Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Уравнение (51.10) запишется в виде уо+ру'+к1у=е * (Р„(х) соэ11х+(~ (х).вшах). (51.14) Можно показать, что в этом случае частное решение у' уравнения (51.14) следует искать в виде у* =х".е '. (М,(х) соядх+Л~,(х) вплх), (51.15) где г — число, равное кратности о+ 81 как корня характеристического уравнении йг + уй+ д = О, Л4(х) и Хг(х) — многочлены степени! с неопределенными коэффициентами, 1 — наивысшая степень многочленов Р„(х) и сг (х), т. е. 1 = гпах(пи та).
Замечания. 1. После подстановки функции (51.15) в (51.14) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения. 2. Форма (51.15) сохраняется и в случаях, когда Р„(х) = 0 или 9 (х) =О. 3. Если правая часть уравнения (51.10) есть сумма функций вида 1 или П, то для нахождения у* следует использовать теорему 51.2 о наложении решений. Пример 51.х. Найти общее реп1ение уравнения у" — 2у'+у = х — 4. (,) Решение: Найдем общее реп|ение у ЛОДУ у" — 2у'+ у = О. Характеристическое уравнение й~ — 2й+ 1 = 0 имеет корень й1 — — 1 кратности 2. Значит, р = сг - е* + сг .
х е*. Находим частное решение исходного уравнения. В нем правая часть х — 4 = (х — 4) ео'* есть формула вида Ря (х) ° ев'*, причем о = О, не является корнем характеристического уравнения: о ф йм Поэтому, согласно формуле (51.12), частное решение у' ищем в виде у* = Щ(х) ев'*, т. е. д* = Ах+ В, где А и В неопределенные коэффициенты. Тогда (у')' = А, (у*)" = О. Подставив у*, (у*)', (у*)" в исходное уравнение, получим — 2А+ Ах+ В = х-4, или Ах + ( — 2А+ В) = х — 4. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: А=1, — 2А+ В = — 4. Отсюда А = 1, В = — 2. Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид у" = х — 2. Следовательно, у = (у+у*) = с1 с*+ ся хе*+ х — 2— искомое общее решение уравнения.
Пример 51.3. Решить уравнение у" — 4у'+ 13у = 40 ° соя Зх. ( 'я Решение: Общее решение ЛНДУ имеет вид у = у + у*. Находим решение однородного уравнения у: у" — 4у'+ 13у = О. Характеристическое уравнение йг — 4й+ 13 = 0 имеет корни й1 = 2+ Зя', йя = 2 — 31. Следовательно, у = ез*. (с1 ° сояЗх+ся впЗх). Находим частное решение р*. Правая часть ЛНДУ в нашем случае имеет вид 7'(х) = е '" (40 соя Зх+ 0 йпЗх).
Так как а = О, 11 = 3, о + дг = 31 не совпадает.с корнем характеристического уравнения, то г = О. Согласно формуле (51.15), частное решение ищем в виде я' = АсояЗх+ ВвпЗх. Подставляем у* в исходное уравнение. Имеем: (д*)'= — ЗАвпЗх+ЗВсояЗх, (у*)" = — 9АсояЗх — 9Вяп13х.
Получаем: — 9АсснЗх — 9ВвпЗх — 4( — ЗАвпЗх+ ЗВсояЗх)+ + 13(АсояЗх+ ВвпЗх) = 40сояЗх, или ( — 9А — 12В+13А) сояЗх+( — 9В+12А+13В) яшЗх = 40сояЗх+О-впЗх. ( угсюда имеем: 4А — 12В = 40, 12А+ 4В = О. Следователыю, А = 1, В = — 3. Поэтому у* = соя Зх — 3 впЗх. И наконец, у = ея'(с1 сояЗх+ ся ° впЗх) + соя Зх — ЗвпЗх — общее решение уравнения. Пример 51.4. (Длл самоспиитиельного решенил.) Для предложенных дифференциальных уравнений получить вид частяого решения: а) у" — Зу' + 2р = 5 + е*; б) у" — 2у'+у = 2; в) у" +4у = вп2х+соя7х; г) у" + д = 5соя2х — хвп2х; д) у" — Зу' = хх — 1+соях. Ответы: а) А + х - В - е"; б) А; в) х(А соя 2х + В вп 2х) + С соя 7х + + В яш 7х; г) (Ах + В) соя 2х + (Сх + В) яш 2х; д) х(Ахя + Вх + С) + + В сгн х + Е вп х.
