Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 51
Текст из файла (страница 51)
+аи(х) Р = О. (49.18) 1. Если функции сд = ус(х),УУ2 =- уг(се),..., Уи тх суи(х) являются слоеными решениями уравнения (49.18), то его решением является и функция у = сс рс + сгрг + - - ° + с УУ 2. Функции ус,'Чг,...,ди называются линейно независимыми на (со~ Ь), ес '1и раВенстВЮ исус + огуг +... + отсу«« = О ВыполнЯетсЯ лишь и случае, кснда все числа ос = О (й = 1, 2,..., и); в противном случае (если хотя бы одно из чисел ся не равно нулю) функции ус, уг,, у н 1 У линейно зависимы. 3 Определитесп Вронского имеес вид Уи уи Уи У2 Удг Рс Ус и И'(х) = (и-1) Уи Стл- 1) У2 Си — 1) У1 12 конон к кекпнй по вы ней лхт.нвтнке. По ный «лре 353 4.
Частные решения ус, уг,..., У„уравнения (49.18) образуют сйдидамеиглильиую систему решений на, (а; Ь), если ни в однссй точке этого ' интервала вроискиап не обращается в нуль, т. е. И'(:е) ф О для всех .хЕ(а;Ь). 5. Общее решение ЛОДУ (49.18) имеет вид у =- осус+сгуг+...+С„уи, где с; (1' = 1,..., и) — произвольвыг постоянные, ус — частные решения ' уравнения (49.18), образусощие фундаментальную систему.
Лример 49-6. Показать, что функции рг =е', рг=х е", рг=хг. ' образуют фундаментальную систему решений некоторого ЛОДУ т1х. тьего порядка (дополнительно: составить это уравнение) . С) Решение: Найдем И'(х): ех хех хге И~(х) = ех (г;+ 1)гх (хг+ 2, ) х ех (х+ 2)ех (хг+ 4х+ 2)ех , г 0 1 2х О 2 4х+2 1 .т хг в+1 хг+2х 1 х+2;гг+4х+2 гх гх =егх (4х+2 — 4х) =2егх Ясно, что И'(х) ф 0 для всех х е К. Следовательно, данные Функции образу~от фундаментальную систему решений ЛОДУ третьего парях ка. В общем виде ЛОДУ третьего порядка выглядит так: рх' + ад(х)рх + аг(х)р' + аг(х)р = О. Подставив функции ры дг, рг в это уравнение, получим систему из трсг уравнений относительно Функций аг(х), аг(х), аз(х).
Решая ее, получим ЛОДУ рхх — Зрх + Зр' — р = 0; его общее решение: р = с,ьх+с хек+с, гех 3 50. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 50.1. Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами Частным случаем рассмотренных выше линейных одноро дифференциа'и ных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэ Фициеяпшмп. Пусть дано ЛОДУ второго порядка (50.1) где р и д пгютоянны. Для нахождения общего решения уравнения (50.1) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему (см. теорему 49.5). Будем искать частные реп1ения уравнения (50.1) в виде р=е *, ~ пс й — некоторое число (прел;южшю Л.
Эйлером). Дифференцируя г х гу функцию два раза и подставляя выражения для р, р и р в урав- ~ пие (501), получим: хг еь +р х еьх+р.еьх =О, т.е. е~ . (йг+рк+9) =О, или кг+рх+д= 0 (еь ф О). (50.2) Д Уравнение (50.2) называетсл харакгггерисптческим рравнени- ем ДУ (50.1) (для его составления лгютаточно в уравнении (50.1) шменить р", р' н р соответственно на Й~, Й и 1). При решении характеристического уравнения (50.2) возможны слепг ющие три с,нучая. Слрчай 1.
Корни 1г1 и хг урввнегшя (50.2) действительные и раз- г хичные: кт ~ кг (Р = 4 — — д > 0). В этом случае частными решениями уравнения (50.1) являются ~~>Ункции Рг — — еих и Рг — — е~х*. Они обРазУют фУндаментальнУю систому решений (линейно независимы), т. к. их вронскиэн еы еьхх ~, Опеьх]х ь (ь,-~хх)х ~ йге " иге е(ь1хьг1х (йг 11) У.- О. Следоватслыю, общее решение уравнения (50.1), согласно формуле (49.16), имеет внд (50.3) гг уимер 50.1. Ретпить уравнение рх — 5р' + бр = О. С1 Решение: Составим характеристическое уравнение: кг — 5й + 6 = О.
Решаем его: й~ = 2, кг —— 3. Записываем общее решение данного уравнения: р = с1 е х + сгегх, где сг и сг — произвольньге постоянные (формула (50.3)). Слрчай 2. Корни йг и кг характеристического уравнения (50.2) действительные н равные: йг — — кг (Р = — 9 = О, йг — — хг =— Мх В этом случае имеем лип|ь одно частное решение р, = е Покажем, что наряду с 1ь решением уравнения (50.1) будет и рг = хеь,х Действительно, подставим функцию рг в уравнение (50.Ц.
Имеем: ( + рта + чхг ( ) + р( ) + ( ) = (И,е"'*+г йге"")+Р(е 'х+' " ' )+4(' ) = =,, х(2Ю, +й,'х+р+р. к +4 ) = "(х(" +рк +4)+(р+2~'))' 355 (50 У = С| ю= "'«д*~ !»4>х. (50.5) и' — у>>! — Зуо+5Р' — 2Р = . 357 Но к> +рк> + у = О, т. к. к> есть корень уравнения (50.2); у+ 2)»1 = т.
к. по условию Йз = к2 — — — ~. 2' , о ! Поэтому у2 + ру2 + дрв = О, г. е. функция у2 = яе|'«являе решением уравнения (50.1). частные решения гн = е"" и ув = 1»си* образуют фундамент ную систему решений: И'(>») = езм и ф- О. Следовжгельпо, в атом случ общее решение ЛОДУ (50.1) имеет вид Случай 8.
