Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 75
Текст из файла (страница 75)
>1>нрв$П = >7('7>7) = (>>7- н>)>7 = ( — т+ — т+ — ~) . (7 = д ~ . П авая часть зп>го равенства называеп.я = — 2- + — т + — т. Развя ч' ап - ой с, нкции (7 и обозначается с.'>>7. Таким опера>порол> Лапласа скалярной с ункции обр (723) Йньсас>о=сз(7.= 2 + — 2+ д 2. У н иальное уравнение Лапласа >МУ = 0 играет важную роль в различных . ',; с изики..п разделах математическо с изики..п Лапласа являются так ак называемые гарлсонические й ц амг ..
с 2Л можно прийти, введя в рассмотрени. >мо н, ' .ние Замечание. К равенству с . мо н ный опе втор дельта: склляр Р д дг дх >1=>й.17= 2+ 2+ 2 дя дУ кото ый тоже называют оператором Лапласа). ( ф 2. го1 гас) П = ~7 х ведение двух одинаковых векторов раен у о н лю (нуль-вектор). Это означает, что псле гради радиента есть поле безвихревое. 519 д — (»1Ь'а) ° Ь = дх д"Ц дз11 1 —. + —.
+ — /1+ др дрдх д»Р дз1-1 дзд ~ — + — + —,)Е дуда дрдз дз нде н — - внешняя норма ~~ь ах(Ьхс)=Ь а.с — с а ° Ь. Рис. 280 Дан»(з = — 0 а~ »»в. н» я» иреннюю нормаль пм полу'им: 0 аш»1в = Д а„»1в. Я» и» 521 б20 3. 8та»1»1»та = д д дт =Я~Я а) = — (йта)»» Ь вЂ” (с1ька) 1+ д Р дз(1 дз11 д» Р 4. »11т то1 а = 17 (17 х и) = О, так как смешанное произведение т векторов, из которых два одинаковые, равно ну»по. Это означает, по поле вихря -- соленоидальное. 5. тоФтой а = 17 х (17 х а) = Ч~,Ч а) — (17 T)а = 8та»1 йъ и, — Ьа, так как двойное векторное произведение обладает свойством Здесь Ьа = ЬРч'+ йЦ1+ сл1»й — векторная величит»а, полученная результате применения оператора Лапласа к вектору а.
873. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОСНОВНЫХ КЛАССОВ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 73.1. Соленоидальное поле Напомним, что векторное поле а называ»исси солено»»дальнм и„если во всех точках его дивергенпия поля равна нулю, т. е. »11та = О. Примерами соленоидальных полей являются: иоле линейных скоростей вращающесося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и другие. Приведем некоторые своев»пва соленоидального поля. 1. В со,пеноидальном поле а по сок вектора через любую замкнутую поверхность равен нул1о. Это свойство непосредственно вытекает из формулы (»1.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет источников и стоков. 2.
Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т. е. если Жт а = О, то существует такое поле Ь, что а = го1 Ь. Вектор Ь называется векторным пвшенциалвм поля а. Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения соленондального поля. Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное утверждение — поле ротора векторного поля есть соленоидальное— нами доказано (выше мы показали, что»йтгоФ а = 0).
к ве то а че ез поперечное се- 3. В соленоидэльном поле а поток век р раяяет постоянное значение (называемое чение векторной тру ки сохраня . »»ншснсивнвппью трубки). е т в мя ее произвольными се- Д Рассмотрим векторную трубку межд д у и Я и Ях боковую поверхность трубки обозначим через чениями 1 и х, к в иове хность, состоящую (СМ. РИС. 1. О .
280). П ток вектора через замкнутую позер из Я», Яз и Я, равен нулю. Следовательно, Ца с(в+ ~~ а»»дз+ ~~анди Ц~ Я» а» Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль й перто ( а„»Ь = 0 и, следовательно, пендикулярна к векторал» поля, то я Переменив напра»м»ение нормали на» лощ е Ям т. е. взяв вну- В»»еле скоростей»екуптей жидкОсти вОлу »енный результат Оз»»ача равно к опичеству жидкости, вытека|ощей из нее. 73.2. Потенциальное поле Векторное поле а называет » ается пвшенц»»альным (или безвихрсвмм, или гра»внтнь»м, д» . н»м) если во всех точках поля рот р р о авен нулю, т. е. го1а = О.
