Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Поверхностный интеграл! рода обладает слепующнми свойствами: 1. Цс 7(х;у;г))Ь= с. Ц~(х;у;г)дв, где с- — ч~с~о. 2. Ц(~1 (х; у; г) + Ь(х; у; г)) )Ь = Ц Ых; у; г) сЬ х Ц Уг(х; у; г) )Ь. е в в 3. Если поверхность Я разбить на части Яг и Яг такие, что Я = = Яг ()Яг, а пересечение Я1 и Яг состоит лишь из границы, их разделяющей, то ЦПх;у;.) <Ь = Ц1(',у)') 6в+ Ц Йх;у;г) Ь 4. Если на поверхности Я вьшолнено неравенство ~~(х;угв) ( (.(г(х;у;г), то ЦБ(х;У;х) 6в < ЦБ(х; у;г)гЬ.
5. Ц 6в = Я, где Я вЂ” площадь поверхности Я. ) ф~*)); ~<~<л' ~~*)ую).)~ 7. Если у(х; у; в) непрерывна на поверхности Я, то на этой поверх ности сущсствуег точка (х„у,; гз) такая, что Ц У(х~ У~ «) г(з = 7(хгйУз) аз) (теорема о среднем значении). 5'"г'.2. Вычисление поверхностного интеграла 1 рода ЬГ; и ЬЯ;. (57. Обозначив через 32 острый угол между ось Ов и нормалью п,; к поверхности в точке М;, ш лу чаем: ггХ) ' сов 7 = гз(г (57.4 (область ггз есть проекция Т; на плоскость Оху). Если поверхность Я задана уравнением в = = в(х; у), то, как известно (см.
(45.2)), уравнение касательной плоскости в точке М; есть г г в,'(х;; у;). (х — х,)+ха(хну,) (у — у;,) — (з — г;) = О, где «,'(х;; у;), х„'(хауд, — 1 — координаты нор- мального вектора к плоскости. Острый упал "д есть угол между векторами й = (О; О; 1) и Рис. 247 6, = ( — в,(х;;у;,); — в.„'(хбу;);1).
Следовательно, йв, соз уз = 1(1) (п;( Вычисление поверхностного интеграла 1 рода сводится к вычисле. нию двойного интеграла по области Ю вЂ” проекции поверхности Я н плоскость Оху. Разобьем поверхность Я на части Яо 1 = 1; и. Обозначим через гг проекцию Я; на плоскость Оху. При этом область Е> окажется разбит на я частей гг), ггз,..., (г„. Возьмем в гг; произвольную точку Р,(хб у;) восстановим перпендикуляр к плоскости Оху до пересечения с позер постыл Я. Получим точку М;(х,.; и; х)) на поверхности Яе Проведем точке ЛХ; касательную плоскость и рассмотрим ту се часть 7о котора на плоскость Оху проектируется в область гг; (см.
Рис. 247). Плеща) элементарных частей Яо 7; и и) обозначим как ЬЯо ЬУ; и Ь(г; с ветственно. Будем приближенно считать, что Равенство (57.4) принимает вид тб у;)Ьо;.. ц)(*,з;*)з =д)(*,з; (*;з)) )Г г4'+~'изз, (57.5) выражающую интеграл по поверхности Я через двойной ннтехрал по проекции Я на плоскость Оху. Отметим, что если поверхность Я задана уравнением вида у = — — у(х; в) нли х = х(у; «), то аналогично получим: Д Г(:,з )з = )) Г( и(*:*)г) ))(гз." г з'.*з з* )) Г(*;з; )з = )) Г(*(з' )з; ) 'ф+ ' г*', зь, (згз) где О) и От — проекции поверхности Я на координатные плоскости Оха и Оух соответственно.
