Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 48
Текст из файла (страница 48)
лц, хг(1 — ллг+2слг) Ь+2ихз л(в=О, (1 + лл ) ° лЬ + 2пх с1сл = О, последнее — уравнение с разделяющимися переменными. Делим переменные дх 2и — + 1+ 2 и интегрируем ~+1 (1+ 2) лп(л ~ (1+ 2)) ~ л(1+ 2) лл (Кюзначим с = о", с > О. Тогда (х! (1+и ) =с. Заменяя и на к, получаем: хг + рг = сх — общий интеграл исходно~о уравнения. Отметим, что данное уравнение можно было сначала привести: виду (48.8) л 2 у у р х (к) х — р + 2хр . — = 0 — = р' = л)х ' л(х 2хр ' 2 Затем положить р = и - х, тогда р' = и'х + и и т. д. 3 ур ту' — Л) М+-и22 ) Ь ел, сл — числа, приводится к однородному или с разделяющимися пе менными.
Для этого вводят новые переменные и и е, положив х = и+ у = е+)2, где а и )1 — числа. Их подбирают так, чтобы уравнение ст с днородным. ХХрльмер 4'в. л. Найти общий интеграл уравнения (х + 2р + 1) дх — (2х + р — 1) .'2)р = О, х+ 2р+ 1 2х+у — 1 ( ~ Решение: Положив х = и+а, у = и+)2', полпучаем: л)х = лллл, л)р = де; с~у л)и 22+а+ 2в+ 2)2+ 1 и+ 2и+ (а+ 2))+ 1) ллх л)и 2и + 2а + е + Х) — 1 2и+ и + (2а + )8 — 1) Подберем а и )) так, чтобы а+29+1=0, 2а+,9 — 1 = О. Находим, что а = 1, )1 = — 1. Заданное уравнение примет вид л)и лл+ 2е л)лл 2лл+ и и будет являться однородным. Его решение ллапучвется„как это бы показано выше, при помощи подстановки е = нл.
Заметим, что, ре его, следует заменить и и и соответственно на х — 1 и р + 1. В иго получим (у — х+2) з = с(х+у) — - общий интеграл данного уравнения. (48.13) Х1ру.мер 48.8. Проинтегрировать уравнение у' + 2хр = 2х. Метод И. Бернулли Решение уравнения (48.11) ищется в виде произведения двух дру~их функций, т. е. с помон)вил подстановки р = и и, где и = и(х) и г = и(х) — неизвестные функции от х, причем одна из них щюизвольплл (но не равна нулю -- действительно лклбуло функцию р(х) можно гаписать как р(х) = — -е(х) = лл(х) -и(х), и(х) ~ дс е(х) ф 0).
Тогда р' = и' - е + и е'. Подставляя выражения у и у' в гравнение (48.11), получаем: и' и+лл ° е'+р(х) и и = д(х) или и' е + и .(е' + р(х) . и) = д(х). (48.12) 1)одберем функцию е = в(х) так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим ДУ е'+р(х)-е = О.
Итак, — +р(х) е = О, т.е. л(и 421 = — р(х) л)х. Интегрируя, получаем: и )и')и) = — ( р(х) дх+ 1п)с!. Внизу свободы выбора функции е(х), можно принять с = 1. Отсюда — ) г)2).42 1)одставляя найденнуло функцшо и в уравнение (48.12), получаем и ° е Х")*) * = д(х). Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его: ~".с-ХИ2)42 —. ( ) л)лл22 ( ).с+Хл4*).42л)х л(х и — ( д(х) . еХ И2)'22л)х + с Возвращаясь к переменной у,получаем решение „= „.. = (Х,ь~ .,л ( ~ 2„.) ..-22.>' исходного ДУ (48.11).
48.4. Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли Д Дифференциальное уравнение первого порядка называется л нейным, если его можно записать в виде р +р(х) 'р = д(х) (48.1 где р(х) и д(х) — заданные функции, в частности — постоянные. Особенность ДУ (48.11): искомая функция р и ее производная входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между со)юй Рассмотрим два метода интегрирования ДУ (48.11) — мета' И. Бернулли и метод Лагранжа.
1;;) Решение: Полагаем р = и ° е. Тогда и' - е + и - е' + 2х . ие = 2т,, т. е. и' - е + и (е' + 2хв) = 2х. Сначала решаем уравнение и' + 2х - и = 0: — = — 2х ° л)х, )п)е(= — х, е=е *. и 2 Теперь решаем уравнение и' ° е " + и.О = 2х, т. е. 2 2 — =2х-с' лллл= /2х-св .л)х, и=с* -)-с. Э 2, 2 Итак, общее решение данного уравнения есть у = и.е = (е* +с) в ' се.у=1+с ° е Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной) Уравнение (48.11) интегрируется следующим образом. Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части т..
