Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Так, нвпРимеР, нельзи взЯть интегРал з~ »ух . сов х 7(х, гак как не существует элементарной функции, производная от которой была бы равна ~/х соз х. Приведем еще примеры «неберущихся» интегралов, которые имеют большое значение в приложениях: сз са О а=хо х~ хг х; з х, Рис. 166 [35.2) 259 соз хч Нх, / зщ х~ ох -- интегралы Френеля (физика), з1пх ! сэва а — ззх — — интегральные синус и косинус, „, г е* — Их — — интегральная показательная функция. а Первообразные от функции е ', сов хе 1 и других корою 1пх О изучены, для них составлены подробные таблипы значений для различных значений аргумента х. Глава ЧИ1.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ [[З5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУМ МЬ| ф ция р = г[х) определена на отрезке [и; Ь), о < Ь. Выполним следующие действия. 1. С помощью точек хе = а, хч, хю..., х„= Ь [хо < хч « ... ха) разобьем отрезок [а, Ь) на и часпчичпмх опзрезков [хо,.хз)1 [хз;хч),... ..., [х„ч, ха) [см. рис. 166).
2. В казкпом частичном отрезке [х; з,х;], 1 = 1,2,...,и выберем произвольную точку с; б [х; ч, .х;) и вычислим значение функции в ней, т. е. величину 1[сз). 3. Умножим найденное значение функции Доз) на длину сзхз = = х; — х; ч сот ветствующего частичного отрезка: Доз) ° сзхь 4. Составим сумму Я„всех таких произведений: Яа = ~[сч)йхч + ~(сч)Лхч +. ° .
+,)(са)ч1ха = )~,~(сз)Ьхз. [35.1) Ьа 3 И Сумма вида (35.1) называется имзпеерольмой суммой функции р = у[х) на отрезке [а; Ь). Обозначим через Л длину наибольшего частичного отрезка: Л = юахазхз (1 = 1,2,...,п). 5. Найдем предел интегральной суммы [35.1), когда и — з ос твк, что Л з О. П Если при этом интегральная сумма Яа имеет предел 1, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [о; Ь) на частичные отрез- ки, ни от выбора точек в них, то число 1 называется определеимылз пмпзеершюлз от функции р = 1[х) на отрезке [о;Ь) и обозначается ь у'[х) дх.
Таким образом, а Рис. 167 а ~ 1'(х) дх = О. 261 Д Числа а и Ь назььваоться соответственно низюним и верхи пределами интегрирования, ь«(х) — — подынтегральной фунпцией, 1" (х) оЬ: — подынпмьгральным вырьквсением, х — переменноь2 интегрированььг'„отрезок [а; Ь) — обааспьъю (опьрегпом) интегрирования. Д Функция у = г(х), для которой на отрезке [а; Ь[ существует опреде-, ь ленный интеграл [ 1(х) дх, называется интегрируемой на этом о отрезке. Сформулируем теперь теорему существования опредеиенного интеграла.
Теорема 35.1 («хаши). Если функция у = 1'(х) непрерывна нэ отрезь ке [а; Ь[, то определенный интеграл [ г(х) дх существует. а Отмегим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.
Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосре«тсгвенно вьггекающие из его определения (35.2). 1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной иььтегрврования: Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следовательно, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции. 2. Определенный интеграл г одинаковыми пределами интегрирования равен пулю: ь 3.
Для любого действительного числа с: / с дх = с ° (Ь вЂ” а). а [[Зб. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Площадь криволинейной трапеции Ц Пусть на отрезке [а; Ь) задана непрерывная функция у = г(х) > О. Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = 1«(х), снизу — осью Ох, »боку --- прямыми х = а и х = Ь, называется криволапо аной трапецией.
Найдем плььпьадь этой трапеции. Для этого отрезок [а;Ь) точками а = хо,хь,...,Ь = хо (хо < < хь « ... х„) разобьем на п частичных отрьзков [хо, .хь[, [хь, хо[,... ...,[х„. ь,х„[. (см. рис. 167). В каждом частичном отрезке [»ь ь,.х;) (ь = 1,2,...,и) возьмем произвольную точку сь и вычислим значение функции в ней, т. е. Г(сь). Умножим значением функции г(сь) на длину ьзхь = хь — хь ь соотэгьствующего частичного отрезка.
Произведение ((»,) «зхь равно площади прямоугольника с основанием «1ьхь и высотой 1(сь). Сумма всех таких произведений .ь(сь)ь,«хь + ь (сз)«-«х2 +... + ь (со)ь-«хо Г,,ь (сь)ь хь — Я«« «=.1 равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна ьыьощади б криволинейной трапеции: Я м Я„= ~ Лс;) . «1хь. «=ь С уменыпением всех величин ь'«хь точность приблюкения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади Я криволинейной трапеции принимается предел Я, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры б„, когда и неограничешю возрастает так, что Л = щах 11хь -+ Рл о ь 1пп Я„= 1пп ~ ~Цсь)»1х;«то есть д = / 1(х) дх.
()«-+о) ь=ь а Итак, определенный интеерол от неотрицательной узункции ч слеьто равен площади криволинейной гпрапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла. Работа переменной силы Пусть материальная точка М перемеьцается под действием силы Г, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину Г = Г(т), где х — абсцисса двюкущейся точки М.
Найдем работу А силы Г по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = Ь (а < Ь). Для этого отрезок [а; Ь] точками а = хо, х1, ..., Ь = х„(хо < тп « ... х ) разобьем ца и ЧаСтИЧНЫХ ОТРЕЗКОВ [ХО; Х1], [Х1, Хз],..., [Хп 1, Х„]. СИЛа, ДЕйетВУЮШаэ на отрезке [хь 1, хь], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка 1зхь = ть — хь 1 достаточно мала, то сила Г на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной н равной значению функции Г = Г(х) в произвольно выбранной точке х = с, 6 [хь 1, хь].
Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке [хь 1, .хь], равна произведению Г(сь) . ь1хь. (Как работа постоянной силы Г(с,) на участке [хь 1, хь].) Приближенное значение работы А силы Г на всем отрезке [а; Ь есть и 1 А Г(с1)1Хх1+ Г(со)11хо+... + Г(с„)Ах„= ~, Г( ц)~ .
Рб Ц) Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина 1зхь. По-: этому за точное значение работы А принимается предел суммы (36.1 при условии, что наибольшая длина Л частичных отрезков стремите к нулю: и ь А = 11пь ~ Г(сь)д1хь = / Г(х) дх. 1=1 а Итак, рабство переменной силы Г, величина которой есьпь непрерывная,- узункцил Г = Г(х), действутощей на отрезке [а;Ь], равна ьтределенно-;,' му интеералу от величины Г(х) силы, взятому по отрезку [а; Ь].
В этом состоит физический смысл определенного интеграла. Аналогично можно показать, что путь Я, пройденный точкой за' промежуток времени от 1 = а до 1 = Ь, равен определенному интегралу от скорости о(1)1 ь Я= / о(1)ьй; масса т неоднородного стержня на отрезке [а; Ь] равна определенному ь .интегралу от плотности 1(х): гп = / 7(х) дх. а [1 37. ФОРМУЛА НЬЮТОНА — ЛЕЙБНИЦА Пусть функция у = 1 (х) интегрируема ва отрезке [а; Ь].
Д~ Разобьем отрезок [а; Ь] точками а = хо, х1 .. Ь = х~ (хо < т1 < ' < Х„) На П ЧаСтИЧНЫХ ОтрЕЗКОВ [ХО,Х1], [Х1'Хз]~ ° °, [Х вЂ” 1'Хп] зто показано на рис. 168. С1 С2 О о.=хо х1 хз Х вЂ” 1 Х* Ь=, Рис. 168 Рассмотрим тождество Г(Ь) -Г(.) =Г(..) -Г(*.) = [Г(*.) - ( --))+ + [Г(х„,) — Г(х„,)) + -.-+ [Ь (хз) — Г(х,)) + [Г(х1) — Г(хо)).
Преобразуем кажную разность в скобках по формуле Лагранжа Х(Ь)-Л)=~'() ( — ) Получим Г(Ь) — Г(а) = Г'(с„) ° (х„— х„1) + Г'(сп 1) ° (хп 1 — хп — 1) +- . ...+Гр(,.) (*. х.)+Г(с,)(хь-хо) =Х;Г'(') 1-1=Е~(')дхь о=1 т. е Г(Ь) — Г(а) = ~ 'Дьт)11хь, (37.2) 1=1 где сь есть некоторая точка икгервала (хь 1.,хь). так как функция у = 1(х) непрерывна на [а; Ь], то опа интегрнруема на [а; Ь]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от 1(х) на [а;Ь].
Переходя в равенстве (37.2) к пределу при Л = пзах 11хь -+ О, получаем и Г(Ь) — Г(а) = 1пп ~~ Д~)11хь, 262 т. е. / с ° ('(х) дх = с - / Ят) дх, (38.1) с - г (сь)2гхь = с ~~2 7(с;)ггхе СЬ Регпение2 265 Равенство (37.1) назььвается формулогь Ньюгпона —,~Хейбница. Я Если ввести обозначение Р(Ь) — Р(а) = Р(х) ~, то формулу Ньюь тона — Лейбница (37.1) можно переписигь так: Формула Ньютона — Лейбница дает удобный способ вычисления опус. деленного интеграла.
Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции 7(х) на отрезке (а; Ь), надо найти ее первообразную функцию Р(х) и взять разность г'(Ь) — Е(а) значений этой первообразной на концах отрезка (а; Ь). Например, /х~ сй = х ~ = 9 — 0 = 9, о "У * ="™'2! =й-1-4))=- — 2 Пример З7.1. Вычислить интеграл / 1-~-сх~йххах. о / ох= / ~/соагхох= ~~соах~дх= о о о й 7Г / сов х дх + / ( — соа х) йх = а(п х ~ ' + ( — а1п х) ~ . 22 1 + 1 = 2. Э 2 Пример Я7.2. Вычислить интеграл у х1пх' 22 г дх СЬ Решение: / =1п(1пх~~ =1п2 — 1п1=1п2.
х1пх 3 38. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая нодынтегральную функцию интегрируемой на отрезке (а; Ь). Нри выводе свойств будем использовать определение интеграла и формулу 11ьюгона. Лейбница.
1. Есаи с — постоянное чисго и функииг г" (х) интегрируема па (и; Ь), то ь ь 2 а т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного интеграла. Д Составим интегральную сумму для функции с - г (х). Имеем: П и Тогда 1пп 2 с. 7'(х)Ьхь = с йш 2 Дс;) = с / У(х)дх. Оп:юда и-+ОС =, ' о-+сю,, вьмекает, что функция с ° ) (х) интегрируема на (а; Ь) и справедлива формула (38.1) . 2. Есои функции,1ь(х) и Ях) интегрирусмм на (а; Ь), пюгда интеграругма на (а; Ь) их сумма и ь ь ь / (11(х) + Ь(х)) ах = / А(х) ах+ /,~2(х) ~)х, (38.2) 2 а а т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