П име нап яж р . ром потенциального поля являетс я я электрическое поле пряженности точечного заряда (и другие). Приведем основные свойства потенциаль ального поля. Свойство 1. Пч к ля я 1 р у цв 2 отегщизльного поля а по любом замкнутому контуру в этом поле равна нулю. лю му за- Д Это непос с С = ~ а,д1 =. О. ред твенно вытекает из формулы (71 14).
С.1 ). ледовательно, А ~нциального поля это означает В частности„для силового поте работа силы по любом юбому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей текущей жидкости равенство С = О о замк — означает, что в потоке нет мкнутых струек, т. е.
нет водоворотов. Свойство 2. В по тенциальном иоле а криволинейный интеграл' чалом в точке М1 р + г вдоль любой кривой Х с начало М Рйх+ Цд + Кдг в и концом в точке Мг зависит только от поло- Я жения точек Мг и Мг и не зависит от формы кривой. М1 Мг Ц Это свойство вытекает из свойства 1. Дейр ствительно, взяв в поле две точк М М, Рвс. 281 соединим их двумя кривыми М~РМ и М М гак, чтобы конт гр 221Мг лежал внутри поля (см.
рис. 28Ц. Тог имеем ). огда, в силу свойства 1, Рйх+ Одр+ Ргдг = О. Учитывая свойства криволинейного интегр .Вала,получаем: Мгрм,дм, / Рйх+91дгр+лд + / Рй,+Ой, дй М,РМ, М М дм, / — ~ =О, 1РМ2 М19М2 т. е 1 1 йх+ед'др+Вйх = / р,1 +22)й„„п ° М1 РМ2 М М 19М2 Свойство Ю. Поте нцивльное поле является полем гра,лиента некоункции (х; р; г), т. е. если го$ а = О, то существует Д Из равенства гоФа = О вьггекает что дР дем) дГ) ДД д11 = —, т. е. выражение Рйх + 2„)йр + Вдг является полным днфферен- дР дг ' циалом некоторой функции Г = Г(х; р; г) (следствне 56.1). Эту функ- цию называют потенциалом векторного поля а =- Рг' + Щ + 116; дП = = Рдх+(Яр+Пйа Отс2ода: Р =, Ц = —, 12 = —,.
Следовательно, дП вЂ”, дà — дГ а = 1' г + 2)ух+ Йй = — 2 + — х+ — 19 = 8гад Г, дх др дг т. е. вектор поля а является градиентом скалярного поля. Замечание. Из равенства го18гадГ = О следует обратное утвер- ждение — поле градиента скалярной функщ1и П = 22 (х; у; г) является потенциальным. Из равенства а = 8гад (1 следует, что потенциальное поле опреде- ляется задщшем одной скалярной функции Г = 12' (х; р; г) —. его потен- циала. Потенциал векторного поля может быть найден по формуле [хллх) .
х) — ~ 1' дх + 21 др + л дв = (22122;22) — ~ 1'( - . во) дХ+ ~ Ф Ж 4) д~+ ~ Хо 22 20 где (хо„.ро, .го) — — координаты фиксированной точки, (х; р; г) — координаты произвольной точки. Потенциал определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого (из-за того, что 8гад(У+а) =8гайГ). Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных функций (Р(х; р; г), (2)(х; р; г), л(х; р; г) — проекции вектора поля на оси координат). Замечание. Определение потенциального поля может быть,нано иначе — векторное поле а называется потенциальным, если оно являегся градиентом некоторого скалярного поля, т.
е. а = кгадП. (Иногда пишут а = — 8гадС; знак вминус» пишут для удобства, обычно векторные линии направлены в сторону убывания Г: поток жидкости направлен туда, где давление меньше; теплота перемещается от более нагретого места к менее нагретому и т.