У уравнение у + р(х) - у = О. Оно называется линсйиьам однородным Дт' первого порядка. В этом уравнении переменные делятся: 11у у — =- — р(х) 11х и 1п»у» = — ( р(х) - 0х+ 1п»с1!. Таким образом, ~ У-~ = е «е1еуае, т.е. '! С1! у =хсье «е1в1'" или у=с ° е «е1*»е*, где с=ход. Метод вариации произвольной постоянной ст1стоит в том, что и стоянную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т. е.
пола. гаем с = с(х). Решение уравнения (48.11) ищем в виде у =с(х) е-«р1 14*. (48.14» Находим производную1: у' = с (х) ехр( — / р(х) ьЬ) + с(т) ехр( — «р(х) 11х) ( — р(х)). Подставляем значения у и у' в уравнение (48.11): с'(х) ехр( — «р(х) 11х) — с(х)р(х) ехр( — ~ р(х) сЬ)+ + с(х)р(х) ехр ( — ~ р(х) ь(х) = д(х) . Вто орое и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и уравнение прим ' вид с (х) ехр( — ~ р(х) 1Ь) = д(х).
Следовательно, 11.(х) = д( )ехр(/ р( .)с1х) 1х. Интегрируя, находим: с(х) = ~д(х) .ехр(/ р(х) 1Ь) 1Ь+ с. П одставляя выражение с(х) в равенство (48.14), получим общее реш, ние ДУ (48.11): у = Ц~д(х) ехр(/ р(х) 11х) -1Ь+ с~ ехр( — ~р(х) ь«х). Естественно, та же формула была получена методом Бернулли (с: с (48.13)). Пример 48.8.
Решить пример 48.8 методом Лагранжа. 1 для удобства записи пользуемся обозеачепеем ее1е1 = еяр(» (х»). 336 2х = О. Имеем — е- = — 2х ьЬ, или 11е ~,1 Решение: Решаем уравнение у + ху = у= с.е *. Заменяем спас(х), т.е. реп1ениеД у',у= з , ДУ '+ 2х = 2х ищем в пццеу = с(х) е * .
Имеем у' = с'(х) е + с(х) . е * (-2х). .Пример 48.10. Найти общее решение уравнения (х + у) ° у' = 1. = — от исходного уравнения переходим (,а Решение: Учитывая, чтоу = — „ , 1 к линейному уравнению х = х + у. х' = и' е+ и - о . олучаем1 Применим подстановку х = и е. Тогда х— и' е + и е' = и и + у, илн и' ° е + и(е1 — е» = у. Находим функцик1 ю: ь — е = О, —" = у, г — о Ф,1 и —,е О =, т. е. и' = у е ", или Находим функцию и1 и е + и = у, о 1и= — у е е — е "+с.
и = у е ".11у. Интегрируя по частям, находим: — — у. Значит, общее решение данного уравнения: х = и. и = ( — у е "— с "+ с) е", илия= — у 1+с Уравнение Я. Бернулли уравнение вида ,+ ( ), д(х).у, 116К, пФО и 1 (48.15) лли. Покажем, что его можно Я н называется уравнением Бернулл . привести к линейному. = 1 -- с еляюЕсли и = О, то ДУ (48.15) — линейное, а при и = -- с разделяющимися переменными.
'Гогда 2 ( ) — *' — 2хс(х) . е * + 2хс(х) .е * = 2' е я',у или с(х) = ее + с. Поэтому у = 1 е Ф или у= 1+с = 1 - * — общее решение данного уравнения. Замечание. Уравнение вида (х . Р(у) + 11(у)) ° у' = Н(у), где Р(у), ьг(у), Н(у) ф Π— — заданные функции, можно овеет свести к линейному, если х считать функцией, а у — аргум ентом: х = х(у). Тогда, пользуясь ра- , ~:ев1-:- о1е „,„, ..., »е ., венством у.' = -т-, получаем, =, ' — — (у)-. е = ф» — линейное относительно х уравнение. Его решение ищем в В( виде х = и ° е, где и = и(у), е = е(у В общем случае, разделив уравнение (48.16) на у" ф О, получим: у "-у'+р( ).у "+' =у(х).
