Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Комплексное число г = х+ ву можно задавать с помощью радиус- Й вектора т = ОМ = (х; у). Длина вектора т, изображающего комплексное число з, называется модулем этого числа и обозначается ~х~ или т. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором т, изображающим комплексное число, называется аргументавм этого комплексного числа, обозначается Агк г или 9г. Р Аргумент комплексного числа х = О не определен.
Аргумент комплексного числа х ф Π— величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2яж (ж = О, — 1, 1, — 2, 2... ) г Агк х = агк х+ 2яхч где агкх — главное значение аргуменпиц заключенное в промежутке ( — я; х), т. е. — я ( агк г < я (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [О; 2я)). 27.3.
Формы записи комплексных чисел Д Запись числа з в виде х = х+ 1у называют алзебраичесжой формой комплексного числа. Д Модуяь т и аргумент р комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора т = ОМ, изображающего комплексное число х = х + 1у (см. рис.
161). Тогда получаем х = т ссагпз, у = т яп у. Следовательно, комплексное число я = х + 1у можно записать в виде х = тсозгр+и з1пгР или з = т(созга+ 1з1пгР). Такая запись комплексного числа называется тригонометаричесжви формой Модуль т = Ц однозначно определяется по формуле = И = ъ~ '+ у'. Например, р~ = ъгО» + 1з = 1. Аргумент у определяется из формул з1п р = —, гкгд = —. у у т х созга = соз(зги »+ 2)гх) = соз(агкз), з1пгР = зш(агкх). Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числа х, т. е.
считать гд = агк ю 219 219 для внутренних точек 1, 1Ъ" четвер гей, для внутренних точек П четверти, агкг = для внутренних точек 1П четнерти. Рис. 164 Рвс. 163 Зк +11=— 4' Для гг имеем 221 220 'Рвк как — я < агн г < к, то из форъгулы 28 12 = к получаем, что х агс16 к х агота к + я х агс18 гг — т х Если точка г лежит на действительной или мнимой оси, то агкг можно найти непосредственно (см. рис. 162). Например, вгбгг = О для 21 = 2; вгнг2 = я дги1 г2 = — 3; агнгз = 2 для гз = 11 И вЂ” к Рис. 162 вг824 = — — для г4 = — 81. 2 Используя формрлр Эйлера комплексное число г = г(соз1р + Звгп1гг) ьюжно записать в так Д называемой ггокаэагпельиай (или экспопем24ипльмой) форме г = гег", где г = ~г~ — модуль комплексного числа, а угол р = Агкг = = вгкг + 2кк (к = О, — 1, 1, — 2,2,...).
В силу формулы Эйлера, фрнкния ег" периодическая с основным периодом 2 1. Для записи комплексного числа г в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т. е. считатыр = агк г. Промер 27.1. Записзтп комплексные числа 21 = — 1+1' и гг = — 1 в тригонометрической и показательной формах. (,,1 Реп1ение: Для г1 имеем 2 =,/1-'Ц'+ 1' = 1,~, = П~ — 1 ~-, =— '1 — 1/ 4 т. е.
1р = — ~. Псэтому Зк .. Зя1 гг — 1+ 1' = 1(2 соэ — +Ззпг — ) = чг2ег г . 4 4) т.е. у = я. Поэтому — 1 = созя+Ззгпк = ег . )128. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ 28.1. Сложение комплексных чисел Я Срм,мой двух комплексных чисел 21 — — г1 + 4рг и гг = г2 + гр2 называется комплексное число, определяемое равенством Г (28.1) ф Сложение комплексных чисел обладает перемеспзигпелемьгм (коммутативным) и сочепгппгельмы и (ассоциативным) сгюйст- вами. 21+22=г2+21, (г1 + г2) + гз — 21 + (г2 + гз). Из определения (28.1) следует, что геометрически комплексные числа складываются как векторы (см.
