Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Вместо интеграла ( 7(х) дх можно брать интеграл ,7'(х) дх, где Й е И, сс > 1. Отбрасывание Й первых членов ряда в ряде (59.1), как известно, не влияет на сходимость (расходимость) ряда. Случай 1. Несобственный интеграл / 1(х) дх сходится, т. е.. 1 1-сс в +ОС ,7(х) дх = А. Поскольку ( 1(х) дх < с~ 7(х) дх = А, то с учг- 1 1 1 том неравенства (60.7) имеем: 3 — ит < А, т.
е. Зв < ит + А. Так каз последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограни чена сверху (числом ит + А), то, по признаку существования предела, имеет предел. Следовательно, ряд (59.1) сходится. Случай 2. Несобственный интеграл / 1(х) дх расходится. Тогда 1 . + — +..., (60.8) где р > Π—.- действительное число, называется обаСвс1еннмм гауманисесним рядам.
Длв исследования ряда (60.8) на сходнмость применим шгтегральный признак Ксяпи (признаки Даламбера и Коши ответа о сходимости не дают). Рассмотрим функцию 1(х) =. — „. Эта функция непрерьвша, моно- 1 сонно убывает на промежутке (1;+ос) и 7'(н) = — „= и, При р ~ 1 1 и имеем: ОО с 1 — р — = 1пп 1 х "дх — — 1пп хР с-+Ос,l с — ссс 1 — р 1 1 ат Р 1, если Р> 1, Д Прн р = 1 имеем гармонический ряд и„= —, который расходится 1 СО п' (второй способ: ~ — = оо). Итак, ряд (60.8) сходится при р > 1, расходится при р < 1.
В частности, ряд 1+ — т + — 2+... + — т +... 1 1 1 п сходится (полезно знать). Рассмотренные признаки сходимости (есть и другие) знакоположительных рядов позволяют судить о сходимости практически любого положительного ряда. Необходимые навыки приобретатотся на практике. ~ б1. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ' б1.1. Знакочередукнциеся ряды. Признак Лейбница Пример 60.7. Исследовать на сходимость ряд 1 а=2 1,1 Решение: Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функция 1 т'(х) = 1 удовлетворяет условиям теоремы 60.5.
Находим +СО = 1п ) 1п х() = оо. 2 Значит, ряд с общим членом и„=, расходится. 1 хуах 450 Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися. Знаночередуюисимсл рядам называется ряд вида ит — из+аз — из+...+( — 1)"+ти„+...= ~~ ( — 1)ьь и„, (611) О=1 тде и„> 0 для всех н е И (т. е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Для знакочередующихся рядов имеет место доссвасвачнмй признак сходимости (установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И. Бернулли).
451 0 < Я < им (6й2) 452 453 Теорема 61.1 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (61.1) сходится, если: 1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает,т.е.и1 >иг>иг» .и„>...; 2. Общий член ряда стремится к нулю: !ш1 и„= О. При этом сумма Я ряда (61.1) удовлетворяет неравенствам Ц Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа (2т) членов рцца (61Л). Имеем Яг~ = иг — иг + из — и4 +... + иг, ~ — иг = (иг -иг)+(из-и4)+:..+(иг, — и ), ' Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно. Следовательно, сумма Яг,„> 0 и возрастает с возрастанием номера 2т.
С другой стороны, Яг можно переписагь так: Яг = и1 — (иг — из) — (и4 — ив) — . — (и ° — и „, )— Легко видеть, что Яг,„< ии Таким образом, последовательность Яг, Я4„ Яе,..., Яг,„,... возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел !пп Яг~ = Я, причем 0 < Я < иг. Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа (2т+ 1) членов ряда (61.1). Очевидно, что Ягтьг = Ягт + иг~+г. Отсюда следует, что 1пп Ягшю .=- Бш (Ягм+игт+г) = !пп Ягш+ 0 = Я, ~а-+сю м — ~сю ы — ~сю т. к. !1ш иг„,+г —— О в силу второгоусловиятеоремы.
Итак, 1пп Я„= Я т — >гы ' ~1-~ОО как при четном и, так и при нечетном п. Следовательно, ряд (61.1) сходится, причем О < Я < ии Замечания. 1. Исследование знакочередующегося ряда вида — и~ +иг из+ и4в (61.3) (с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на ( — 1) к исследованию ряда (61.1). Ряды (61.1) и (61.3), для которых выполняются условия теоремЫ Лейбница, называются леббниг!вескими (или рядами Лейбница).
ф 2. Соотношение (61.2) позволяет получить простую и удобную. оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму Я данного ряда его частичной суммой Я„. Отброшенный ряд (остаток) представллет собой также знакочередующийся ряд ( — 1)я ~ (ия+г — и„+г+ ° ° ), сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т. е. Я < и„< н Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов. Пример 61.1. Вычислить приблизительно сумму ряда (,! Решение: Данный ряд лейбницевского типа. Он сходится.