(48.16) Обозначим р "+' = х. Тогда я' = '~~ = (1 — в)-у "-у'. Отсюда находим Йх у - у' = — Я вЂ”. Уравнение (48.16) принимает внд 1 — п 1 — '+р( ). = р(х). 1 — п Последнее уравнение является линейным относительно я. Решение его известно. Таким образом, подстановка г = у в ы сводит уравнение (48.15) к линейному. На практике ДУ (48.16) удобнее искать методом И. Бернулли в виде у = и . т (не сводя его к линейному). 48.5. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель Уравнение Р(х; у) г(х + Я(х; у) г1у = 0 Д называется уравнением е полиьгх дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции и(х;у), т. е. Р(х;у) г(х+ (~(х; у) г(у = г1и(х; у). В ятом случае ДУ (48.17) можно записать в виде г1и(х; р) = О, а его общий интеграл будет: п(х4у) = с.
(48.18) Приведем условие, по которому можно судить, что выражение ~У = Р(х;У)д +д( ° у)г1у есть полный дифференциал. яеобкодимость !Д Пусть Ь сг гь полный дифференциал г е Р(х; р) г(х + Ю(х' у) фу = Ыхг р). г1 ( ) = д дх+ д~ г1у (см. и. 44.3), имеем: Учитывая, что г1и(х; у) =— да дп Р(х; у) = —; г~(х; у) = —.
г и по х соответственно, получаем Дифференцируя зтн равенства по у и и дР дк а д~ дзи ду дх-ду дх ду дх изво ые — ~— и д " равны А так как смешанные частные производные — — и— между собой (см. п. 44.2), получаем (48.19). Пу области 11 выполняется условие ( . ). к (48.19). Покажем, что суПусть в ществует функция и(х; у) в области В такая, гто г1н(х; у) .= Р(х; р) гЬ + ©х; у) г(р. влетво ять требоНайдем зту функцию. с . И коман функция должна удовлетвор (48.20) дх Есзнг в первом уравнении ( . з ,'48.20) зафиксировать у и проинтегрировать его по х, то получим: п(х; у) = ~ Р(х; У) ггх + гг(р). (48.21) ная с = у зависит от у (либо являетгл Здесь произвольная постоянная с = р(у) з ° * ° числом). В решении (48.21) не известна лишь р(р).
Для ее нахождения проднфференцируем функцию (48.21) по у: ду У "(*'У)"*) +~(р) 48,20) можно записать: Используя второе равенство (48, ), ! ~(.„) — (~Р(.;у)4) +д'(У)- ,(у) =Их;у)- ОР™~)„ (48.22) Отсюда окажем что и правая В равенстве (48.22) левая часть зависит от у. Покажем, часгь равенства зависит только от р.
»14 дд~ дР— — д=д ( — — — ), Ого»ода (48.24) Отсюда имеем дн ;Я 1 2хр~ сз»езг/ +т зависит только от х 840 341 Для етого и, Ф р»дифференцируем правую часть по х и б Ф . ' '. ' сть по х и убениьгся, ттО улю. Де ст»»»л»спь»»о, д д дд,л д д =.х-.— „(ЫУ (-") )) =У- — '(.)= — ",-'— = д дх д= в силу условия (48.19). х р Из равенства (48.22) находим с/г(р): По лсгавляя найденное значение дпя 1 в а '.нне дпя с/с(р) в равенство (48.21), находим и х; р) таку»о, что с/и(х;р) = Р(х; р) с/х+ ь/(х; р) »11/.
ф Таким об азом выполнение условия (48.19). Затем, использ я». в тем, используя раленства (48.20), и х; р). ешеннг запись»наем в ниде (48Л8). П р48ЯЯ Р и,, зв,с 5 — 2х~~ Зр +х' 1,1 Решение: Запишем уравнение в дифференциальной форме: (2:ер — 5) с/х+ (Зр + т )»»р = О. Здесь Р(х;р) = 2хр — 5 д,с(х ) = сиз+ хз П ';,/ = р + х . Проверяем выполнение дР д/е — х; — = 2х; ледовательно, данное уравнение есть уравнение ал У (48 20) б удут здес»»»»»»зшдеть как ди ди — = 2хр — 5, — = Зрз + хз.
х др и(хс р) = / (2хр — 5) с/х = ха с/ — 5. + ди д = (х р — 5х+с/с(гр))с —, з+ +~ (Р) с/ Ы=Зрз, (х;Р) = ххР— 5х+, 3 пл интегралом является хе »/ — 5х+ з где е =- сз — с». ;/ — х р +с» = — сз, или хер — 5х+рд = с Е»ш»г условие (48.19) пе выполняется, то ДУ (48.17) не является грпвне»гнем н полных дифференциалах. Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в пол- ных дифФеренциалах умножением его на нскотору»о Функцию 1(х; р), и:шываемую иитедрирг/ющим /пнозсег»телем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