51.4. Интегрирование ЛНДУ и-го порядка (и ) 2) с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Рассмотрим линейное неоднородное ДУ и-го (и ) 2) порядка уйй+а1(х)-у~ ~+ аз(х) ° у~ >+... +а„(х) ° Р = г(х), где а1(х),ая(х),...,а„(х), 1(х) — заданные непрерывные функции на (а; Ь). Соответствующее ему однородное уравнение имеет вид у~"~+а1(х) у~" П+...+а„(х) у=О. 365 Частное решение у' ЛНДУ и;го порядка может быть найдено, если известно общее решение у однородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных.
Оно ищется в виде у' =- с1(х) у1(х) + сг(х) . Уг(х) + ... + с„(х) - р„(х), где уг(х), 1 = 1, и, — частные решения, образующие фундаментальну систему, о,инородного уравнения. Система уравнений для нахождения неизвестных с;(х) имеет в сту1 + 4уг + сзуз + - .. + с'„У„= О, ~гу1+ гуго+сзузо+ ..+с,',У,",=О, О) — ') ) [а-1) с1У1 +ггу, +с)уз + + 1) „ Однако для ЛНДУ и-го порядка с настоянии ни козу)у)иг)иентаамв, правая часты которого имеет специальный вид, частное решение у* может быль найдено методом неопределеннь1х коэффициентов.
Метод подбора частного решения у* уравнения У( ) +Р1У~ +. -+ у~у = 1(х) где Рг — числа, а правая часть Дх) имеет специальный внд, описанный в п. 51.3 для случая и = 2, переносится без всякого изменения и на случай уравнения, имеющего порядок и ) 2. )'огда — (2Ах + В) = 2х. Отсюда А = — 1, В = О и получаем у* = — хг. Следовательно, функция | -1к г з)3 ъ/3 1 2 у = (у + у*) = с1 + сге* + е г ~сз соз — х + с4 з1п — зз — х 2 является общим решением уравнения. )) 52. СИСТЕМЫ ~ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВН ЕН И И 52.1. Основные понятия Для репюння многих задач математики, физики, техгпзки (задач динамики криволинейного движения; задач электротехники для не- 4:кольких электрических цепей; определения состава системы, в которой протекают несколько последовательных химических реакций 1 порядка; отыскания векторных линий поля и других) нередко требуется несколько функций.
Нахождеяие этих функций может принести к н1скоиьким ДУ, образующим систему. Сисзаеззой ДУ называет4:я совокупность ДУ, каждое нз которых содержит независимую переменную, искомые функции и нх производные. Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей и, искомых функций У1, уг,..., у„, следующий: О ),, )) и г1(х)У1)уг)- ° ° Уп У1 Уз) ° ° -)'Уп/ г" (х; у1', уг',...; у„; р1; уг, ) р'„) = О мРимеР 51.5. Решить уравнение угг' — у' = 2х (;з Решение: Находим у: Й4 — Й = О, Й(Й вЂ” 1) (Й +Й+1) =О, Д. Й1 = О, Йг = 1, Йз,4 =,— — Й вЂ” 1, 2 2 г3 ГЗ ° у = с1+ сге + с " 11сз соз — х + с4 з1п — х) . 2 2 Р Находим у*: 1(х) = 2х (= ес к Р1(х))„г = 1, у' = х(Ах+В) = Ах +Вх отсюда (у')' = 2Ах+ В, (у*)о = 2А, (у')) ) = О, (у*) = О.
Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т. е. система вида фз = 11 (х ) У1 ) У2 ) ° .. ) Уп) ) — Иг =,)2(Х;У1;Уг; .'Уь) 44 г (52.1) 41р ф = Уч(25)уз;Уг;.- )У))) называется нормальной системой ДУ. При этом предполага- Д ется, что число уравнений равно числу искомых функций. Замечание.
Во многих случаях системы уравнений и уравнения высших порядков можно привести к нормальной системе вида (52.1). г"ак> сигюема трех ДУ второго порядка гйт ~>МР~г~ г>х >Р;г ), а;-и — . » > йг ~2(г> Р>г;й;х;У;г), а 'г ~з(х;Р;г;1;х;Р>;г>), описывающая движение точки в пространстве, путем введения новых переменных: — = и -к = и — = и, — = ю, приводится к нормальной системе ДУ: ах гй ~Ь й ='" г(и ~ = Г1(х;у;г;1;и;и;ю), >ги йг = гг (т; Р; г; г; и; и; и>), Й~ .>г — — Гз (х:, у; г; й и; и; ю). Уравнение третьего порядка Рв> — гг .
„. ». о Р = Х(х'У У 'Р ) путем замены У' = р, Р» = Р = д сводится к нормальной системе ДУ У =Р Р' = Ч> Д' = 1(х;Р;Р;й) Из сказанного выш е следует пол~ъиость изучения именно нормальных систем. Я Решением сиспгемы (52.1) называется совокупность из и функций Рыр>ь ° Ув Удовлетворякхцих каждому из уравнений этой системы. Начальные Условия для системы (52.1) имеют вид Уг(хо) =Уы Р ( ) =Р,",Р-(хо) =Р,',.
о (52.2) Задача Л'огаи ля д системы (52 1) ставится следующим образом: ям (52.2). найти решение системы (52.1), удовлетворяющее начальным ьным условиУсловия существования и единственности решения задачи Коши описывает сведующая теорема., приводимая здесь без доказательства. Теорема 52.1 (Кошм). Если в системе (52.1) все функции Л(х;у>;",у ) непрерывны вместе со всеми своими частными производными по Р; в некоторой области Ю ((п + 1)-мерного пространства), то в каждой точке Мв(хо;Р,";У";...;Рв) этой области существует, и притом единственное, решение Рг = >л>(х), Рг = юг(х), ..., у„ = д„(х) системы, удовлетворяющее начальным условиям (52.2).
Меняя в области Н точку И» (т. е. начальные условия), получим бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде ре>пення, зависящего от и произвольных постоянных: Рг = >Рг(х~ сг>сг>... >с»)>... > Ув = Фв(х; сг> ог,... >Св) Это решение является о>>шгим, если по заданным начальным условиям (52.2) можно однозначно определить постоянные сы сг,..., с„из системы уравнений Ф1(х,с> сг ° ° ° с») = увм >Рв(х>сг>сг> ° ° ° св) Рч 0 Решение, получающееся из общего при конкретных значениях постоянных сы сг,...,с„, называется частным Решением системы (52.Ц. 52.2.
Интегрирование нормальных систем Одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ является мешод сведения сввп>г мы к одному ДУ вь>сшеао тврядкв. (Обратная задача — переход от ДУ к системе — рассмотрена вьппе на примере.) Техника этою метода основана на следующих соображениях. Пусть задана нормальная система (52.1).
Продифференпируем по х любое, например первое, уравнение: дгуг д~~ д(г г1уг д)~ г1уг д~г >1Р„ — = — + —. — + —,. — +.-.+— > хг дг: дР> г(х дрг сЬ " ' дР„>(х Подставив в это равенство значения производных — '-, — х,..., —" из системы (52.1), получим ('у, дУ, дь дУ, дУ, — + — Л+ — -Уг+ --+ — -~у, >1>гг дх дрг дрг дР, или,коротко 12 У = .Й(х)У1)У21 ° ° ) Ун). Продифферснцнровав полученное равенств ство еще раз и заменив знач д У» ,з = йз(х)У» У21 - Уа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
