Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутрен ний интеграл, считая х постоянным, загем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до 5. Если же область Р огрисичена прямыми у = с и у = д (с С д), кривыми х = ф1(у) и х = ~2(у), причем ф1(у) С е)сг(у) для вгсх у Е )с; д), т. е. область 1) — правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью у = сопзз, аналогично получим: Здесь, при вычислении внутреннего ин птрала, считаем у постоянным. Замечания. 1.
Формулы (53.7) и (53.8) справедливы и в случае, когда Х(х; у) с С О, (х; у) 0 Р. 2. Если область Р правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (53.7), так и по формуле (53.8). 3. Если область Р не является правильной ни «по х», ни «по у», то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильныс в направлении оси Ох или оси Оу.
4. Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные. Пример 53.1. Вычислить Ц(х+ 2у) дхду, где область Р осра- Р почепа линиями у = хг, у = О, х + у — 2 = О. с Д Решение: На рисунке 220 изображена н)пасть интегрирования Р. Она правильная и направлении оси Ох. Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (53.8): Ц(х+2у)дхду = ~ду ~ (х+2у)дх= Р о Рис. 220 2 з = / ду( — +2ух)! = /( +4у — 2уг — — — 2уг)ду = о о Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можпо воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область Р следует разбить на две области: Р1 и Рг. Получаем: Ц(х+ 2у) дхс(у = Ц(х+ 2у) дхду+ Ц(х+2у) дхду = и Р, и, 1 ки гон = / дх / (х+ 2у)ду+ ~дх / (х+ 2у)ду = о о о 1 и 2 г= / дх (ху+уг)~ -(- / дх (ху+уз) о 1о 1 о 1 2 )((хз + хс) дх + / (2х — хг + (2 — х)2) дх = о 1 = (- + — ) + (4 — 1 — — + — + О+ — ) = — + 3 — 2 = 1,45.
е1 1 с 8 1 12 9 4 5 3 3 3 20 опредРлитоль (53.1 Рис. 222 Рвс. 221 (53.12) Ц '2-Р:2'2*22=Я 388 53.5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как зто делалось и при вычислении оцределешюгп интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.
Определим преобразование независимых переменных х и 9 (замену переменных) как х = (е(и;в) и у = ф(и;и). (53.9) Если функции (53.9) имеют в некоторой области В2 плоскости Оии нг прерывпые частные производные первого порядка и отличный от нуля а функция Дх; 9) непрерывна в области П, то справедлива форм замены переменных в двойном интеер ле: Функциопалы1ый определитель (53.10) называется определи Якоби или якобианом (Г.Якоби немецкий математик).
Доквза спю формулы (53.11) не приводим. Рассмотрим частный случай замены переменных, часто использу мый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартов координат х и 9 полярными координатами т и д. В качестве и и и возьмем полярные координаты т и д. Они связан( с декартовыми координатами формулами х = т сов д, 9 = тяп(е ( . 9.Ц. Правые части в зтих равенствах -- непрерывно дифференциру мые функции. Якобиан преобразования определяется из (53.10) как Е2 Е2 в в,, сов(2 — тюп(е в ф ек япд тесн р Формула замены переменных (53.11) принимает вид: ~~1(х;9) ахе(9 = Ц Дтсозщтяп(2) т ° дтд(2, о Ю* где Х)* -- область в полярной системе координат; соответствую , области В в декартовой системе координат.
Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если опасть |)" имеет вцд, изображенный на рисунке 221 (ограпичена луями <р = о и (2 =,д, где о < (2, и кривыми т = т1(у) и т = тз(р), где т, ((2) < тз(~р), т. е. область В' правильною луч, выхцлдщий из полюса, 1а ресекаег ее границу пе более.чем в двух точках), то правую часть формулы (53.12) можно записать в виде д 12(н) Цт 1(тсоз(е;тяп(е)дтд(2= / е((е ~ т ((тожд;гешер)с(т.
(5313) о* (т) Нпутренний интеграл берется при постоянном (е. Замечания. 1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральпая функция имеет вид 1(х~ + рз); обласзь Ю есть круг, кольцо или часть таковых. 2. На нрактике переход к полярным координатам осуществляется путем замены х = тоги(е, у = 2 з(п~р, дхар = гдтйр; уравнения линий, ограничивающих область 1), также преобразуются к полярным ксюрдинатам.
