Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 47
Текст из файла (страница 47)
2 ' В точках прямых проведем отрезки, образуюпьие с осью Ох один и тот же угол гь, тангенс которого равен с. Тзк, при с = О имеем х = О, 18 о = О, поэтому. гь = О; при с = 1 уравнение изоклины х =— 1 2' поэтому 18 и = 1 и о = 45', при с = — 1: х = — —, сигь = — 1, гь = 1 2' = — 45; Рис.
213 при с = 2: х = 1, 18гь = 2, гь = агс182 ш 63' и т. д. Построив четыре изоклины и отме гив на каждой нз них ряд стрелочек, наклоненных к оси Ох под определенным углом (см. рис. 213), по их направлениям строим линии. Они, квк видно, представляют собой семейство парабол. Дифференпиальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифферень1пальнай форме: (48.3) Р(х; у) ь1х + Я(х; у) ь1у = О, Г(х; у) и О(х;у) -- известные функции. Уравнение (48.3) удобно », что переменные х и у в нем равноправны, т. е. любую из них можрассматривать как функцию другой.
Отметим, что от одного вида ,~»»сн ДУ можно перейти к другому. Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному мноьм»чгву решений (отличающихся друг от друга постеяьпьыми величи»»ми). Легко догадаться, что решением уравнения у' = 2х является ~ гпкция у = х~, а также у = хз + 1, у = х~ — чь2 и вообще у = хз + с, с — — сопзС. Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчи»» ьь некоторым дополнительным условиям. Условие, что при х = хэ функция у должна быть равна задавноь числу уа т. е. у = уа называется начальным уславпем. Начальное у07 ь .повис записывается в виде у(хе) = уа или у~ = уо.
(48.4) Ц Общим репьекием ДУ первого порядка называется функция у = = р(х; с), содержащая одну произвольную постоянную и удовлеь»оряющая условиям: Е Функция ьа(х; с) является решением ДУ при каждом фиксиро»зпном значении с. 2. Каково бы ни было начальное условие (48.4), можно найти такое »щченне постоянной с = са, что функция у = ьд(х;са) удовлетворяет »»иному начальному условию. Частяььм решением ДУ первого порядка называется льобая функция у = ььь(х; сэ), полученная из общего решения у = ььь(х; с) »рн конкретном значении постоянной с = са.
Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде уравьк пня Ф(хг у. с) = О, то такое репьение пазывветгх общим интегралом ДУ. Уравнение Ф(х; у; са) = О в этом случае называется частным ияьььегралам уравнения. С геометрической точки зрения у = р(х;с) есть семейство инте- ~ ральных кривых на плоскости Оху; частное решение у = фх;го)— одна кривая из этого семейства, проходящая через точку (хо, 'уо). Ц Задача отыскания решения ДУ первого порядка (48.3), удовлетворяющего заданному начальному условию (48.4), называется задачей Коши. Теорема 48.1 (суп1вствоввния и единственности решения задачи Кеши).
Если в уравнении (48.2) функция 1(х;у) и ее частная производная 1'„'(х;у) непрерывны в некоторой области О, содержащей точку (хо;уа), го существует единственное решение у = у(х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (48.4). 329 (Без доказательства). Геометрический смыс.л теоремы состоит в том, что при выполи ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, п дшцая через точку (хе; уе). Рассмотрим теперь методь« интегрирован«э« ДУ первого пор определенного типа. 48.2.
Уравнения с разделяющимися переменными Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение Р(х) йх + О(у) . «1у = О. ( В нем одно слагаемое зависит тосико от х, а другое — от у. Ино такие, ДУ называют уравнениями с раздгленне«слн переменнььии. П интегрировав почлеспю это уравнение, получаем: ~Р(.е) да+ ~©у) -«1у с — его общий интеграл. Путь«нер 4В.х.
Найти общий интеграл уравнения т,. с1х+ у «1у = (.Ь Решение: Данное уравнение есть ДУ с 11азделенными переменным 2 Поэтому ( х ° «1х — / у «1у = с1 или — *' — "— = с«. Обозначим с = 2 2 2 Тогда х — уз = с — общий интеграл ДУ.
Более общий случай описывают уравнения с разделлюсчнмнсл уеменнььмп, ко«орые имеют вид (48. Особенность уравнения (48.6) в том, что коэффициенты при дх с1у представляют собой произведения двух функций (чисел), одна которых зависит только от х, другая — только от у. Уравнение (48.6) легко сводная к уравнению (48.5) путем почлен ного деления его на Я1(у) ° Р2(х) ~ О. Получаем: Р1 (х) 1 «ез(у) 1 О ~ 1 1(х) 6 сс2(у) — общий интеграл.
Д Замеча««ия. 1. При проведении почленного деления ДУ на Яг(у)х хР2(х) могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следуе отдельно решить уравнение О«(у) . Р2(х) = О и установить те решен ДУ, которые не могут быть и«и«учены из общего решения, — осо ретаеннл. 2. Уравнение у' = 11(х) Яу) также сводится к уравнению с раз«и ленными переменными.