рис. 163). Непосредственно из рисунка видно, что (21 + 22~ < ~21( + )221 Это соотнонгение вазы веется неравенством трерзелъника. 28.2. Вычитание комплексных чисел Вычитание определяется кзк действие, обратное сложению. Раэ- посгпью двух комплексных чисел гг и гг назьпгается такое комплексное число г, которое, будучи сложенным с гг, дает число гг, т. е. г = 21 — гг, если г + гг = г1. Если гг = хг + Зрг, 22 '= гг + Зрг, то из это~о определения легко получить г: (28.2) Из равенства (28. ексные числа вычитаготся как векторы (см.
рис. 164). непосредственно из рисунка видно, что )гг — гг~ 3 )гг! — ~22). Отметим, что ~21 — 22~ = (хг — хг)2 + (рг — рг)2 = 11, Щ т. е. модуль разности дггух комплексных чисел равег1 расстоянию д между точками, изображагопгиыи эти числа на плоскости. Поэтому, например, равенство ~г — 21~ = 1 определяет на комплексной плоскости множество точек г, находягпихся на расстоянии 1 от точки ге — — 21, т.
е. окружность с центром в ге = 21 и радиусом 1. 28.3. Умножение комплексных чисел Д Произведением комплексных чисел 31 = х1+ 191 и 32 = х2 + 192 называется комплексное число, определяемое равенством (28.3) Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение ~: =-1- (28. Действительна, 12 = Н = (О+ 11)(0+ 11) = (Π— 1) + 1(0+ 0) =— Благодаря соотношению (28.4) формула (28.3) получается формально путем перемножения двучленов Х1 + 191 и хв + 1921 (х1+ 391)(Х2+ 192) = х,22+ х1192+ 191хя+ 191192 = х1х2 + 1 9192 + 1(х192 + 91х2) Х1х2 9192 + 1(8192 + 91х2)' Например, (2 — 31)( — 5+ 41) = — 10+ 81 + 151' — 1212 = — 10+ 231+ 12 = 2+ 233.
заметим, что 22 = (х + 19)(х — 19) = х2 + 92 — -- действительное число. Умножение комплексных чисел обладает переместительным, соч ' тагельным и распределительным (дистрибутивным) свойствами: 21 22 — 22 31 (2122)23 = 21(2233), 21(22 + 23) — 31 22 + 3123- В этом легко убедиться, используя определение (28.3). Найдем произведение комплексных чисел 21 — — т1 (соя 1р1 + 3 яш 1р1 и 22 = т2(со81р2 + 1в21 д2), заданных в тригонометрической форме: 2122 = т1(созД1 + 18п1 Ч!)тз(ссн'Р2 + 3 81п1Р2) = = Т112(ссв1р1 ссвЮ2+181п1рг со81р2+1соя<р1 яшд2 — яш1р1 яш1рз) = = т1 1 2((соя р1 соя 1р2 — 8ш 1р1 81п 1р2) + 1(81п 1р1 соя 1р2 + сая 1р1 81п 1р2)) = = Т1Т2(соя(д1 + ~р2) + 1 яш(д1 + 1р2)), т. е Мы показали, что нри Рмнолсении комплексньсх чисел Ю модули иеремнозссаютпсл, а аргументы складываются.
Это правило распространяется на любое конечное число множи лей. В частности, если есть и множителей и все они одинаковые, то 2" = (т(сея д+18ш1р))" = т" (соя тир+181п~ир). (2 Д Формула (28.5) называется формулой Муавра. Пример 28.1. Найти (1+ ь/31)9. т = 1+ (Л)2 = 2; агкг = агс18— ~Гз .==3 агкг = —, 3 = 21соя — +181п — 1. 3' 1 3 3/ По формуле Муавра имеем 39 = (1+ ь(Зе) — — 2 ~ссв 9- + 181П 9 — ) = . 9. 9Г. 3 3! = 29(соя ЗХ + 18шЗя) = 29( — 1) = — 512.