д.) ХХрм мер 73.А Установигь потенцнальность поля а(М) = (рг — 2х)г+ (хг — 2р)1'+ хрй и найти его потенциал. 522 523 чл Решение: Имеем: г д дк уг — 2х А д д дг дг хг — 2у ху гаса = =-('-х)г — (у-у),(+(г- )а=о. 73.3. Гармоническое попе сача = г(1ч 8гад П = О, или, что то же самое, 1(х+ гу) = п(х;у) + гь(х~у) Следовательно, поле вектора а потенциальное.
Найдем потенциал П по формуле (73.1), выбирая в качестве фиксированной точки начало коордшгат,т.е. хе = уе = ге — — О. Тах как Р(х;уе,.гз) = — 2х,1~(х;у;ге) = — 2у, Е(х;у;г) = ху,то г г П(х;у;г) = /( — 2Х)дт+г~( — 2е)(К+~худ~+с = — хг — уг+хуг+с. ° о о е Векторное поле а называепся гармоническом (или лапласдвмм) )1 если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным т. е. если го1 а = О н г(1ч а = О.
Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого истока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков. Так как поле а потенциально, то его можно записать в виде а = 8гас1 б', где П = о'(х; у; х) — потенциал поля. Но так как поле одновременно я соленоидальное то дгП дг(,- дгП ,М7= + — + — =О дх ~ дх т.
е. потенциальная функция о' гармонического поля а является решЕ- нием дифференпиального уравнения Лапласа. Такая функция называется, как уже упоминали, гармонической. Глава ХЧ11. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 574. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 74.1. Основные понятия Пусть даны два множества В и Е, элементами которых являются комплексные числа (см. шь 71). Числа г = х + гу множества В будем изображать точками комплексной плоскости г, а числа ю = и + гв множества Š— — точками комплексной плоскости ю. Если каждому числу (точке) г Е В по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное число (точка) ю е Е, го говорят, что на множестве определена однозначная функция комплексного нерелгеннодо ю = у(г), отображшощая множество 1г в множество Е (см.
рис. 282). Если каждому г е Н соответствует несколько значений ю, то функпия ю = = 1 (г) называется многозначной. Множество В называется областью определения функции ю = г'(г); множество Е, всех значений ю, которые у(х) принимаег на Е, называется обласгпью значений этой функции (если же каждая Ряс. 282 точка множества Е является значением функции, то Š— — область значений функции; в этом случае функция у отображает 0 на Е).
Далее, как правило, будем рассматривать такие функции ю = у (г), для когорых множества В и Ег являются областями. Облаезпью комплексной плоскости называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности (см. п. 43.1). Функцию ю = у(г) можно записать в виде и + гв = г'(х + 1у), где и — н(х; у) = Неу(х), о = в(х; у) = 1шйг), (х; у) и В. Функцию и(х; у) при этом называют дейегпвительноа частью фрикции ,г'(г), а о(х; у) — мнпмой.
Таким образом, задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций двух действительных переменных. 2 .!Хример 74.1. Найти действительную н мнимую части ф к ункции ешениео Функцию ю = «можно записать в виде и+ Ро = (х+«р)2, 2 т. е. и + гв = хз — рз + 12хр. Отсюда следует: и = хз — рз, о = 2хр. 74.2. Прег1ел и непрерывность функции комплексного переменного Пусть однозначная функция ю = 1(«) определена в некоторой окрестности точки «о, исключая, может быть, саму точку «о.
Под б- . окдеснгносглью точки «о комплексной плоскости понимакп внУтРенность круга радиуса б с центром в точке «о. Д Чсл Число юо называется пределоом функции ю = 1(«) в попике «о (или при « -+ «о), есо«и для любого положительного е найдется' такое положительное число б, что для всех «ф «о, удовлетворяющих неравенству !« — «о) < б, выполняется неравенство Щ«) — юе! < е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