Для этого достаточно положить у = и «ау «1х 1лг«делить переменные. 3. Уравнение у' = 1'(ах + Ьу + с), где а, Ь, с — числа, путем замень«ах + Ьу+ с = н сводится к ДУ с разделяющимися переменными. Дифференцируя по х, получаем: ду ди — = а + Ь вЂ”, т. е. — = а+ Ь ° Ди), дх «(х ' " «1х о«куда следует = «(х. а+ Ь. 1(н) Интегрируя это уравнение и заменяя и на ах+ Ь~ + с, получим общий интеграл исходного уравнения. дрссмер 4В.З. Решить уравнение (у + ху) дх+ (е — ту) ' «су = О.
1„Ь Решение: Преобразуем левую часть уравнения: у - (1 + х) ° «1х + х ° (1 — у) . ду = О. Оно имеет вид (48.6). Делим обе час«и уравнения на ху ф О: 1+х 1 — у «1х+ ду = О. х 1'«снсением его является общий игггеграл х+ 1и 1х! + 1и 1у( — у = с, т. е. 1и 1ху~ + х — у = с.
Здесь уравнение СЕ1(у) Р2(т) = О имеет вцд ху = О. Кго решения х =- О, у = О являются репюниями данного ДУ, но не входят в общий н««теграл. Значит, решения х = О, у = О являются особыми. п12«ь«сер 4 В.4. Решить уравнение у' = —, удовлегворяюпсее условию у(4) = 1. 1,1 Решение: Этот пример представляет собой решение задачи 2 из п. 4«.2. Имеем: — к = — у или -к = — —. Проин.сегрировав, получим: дх х у 1пЫ = 1п1с! — 1н1х~, т.
е. у = с — общее решение ДУ. х Оно представляет собой, геометрически, семейство равносторонних гипербол. Выделим среди них одну, проходящую через точку (4; 1). с Подставим х = 4 и у = 1 в общее решение уравнения: 1 = —, с = 4. Получаем: у = — — ча«тное решение уравнения у =— 4 х х 331 ХХример 4о.о. Найти облцее решение ДУ тв ° )л' =- — 12 ° Иг. О Решениел Этот пример демонстрирует решение задачи 1 из п. 47.
Приведем данное уравнение к виду (48.5) л 2 л -2 сп И 2 гп лД + Илг л 0 2 + л 0 Иг интегрируем: « — 2 + — «ллл = — с, т. е. — — + й 1+ с = О. Олсюдй гЛ 1г, 1 й пл,л 1 И = „— общее решение уравнения. Ф пл+с 48.3. Однородные дифференциальные уравнения К уравнению с разделяющимися переменньлми принодятся одп родные ДУ первого порядка. Я Функция «(х; р) назьсвается оопороллллой рлрлкчллей п-го слорядко (ил мерония), если при умножении каждого ее аргумента на прои нольный множитель Л вся функция умножится на Л", т.
е. «(Л.х;Л р) = Л" «(х;р). Например, функция «(:с; р) = хл — 2хр есть однородная функс второго порядка, поскольку «(Л ° х; Л р) = (Лх)2 — 2(Лх)(Лр) = Л (хл — 2хр) = Л «(х;р). Дифференциальное уравнение р' = «(хрр) (48. Д называется одкоХлодным, если функция «(х;р) есть одноро функция нулевого порядка. Покажем, что однородное ДУ (48.7) можно записать в виде р'= © (48 (.лл Если «(х; р) . однородная функция нулевого порядка, то, по о делению, «(х; р) = «(Лх; Лр). Положив Л = 1, получаем: «(х;р).=«(, ) =«(, .),(р) Однородное уравнение (48.8) преобразуется в уравнение с разделя ющимися переменными нри помощи замены переменной (подсталовки а р — = и или, что то же самое, р = и . х.
(48.9 332 Действительно, подссавин р = их и р' = и'х+ п в уравнение (48.8), «лучаем и'х+и = ло(сл) или х и = ло(лл) — и, т. е. уравнение с разделшо- ш мнся переменными. Найдя ело общее решение (или общий интеграл), лтп дует заменить в нем и на к.
Получим общее решение (интеграл) ис- х и жного уравнения. Однородное уравнение час:то задается н дифферелщиальной форме: (48.10) ~ У (48.10) будет однородным, если Р(х; р) и ~Л(х; р) — однородные ~ л пкции одинакового порядка. Переписав уравнение (48.10) в виде = — — (-'-' - и применив в длл Р(х; р) л1х фх; р) правой части рассмотренное выше ллрсюбраэование, получим уравнение '= й) Ф При интегрировании уравнений вида (48.10) нет необходимости предварительно приводить их (но можно) к виду (48.8)л подстав лака (48.9) сразу преобразует уравнение (48.10) в уравнение с раздеппощимися переменными.
ХХртлмеХ2 4о.о. Найти общий интеграл уравнения (хг — рг) лЬ + 2хр - с1р = О. Решение: Данное уравнение однородное, т.к. функции Р(х;р) : хг — рг и Я(х; р) = 2хр — однородные функции в сорого порядка. Положим р = и х. Тогда л1р = х л1лл+п.л(х. Подсташляем в исходное уравнение: (тг — пгхг) -сух+ 2х их х л(лл+ 2х пх.п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