Пример 57.1. Вычислить | = Ц(х — Зу+ 2«) г(з, где Я вЂ” часть 8 плоскости 4х+Зу+ 2х — 4 = О, расположенной в 1 октанге (см. рис. 248). (,В Ре)пение( Запишем уравнение плоскости в виде з = 2 — 2х — -у. 3, 2' ' Находим г,' = — 2, хв' = — —. По формуле (57.5) имеем: г=))(* — зг+з-з — зг) ))г+з+-~ зз= 9 4 4О = — Д (4 — Зх — бу)(1хг(у = — ' / дх / (4 — Зх — бу) г(у = Лв" Л6' 2 Л " 2 о о ъг29 9г 4г) = — ( г(х(4у — Зху — Зу ) 2 т о о В правой части формулы (57.2) заменим )3Я; (учитывая (57.3)) на по- лученное выражение для ьтзч а г, заменим на з(хну;). поэтому, пе- реходя к пределу при стремлении к нулю нвиболыпего диаметра Я; (а следовательно, и гг;), получаем формулу 422 423 8--уу'~Б+ Р~*,"ь~р.
Рнс. 248 Рис. 249 МХРа'.мер БХ2. Вычислить 1 = О х(у+я)~Ь, Масса поверхности у = у(х;; уп х;). где 111 — прямоугольник 44 В, В где Я вЂ” часть цилиндрической поверхности х = т/1 — рз, отсеченной' плоскостями в = О, г = 2 (см.
рис. 249). (,у Рещение: Воспользуемся формулой (57.6). Поскольку хт' = — — «=к — =, х,' = О, то р2 2 1 = О ~/1 — уз (у+в) . 1+, дусь = Ц(у+я)г(упх = п1 и, 1 2 1 г ~ Ну~(у+в)гЬ= / ~ух+ — )~ ду= / (2у+2)ду=4, — о -1 -1 Некоторые приложения поверхностного интеграла ! рода Приведем некоторые прнморы применения поверхностного инте- та 1 рода. щадь поверхности Если поверхность Я задана уравнением х = «(х; у), а ее проекция на оскость Оху есть область 11, в которой я(х; у), х '(х; у) и «т'(х; у)— прерывные функции, то ее площадь Я вычисляется по формуле и Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления ассы, координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения массы .у = у(х; у; х).
Все зти величины определяются одним и тем же способом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей, делая,пля кажцой области деления упрощающие задачу предположения; находят приближенное значение искомой величины;переходят к 1 пределу при нещраниченном измельчении области деления. Проиллюстрнруем описанный способ на примере определения массы материальной поверхности.
Пусть плотность распределения массы материальной поверхности есть у = у(х; у; х). Для нахождения массы поверхности: 1. Разбиваем поверхность Я на и частей Я;, 1 = 1, 2,... „и, площадь которой обозначим ЛЯР 2. Берем произвольную точку М;(х,", р;; «и) в каждой области Яь Предполагаем, что в пределах области Я„плотность постоянна и равна значению ее в точке Иь 3. Масса т; области Я; мало отличается от массы у(х;; у,", х,)йЯ, фиктивной однородной области с постоянной плотностью 4 Суммируя т, по всей области, получаем: тп Е 7(хя рн 2) а=1 5. За точное значение массы материальной поверхности Я принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение прв стремлении к нулю диаметров областей Я„, т. е. и гт В2«21 г(г = йсоз1 т = йт ) у(х;; уб х;)ЬЯн ~пах а; — >о а=в т.
е. т = Ц у(х; у; х) о(з. (57. Моменты„центр тяжести поверхности Статистические моменты, координаты центра тяжести, момен инерции материальной поверхности Я находятся по соответствующ формулам: 3 Яях Яят зт— т' т' Яо, ха ~ ус ги 17рммер 57.3. Найти массу полусферы радиуса й, если в к точке поверхности плотность численно равна расстоянию этой точки радиуса, перпендикулярного основанию полусферы. (,"1 Решение: На рисунке 250 изображена полусфера радиуса й. г уек = ~«В:*' — ~',у = «Етр — ч ность полусферы. По формуле (57.7) находим: Ряс.
251 т = Ц' з/хз + уз сЬ = Ц з/хз + уз х 2 3 1-+ а з х+ х з а~"хну= й — х — у й — х — у Рис. 250 Переходим к полярным координатам: Ц « .у 2 /У гг о о 27 Ц я - 'у(х; у; «) с1а, Ц х - у(х; у; х) ~Ь, Цу- у(х;у;з)сЬ, Мя = Ц(,у + х ) . у(х; у; х) оЬ, Ц( з+ я) ' = Ц(*"") '(х у'х) "- =Ц(х"""-') '(' ' )"' Нпутренний интеграл вычислен с помощью подстановки т = й зшй - йсоз1Ф = Вз ) А1 = «1 — соз21 2 о — з1п21~ ) = й~( — — 0) = — — —. ° 2 о) 4 4 258.
ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ 11 РОДА 58.1. Основные понятия Поверхностный интеграл П рода строится по образцу криволинейного интеграла П рода, где направленную кривую разлагали на элемсноы в проектировали их на координатные оси; знак брали в зависимости ьт того, совпадало ли ео нанравлепие с направлением оси или нет. Я Пусть задана двусторонняя поверхность (таковой является плоскость, эллипсоид, любая поворхпость„задаваемая уравнени< м х = 1(х;у), где 1(х;у), 1я и 1» -- функции, нелрерывные в неко- .юрой области .О плоскости Оху в т. д.).
После обхода такой поверхности, не пересекая ее границы, направление нормали к пей не меняется. Примером односторонней поверхности является так называемый лист Мебиуса, получающийся прн склеивании сторон АВ и С17 прямоугольника АВСО так, что точка А совмещается с точкой С, а В— с Р (см. рис. 251). Далее, пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхности Я в пространстве Отуя определена непрерывная функция /(х; у; я). Выбранную сторону поверхности (в таком случае говорят, что поверхность ориентирована) разбиваем на части Я,, где 1 = 1,2,...,п, и проектируем их па координатные плоскости.
При этом площадь проекции йа; берем со знаком «плюс», если выбрана верхняя сторона поверхности, или, что то же самос, если нормаль и к выбранной стороне поверхности составляет с осью Ог острый угол (см. рис. 252, а), т. е. соз у; > 0; со знаком «минус», если выбрана нижняя сторона поверхности (или соз у; ( О) (см. рис. 252, б). В этом случае интегрзльная сумма имеет вид 7(х;; у;; «н)йан . (58,1) где АЯ1 = (Я1)о,„— плошадь проекции Я1 на плоскость Ояу.
Ео отличие от интегральной суммы (57.1) очевидно. Рис. 262 Предел интегральной суммы (58.1) при Л =' шахп1 -+ О, если он существует и не зависит от способа разбиения поверхности Я на части Я1 и от выбора точек Л4 Е Я(, называется иовертнос1пным ингпггралощ' П рода (по координатам) от фупкпян Дх; у; х) по переменным х и у по выбранной стороне поверхности и обозна 1ается Ц И.; у;.) ((у Итак, Ц.("(к'у х) Аналогично определя1отся поверхностные интегралы П рода по пг- ременным у и в и з и к ~У(к(у(») 47»(х = (пп ~»1(т1>уйх1) ' (Я()ор» х-»0 5' (»» — э»»1 1=1 /,((х; у; х) »Й:1Ь = 1пп ~1(к1~ уб «1) (Я()о»».
х-и Я (»» — 1»»)»=1 Общим видом поверхностного интеграла П рода служит интеграл Д Р(х; У; з) 1(У г(з + 9(я; у„г) 1Ь сЬ + И(кй у; х) йх г(у ' 'Р Отметим, что если Я вЂ” замкнутая поверхность, то поверхностный Внтегрвл по внеп1ней стороне ее обозначается ф, по внутренней ф.
Я вЂ” Я Из определения поверхностного интеграла П рода вытека1от следующие его свойства» 1. Поверхностный интеграл П рода изменяет знак при перемене стороны поверхности. 2. Постоянный множитель можно в1 п1ос1ггь за знак поверхностного и ~ 1теграла. 3. Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соотщ1тствую1цнх игхге1ралов от слагаемых. 4. Поверхностный интеграл П рода по всей поверхности Я = Я1 + Як равен сумме инте1ралов по ее частям Я1 и Яз (апдитнвное свойство), »юли Я1 и Я» пересекаются лишь по границе, их разделяющей. 5. Если Я1, Яз, Яз -- цилицдрические поверхности с образующими, параллельпьп|и соответственно осям Ох, Ок, Оу, то Ц .(*: )1 '(У=ЦР(;у и), (к=Ца;д;х)Ь )к=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