Можно загпюатго 1 — — г + -з — . - —— Я. Взяв пять членов, т. е. заменив Я на 1 1 2 3 Яь = 1 — —. 4- —, — + —; = — + —, — + —, в 0,7834, 1 1 1 1 3 1 1 1 2г Зз 44 5г 4 27 256 3125 сделаем ошибку, меньшую, чем — е — — — „— < 0,00003. Итак, Я ж 0,7834. 1 б1.2.
Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов Я Зпакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд 2 и„, содержащий бесконечное мноь=-1 жество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знаиопеременным. Для знакопеременных рядов имеет место следующий ойцие достаточный признак авода.мости. (.)! Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов (61.4) и (61.5): (а1 + !аг~)+(аз+ ~аз!)+... +(ив+ !а„!)+.-- = ~~ (ав-!-1а„~), с1чевщшо, что 0 с аи + )а4 «( 2)ач~ для всех п ~ !4.
но ряд ~ 2!а ~ схо тся дится в силу условия теоремы и свойства ! числовых рядов (и 59 ! ) и=1 . Следовательно, на основании признака сравнения (и. 59.3) сходится и ряд 2 (а„+ (а„!). Поскольку данный знакопеременный ряд (61А) в=1 представляет собой разность двух сходящихся рядов ОО ОО ОО а„= ~~~ (и„+ !ап!) — ~~ 1а„~, ~=1 ч=-1 и=1 то, на основании свойства 2 числовых рядов, он (ряд (61.4)) сходится. Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если сходится ряд (61.4), то это не означает, что будет сходиться ряд (61.5). Пример 61.2.
Исследовать сходимость ряда 2; ( — 1)в ы - 1. ~а= 1 и (,„! Решение: Это знакочереду1ощийся ряд, для которого выполнены условия признака Лейбница. Следовательно, указанный ряц сходится. Однако ряд, составленный нз ьюдулей членов данного ряда, т. е. ряд 111,~1 1+,— + — + — + ° 2 3 4 ~п' п=г расходится (гармонический ряд). б1.3. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов Д Знакопеременный ряд называется абсо.людно сходма!амсм, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.
Знакопеременный ряд называется асловно сшодма!амсм, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. Так, рцц, показанный в примере (61.2), условно сходящийся. Ряд .у.(- )" '— и! в=1 . бсолютно сходится, т. к. ряд, составленный из модулей его членов, годится (см. пример 60.4). Среди знакопеременных рядов абсолютно схоцящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм (переместительность, сочетатольность, распрецелительиость).
Основные свойства абсолютно сходящихся рядов приводим без доказательства. Щ 1. Если ряц абсолютно сходится и имеет сумму Я, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет гу ке сумму Я, что и исходный ряд (теорема Дирихле). 2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами 8г и Яз можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого ранна Я~ + Ьз (или сгхггветственно Я1 — Яз). 3. Пцц произведением двух рядов аз+аз+...
и а1 + аз+... понимают ряд вида (а, а ) -!- (а1 аз -!- аза1) + (а, аз + азах + азщ) + + (а1а + ага„~ +... + а аг) + Произведение двух абсолютно сходшцихся рядов с суммами 81 и Яз есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна Я~ ° Ям Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитанлся, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи членов. В случае условно сходящихся рядов соответствующие утверждения (свойства), вообще говоря, не имеют места.
Так, переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добиться того что сумма ряда изменится. Например, ряд 1 — —, + — — — +... 1 1 1 2 3 4 условно сходится по признаку Лейбница. Пусть его сумма равна Ь'. Перепишем его члены так, что после одного положительного члена бупут идти два отрицательных. Получим ряд 1 12 1 1 + — — — + ° 10 12 1 1 1 1 1 х 1 — -+ — — — +- — -+"-) = -Я.
2 3 4 5 6 ) 2 1 1 1 1 1 1 4 3 6 8 5 10 1 1 1 1 = — — — + — —— 2 4 6 8 Сумма, уменыпилась вдвое! Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или расходящийся ряд (теорема Римана). 455 б'(х) = 457 и оэтому действия над рядами нельзя производить, не убедившись в их абсолютной сходимости. Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости знакоположительных рядов, заменяя всюду общий член ряда его мопулем. Глава Х1Ч.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Лекции 53-55 262. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 62.1. Основные понятия Рцц, членами которого являются функпии от х, называется фдияИООяйльиьом: и„(х) = и1(с1) + ив(х) +... + иь(х) +... (62.1) а=1 Придавая х опрецелепное значение хо, мы получим числовой ряд и1(хо) + ит(хо) +... + и„(хо) + . который может быть как сходящимся, так и расходящимся. Я Если полученный числовой ряд сходится, то точка хо называется точной сходи ности ряда. (62.1); если же ряд расходится питчяой расхадимости функционального ряда.
Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областпью сходимости. В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от х: о' = о'(х). Определяется она в области сходимости равенством Я(х) = 1йп Я„(х), где Я„(х) = и1(х) + из(х) + ...
+ и„(х) частичная сумма ряда. Пример 62.1. Найти область сходимости ряда ~,' х". ь=о О Решение: Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем о = х. Следовательно, этот ряд сходится при )х! с 1, т.е. при всех х е ( — 1; 1); сумма ряда равна 1 1 — т Пример 62.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
