» = (совс»;сов)>;сову) а(ЛА) единичный вектор нормали к рассматри- Н, ваемой си>роне поверхности Я.
Разобьем поверхность на элементарные площадки Я>, Яг,..., Яо. Выберем в каждой площадке точку М; (»', = 1, 2,..., и) (см. рис. 271) и вычислим значения вектора скорости о(М) в Я каждой точке: а(М>), а(Мг),..., а(М„). Б)дом приближенно считать кюкдую Рис. 271 площадку плоской, а вектор о, постоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времеви через Яс протекает количество жидкости, приближенно равное Кс — Нс .
ЬЗо где ЬЯс — — плопсады-й площадки, В» —. высота вчго цилиндра с образующей а(М»). Но Нс являпн:я проекцией вектора а(Мс) на нормаль нр Нс = пр„-,а(Мс) = а(Мс) . пс, где й»вЂ” единичный вектор нормали к поверхноеги в ~очке Мс. Следовпгтп»ьно, обпсее количество жидкости, протекающее через всю поверхность Я за единицу времени, найдем, вычислив сумму Точное значение искомого количества жидкосги получим, взяв предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров с(с плон)апек)с К = 1>п> ') й(мс) йс - Ь~с = Цот(М) пт- с(в. 0иии»с» — »0)»=> 5 К = ДапсЬ.
(71.3) (см. (6.2)), то К= Оа„сЬ, (71.4) ком пенс ируек си (71 .5) Рвс. 273 Рвс, 272 К = Ц здусЬ вЂ” хскхсЬ+ уатс1у. 508 Независимо ог физического смысла поля а(М) полученный интеграл называют потоком векторного поля. Д Погпомалс векчпора а через гпзаерхносгаь Я называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т. е. Рассмотрим различные формы записи потока вектора. Так как а, ° й = ~й~ - прва = приа = а„ где а„— проекция вектора а на направление норман и сЬ вЂ” диффе- 1 ренциал (элемент) плснпади поверхности. Иногда формулу (71.3) записывают в виде ( К = О а сЬ, где вектор сЬ направлен по нормали к поверхности, причем ~с(н~ = сЬ.
Сзс = С,с(х; у«н), «зс = кк(х; у; г) - — проекции вектора а на соответствующие координатные оси, то поток (71.3) вектора а, можно записать в виде К = Ц(Росно+с„сссакз+11сон у)сЬ. Используя взаимосвязь поверхностных интегралов 1 и П рода, (см. фар«сулу (58.8)), поток вектора можно записать как ф Отметим, что поток К вектора а, есть скалярная величина. Вели- чина Х равна объему жидкости, которая протекает через поверхность Я за единипу времени. В этом состоит физический смысл потока (независимо от физичесзсок о смысла поля). Ос сй интерес представляет случай, когда поверхность замкнута Особый и т и ограничивает некоторый объем И. Тогда поток вектора записывается «=~ м(, ~ ° У,„Л,...).
з Я и В этом случае за направление вектора й обычно берут напра« пление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности 8 Если векторное поле а = а(М) есть поле скоростей текущей жидкости, то величина потока К через замкнутую понерхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области И (объема Ъ') и втекнкощей н нее за единицу нремени (н точках поверхшх:ти Я, где векторные линии выходят из объема И, внешняя нормаль образует с вектором а осгрый угол и а ° и > О; в точках, где векторные линии входят в объем, а ° гл с 0). При этом если К > О, то из области И вытекает болыпе жидкости, чем н нее втекает.
Это означает, что внутри области имеются дополниптьные. источники. Если К с О, то внутри облек:ти И имеются сашки, поглощающие взбьггок жидкости. Можно сказать, что источники — точки, откуда векторные линии начинаются, а стоки — — точки, гдо некторнью линии кончаю~си. Так, в электростатическом поле источником является положительный заряд, стоком — — отрицательный заряд магнита (см. рис. 273). Если К = О, то из области И вытекает столько же жидкости, сколько н нсе втекает в единицу времени; внутри области либо нет ни источников, ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно При.мер 71.2. Найти поток вектора а = « ° л' — х - у + у - )с через верхнюю сторону треугольника, полученного при сюресечении плоскости йх+ бу — 2н — 6 = О с координатными плоскостями (см.
рис. 274). С,'в Решение: Поток найде«с методом проектирования на три координат- ные плоскости. Дпя этого воспользуемся формулой (71.5). В нашем случае Р = г, 1,З= — х, К= у. Имеем: с о Кс =-Цздус1з = — Ц зс(ус(2 — ~<Ц пос: о зз — з Кз = — ЦхсЬсЬ =' Ц хсЬсЬ = ( хсЬ ~ сЬ = Я АСС о з — о 3 2' =2 7 о — зя 2 К, =. Цудхс10 = Ц удхс1у =-~сЬ Б АОП о 1 уду = 3' В результате имеем: К = — + 2+ — = 35.