Преобразование области П в область Р* ие выполняют, а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по т и (и (исследуя закон изменения т и (е точки (т; р) при ее отождествлении с точкой (х; 9) области Ю). И, .2 22.2. В. ~~/Г~ 12В.22 -2 круг х~ + 92 < 9. о (,) Решение: Применив формулу (53.12), перейдем к полярным коорди- натам: О Область О в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис. 222) О < (е < 2к, 0 < т < 3. Заметим: область Ю— круг — преобразуется в область В* — прямоугольник.
Поэтому, согласно формуле (53.13), имеем: тк з Цт. Г9 — тзй-йр= ~ гур~т Я вЂ” тзт1т= В е о тл 3 = — 1~ урф9 — ')з-1(9 — ')= — 1 ~ 1р(( ") )! = о 1 т )зх — ~ (Π— 27) дно = Од~ = 18я. 31 а о 53.6. Приложения двойного интеграла Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла, Объем .гела Как уже показано (п. 53.2), объем цилиндрического тела находи по формуле где х = 7 (х; у) — - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху. Площадь плоской фигуры Если положить в формуле (53.4) г"(х; у) = 1, то цилиндрическое тело кпреврагится» в прямой цилиндр с высотой ХХ = 1.
Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади Я основания П. Получаем формулу для вычисления площади Я области Р: или, в полярных координатах, Ю = Ц т. 1т Ур. и Масса плоской фигуры Как уже показано (и. 53.2), масса плоской пластинки 0 с переменной плотностъю 7 = у(х; у) находится по формуле Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры Статические люменты фигуры В относительно осей Ох и Оу (см. и. 41.6) могут быть вычислены по формулам Я = Цу у(х;у)Охи и Я, = ~~х- 7(х;у)Йхт19; Ю и а координаты центра масс фигуры — — по формулам 5р Як х,= — и у„= — '. Моменты инерции плоской фигуры Моментикам инерции материальной пючки массы т относительно оси 1 называется произведение массы ш па квадрат расстояния и точки до оси, т. е.
Л4 = т У. Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам: М, = О~у т(х;у)г(хду, Мг — — Цх 7(х;у)йхт1у. и и Момент инерции фигуры относительно начала координат — по формуле Мо = ЬХ, + Мю Замечание. Приведенными примерами не исчерпгивается применение двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п.
57.3). Пример БЯ.Я. Найти объем тела, ограниченного поверхностями хз + у~ — з + 1 = О и х~+ уз+ Зг — 7 = О. ( 1 Решение: Данное тело ограничено двумя параболоидами (см. рис. 223). Решая систему хе+уз = х — 1, х +у = — За+7, находим уравнение линии их пересечения: ха+уз=1 к=2. Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием Рис 223 (круг хт + у~ ( 1) и ограниченных сверху соответственно поверхностями з = 1(7 — хт — ут) и г = 1 + хз + уз.
Используя формущу (53,4), =3 имеем тт1 И = Ъ~ — 1тз — — О -(7 — х — у )гхду — О(1+ х + у )пхну. дз и о 1) 54. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 54.1. Основные понятия Рис. 224 (54.1) 4 = — х, 15 8 = — к. 15 3 0 ча1 Переходя к полярным координатам, находим: 1 гг ГГ 2 ГГ ЗЛ юг 1 2т 1 — / гУР /( 1т — т ) Нт — / гУгр /(т + т ) 41т = о о а о Прт«44ер 58.4. Найти массу, статические моменты Яя и 52 и кгюрдянаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эл- 2 липсом -4- + у = 1 и координат11ыми осями (см: Х 2 рис. 224). Поверхиосгнвл плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.
О Решение: По формуле (5Х6) находим магху пластинки. По условию, у = у(х; у) = 14 . ху, где гг — коэффициент пропорциональности. 2 у 4 2 /1 я ьч=Цйху11хг1у=к /х г(х / у11у= — /х11х-у ~ и а о о о ,1,4 ~2 ~, = — - — / х(4 — х2) 0х = — (2х2 — — ) ~ о Находим статические моменты пластинки: Я = Цу. ьхуггхггу — ь /х ( / 2 1 и о о ор = Цх Кхуггхг1у = 1/ х Дх / уДу— Ю о о Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы х,= — киу,= — к:х = — у = —. 16 8 п2 "' гп ' " 15' " 15' Обобщением определенного интеграла на случай функции трех пе- 12 менных является твх называемый «тройной интеграл».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