Корни й| и к2 уравнения (50.2) комплекснькч к> = с|+ 2 2 ц = с| — ф (Т) = ~- — у < О, а = — Р~, >3 = — Р- > О). 2' ~ 4 В этом случае частными решениями уравнения (50.1) являю функции р| — — е(~+зр)' и ув = е(~ 1О)'. По формулам Эйлера (см. п. 27, е|" = сову> + зкш(2, е '" = гюв(о — зв>н!>2 р| = е ' ° е| ' = е"*»хадж+ге"'в>идя, у2 = Еь« -Е |О« = Е"«СОВ)>я — 1»акатая.
Най м де два, действительных частных решения уравнения (50.1), Для этого с|>ставим две линейные комбинации решений У| и Р2; Р1 + У2 >!« , Р1 У2 а« е ы>в().с — у| и — с шп)уя у . Функции р| и р2 являются решениями уравнения (50.1), что следуе из свойств решений ЛОДУ второп> порядка (см. тгх>рему 49.2).Эти щения у| и у2 образуют фундаментальную систему решений, гак к ( ) 7( (убедитесь саыгхтоятель>зо!). Поэтому общее решение шенис ура ВЕНИя (501) Заннщвтоя В ВИДЕ у = С|с««СОВ )>я + Сзса«ЗШ>ля ИЛИ Пргьмер 50.2. Решить уравнение у' — 6р + 25р = О. ( 'а Решение: Имеем| к2 — ба + 25 = О, к> = 3+ 41, к2 = 3 — 41.
По формуле (50.5) получаем общее решение уравнения: р = е «(аз ггн4я+сзв>н4я). ф Таким образом., нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными кг>эп>фициентами (50.1) св|щится к нахождению корней характеристического уравнения (50.2) и использованию формул (50.3) — (50.5) обще»»> решения уравнения (не прибегая к вычислению интегралов). г>0.2. ИНтЕГРИРОЕаНИЕ ЛОДУ И-ГО ПОРЯДКа с постоянными коэффициентами задача нахождения общего реп|ения лОДУ и-го порядка (и > 2) с !а>»тавнимми коз((>((>из(иентами у(") + тчу("-1) + Р у( — 2) +... + р у = 0 (50.6) >де Рз 1 = 1, п — числа, РешаетсЯ аналогично слУчаю УРавнении второго пордцка с п|>стоянными коэффициентами.
Сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры. ь« Частные решения уравнения (50.6) также ищем в видо у = е ', где р — постоянное число Характеристическим для уравнения (50.6) является алгебравче! кое уравнение и-го порядка вида й>! ) рз)»>> '.)-р Р" — 2.(-,, -( р„>й+р„= О. (507) Уравнение (50,7) имеет, как известно, и корней (в их числе могут быть и комплексные). Обозначим их через Й>, Й2, ..., Й„.
Н Зам»чание. Не все из корней уравнения (50.7) обязаны бьг> ь раз- 2 личными. Так, в части|к:ти, уравнение (к — 3) = 0 имеет два а ных корня: к = к2 = 3. В этом случае говорят, что корень один (к = 3) и имеет крап>но»ть ть = 2. Если кратность корня равна единице: ть = 1, его называют пр>остмм. Случай 1. Все корни уравнения (50.7) действительны и просты (различны). Тогда функции р| — — е~>«, р2 = е~'«> ... „у„= е ' ' являются частными решениями уравнения (50.6) и образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы).
П|>этому общее решение уравнения (50.6) записывается в вцце Пример БО.Я. Найтп общее решение уравнения р>о — 2уо — у'+ 2р = О. (;)> Решение: Характеристическое уравнение к — 21 — й + 2 = 0 имеет 3 2 карги к> — — — 1 к2 = 1 кз = 2. Следовательно, у =- с|е *+»2»и+сзе~--- КОР|И 1 — —, 2 —, »в сбп|ее решение данного уравнения.
Случай 3. Все корни характеристического уравнения действительные, но не все простые (есть корни, имеющие кратносп т > 1). огда .Т каждому пр|ктому корню к соответствует одно частное решение вида е, а а калсцому корню Й кратности |п > 1 гоотвегсзвувт т чаотпыХ решений: »1, яеа*, я~с~* ..., я ' |е О Решение: Характеристическое уравнение Ы' — Уз — Зй'+5й — 2 = (У+2)(Р— 1)з = О имеет корин к» = — 2, Рг = 1, кз = 1, й» = 1. Следовательно, у = с»е г*+ сге'+ сзхе'+ е»хге* — общее решение уравнения. Случай Я. Среди корней уравнения (50.7) есть комплексно-со женные корни. Тогда каждой паре о х Рг простых комплекснопряженных корней соответствует два часгных решения е"" с»мах е к з1нох, а каждой паре ггх Рг' корней кратности пг > 1 соответгтв 2»п частных решений вида е *с»нее,х ° е"'сгнвх,...,х -е 'соз Ух; е *з1прх,х-е *зшдх,...,х ' езгвзшдх.
Этн решения, как можно доказаггь образуют фундаментальную си му решений. Ример $0.5. Решить уравнение У" +Угу'+2рм.р2 а+г г О Решение: Характеристическое ураннение Рз+й» + 21»з +2йг + 1»+ 1 (ь+ 1)(1» + 2йг + Ц имеет корни й» = — 1, йг = г, Уз = — г, У» = г, Ь„= — ». Следовательно, Р = с» е ' + сг . соз х + сз - вш х + с»х - соз х + сг,х . сйп х -- общее решение уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