2 Нрсбывр ™Л. Найти поток радиус.-вектора с: через внепснюю сторону поверхности прямосо конуса, вершина которого совпадает с точкой О(0; 0; 0), если известны радиус основания В и высота конуса Н (см. рис. 275). с„г Респенио К=ф „Ь:= Ц г„аз+ Ц „до=К,+Кх я бо«.пов. Ос Очевидно, что Кс = О, т. к. прис = 0; Кх — — Ц г„до = Н. Ц до = Н.хВ2, Рис. 275 обв асн т. к. прнг =- Н.
Итак, К = хНВ2. 11.3. Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса Важной характеристикой векторного поля (71.1) является так называемая дивергеспщя, характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля. 510 Расчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затем сведем их вычисление к вычислению двойнь>х интегралов. Нормаль к верхней стороне треугольника образует с осью Ох тупой угол, с осью .
Оу — т~ ПОй, а с Осью Оз — Ос-трый угОЛ. (Есс!шнчньсй век сор ас й плоскости есть й =:1Сс-с(+ — 7 — — 1с); на веРхней счоуоне соз У > О, позтому надо выбрать знак «минусе; получим: сов о = — 3, соз д = — —, 7') 2 Итак, К = К, + Кз+ Кз.
Находим Кс, Кз, Кз.' р дмвврееицмей' (нли расходимостью) вемгпогвсоео поля п(М) Р(х,у,з)с+ 1;)(х,у~о)Я+ В(х у*о)" в точке М называется скаляр вида — + + — и обозначзегся . д дЯ дВ дх ду дз символом дпса(М), т. е. Отметим некоторые свойства днвергенции. 1. Голи а постоянный вектор, то с11т а = — О. 2. сйх(с а) = с . сна, где с = сопок 3. Йс (а+Ь) = Йва.+с)12 о, т.
е. дивергенция суммы двух векторных функций ровна сумме диверсенции слагаемых. 4. Если Н -. скалярная функпия, а вектор, го сс1т(Н - а) =- Н - сйо а + а 8твс( Н. Эти свойства легко проверить, используя 4юрмулу (71.6). Докажем, например, справедливость свойства 4. (.)( Тах как Н . а, = Н Р - с + Н О . у + Н . В 12, то 61 (г, . а) = — (Н Р) + — (Н (7) + — (Н. В) = д д д д ' др ' дз дР дд дД дб дВ д(с = Н вЂ” + Р— + Н вЂ” + Π— + Н вЂ” +  — -- = дх дх др ду дв дз с'дР дс,) дВ'с дН дН дН =Н~' + +, )+Р +9 +В, ~, дх ду дз) дх ду дда = Н .
Йг а + а 8тас1 Н. ° Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского--Гаусса Ф ггlдР д9 дУЙ Р др сЬ + с~ с(х сЬ + В сЬ Йу = Ц ~ — + —. + — ) до (71.7) дх ду дз я с' в так называемой векторной с)юрие.
Рассматривая область И, ограниченную замкнутой поверхностью Я, в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть с)юрбсулы (71.7) ость попж вектора а через поверхность Я; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора а. Следовательно, формулу (71.7) можно записать в виде фавдз = ~Цссма с(о (71.8) (в котором она чаще всего и встречаетси). Формула Остроградского .Гаусса, озна «ает, что поп«ок векторно. Ю го поля через зомкнуиую поверхноппь Я (в направлвиии вне«он нормали, т. е.
изнутри) равен тиробному иип«вгуау«уота диверггнции эт ' го поля по обоему К, ограниченному данной поверхностью. Используя формулу (71.8), можно дать другое определение див генции векторного поля о(М) в точке М (не связанное с выбором ординатиых осей). По теореме о среднем для т1юйного интеграла (см. и. 54.1) имееМ Ц~ «11т а(М) йо = К - йт о(Мо), где Мо — некопурэя (средняя) точка области К. Тогда формулу (71.8 можно переписать в виде фа„дд =- 31 с(1го(ЛХо). Опхода 1 и «1««та(Мо) = — Я ао сЬ. РУ" Пусть поверхность Я стягивается в точку. Тогда К -й О, Мо -й и мы получаем выражение для йт о.(М) в точке М: ййа(М) = 1ип — Д а„,дг.
1 су (71. и-ю 7) У Я Дивергенцией вемтпорноео поля в точке ЛХ ««азывается пред отношения ««стока ноля через (замкнутую) поверхность Я, окруж, кущую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, пр условии, что вся поверхность стягивается в точку ЛХ (вт — й О). Определение (71.9) рввергетс««и эквивалентно (можно показать определению (71.6) . Как видно из определения, дивергенция векторного ноля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.
Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают, что а(М) есть поле скоростей фиктивного стационарного и«утека несжимаемой жидкости), можно сказать, что: ири «11та(М) > 0 точка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает; при йк а(ЛХ) ( О точка ЛХ есть сток, поглощающий жидкость.
Как следует из равенства (71.9), величина йг а(М) характеризует мо«иноссь (интенсивность, плотность) источника или стока в точке ЛХ. В этом состоит физический смысл дивергенции. Понятно, что если в объеме и, ограниченном замкнутой поверхностью Я, нс.г ни источников, ни витков, то 81ч а = О. Векторное, поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна, нулю, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