° 2В.4. Деление комплексных чисел Деление определяется как действие, обратное умножению. %зстЦ ным двух комплексных чисел 21 и 32 ф 0 называется комплексное число 3, которое, будучи умноженным на 32, дает число 31, т.е. -ь = 3, если 223 = 21. 32 Если положить 21 = Х1 + 191, 22 = х2 + 192 ф О, 2 = х + 19, то из равенства (хя+ 192ИХ+ 19) = Х1 + 391 следует ХХ2 — 992 = Х1, Х92+ РХ2 = 91. Решая систему, найдем значения х и 9: Х1Х2 + 91 Р2 х= 2+ 2 91Х2 — Х192 2 х2+ 92 Таким образом, На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю («избавляются от лснимости в знаменателе»). Пршиер 28.2.
Выполнить деление ~-+-32. 2+1 ' 1+ 31 (1+ 31)(2 — 1) 2 — 1'+ 61+ 3 5+ 51' 2+ 1' (2+1)(2 — К) 4+ 1 5 Ф (,1 Решение: Запишем сначала число 3 = 1+ ц131 в тригонометрической форме: 223 и = 0,1,2. ! 1ри /г = 0 имеем При й = 0 Ыà — — ССЕ— 37Г 2 (й = О). Для тригонометрической формы комплексною числа формула деления имеет вид тз(соя Грг + 2 ящ Грг) = — (соя(грà — Грз) + 1я1п(грà — Грз))- т2(СОЯ ГР2 + В Я!и ГР2) т2 Ори делении комплексных чисел их модули, сооптветстпф веино, делится, а аргументы, соответпственно, вычитаГотся. 28.5.
Иэвлечение корней из комплексных чисел Извлечение корня и-й степени определяется как действие, обрат. нос возведению в натуральную степень. Д .Корнем п-Й степени из комплексного числа 2 называет комплексное число ш, удовлетворяющее равенству ш" = 2, т. е. ~/г = аГ, если ьг" = 2. Если положить 2 = т(соягр+дя1пгр), а ш = р(созд+ Гяпд), то, по определению корня и формуле Муавра, получаем 2 = ш" = р" (соя ад + 2 яп ад) = т(соя р+ двш Гр).
Отсюда имерм р" = Г', пд = Гр+ 2яй, к = О,— 1,1, — 2,2,... То есть д = к-~ — — и р = Ят (арифметический корень). + 2зй Псвтому равенство Щ = ш принимает вид Получим п, различных значений корня. При других значениях к, в силу периодичности косинуса и синуса, получатся значения корня, совпада- ющие с уже найденными. Так, при Й = и имеем / р+ 22гп Гр+ 2яп'1 Юз = Вх/т~ СГН + 2ЯПв = 2/т осе — +2з +Г'я1п — +2я = ~/т соя — +Гяп- =ьГв Итак, для любого 2 ф 0 корень и-й степени из числа г имеет ровно и различных значений.
Пример 28.3. Найти значения а) 1/2 = ш; б) х/ — 1 = ш. Г 1 Решение: а) Запишем подкоренное выражение в тригонометричекой форме:1=1 соя +1я1пф . Сталобыть, 2 2/' зп, к .. з. з -/ 2+2зй .. к2+2зй'1 ы = осе — +Гяш — = ь'1~соя — +дяп 2 2 2 ~ 3 3 )' Гг .. з з/3,1 ша = осе — + дяп — = — + 2'-; 6 6 2 2' ври ГГ = 1 имеем 2 +2Я, $+2Я 5з,, 52г з/3 1 ЬГГ = СОЯ 3 +1яп 2 = соя — +зяГп —, = — — +1 —; 3 6 6 2 2' ври Й = 2 имеем 2 2 3я,, 37Г ю2 = ссн 2 +1яГп — =соя — +Г,'яп — = — 1.
3 3 2 2 б) Снова запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме: — 1 = сояз+1яшз'. Поэтому я+2Ы я+2кй каь +7Б 2 +тяп к=О 1. 2 Гголучаем юо —— соя 2 + дяп 2 — — Г', а при в = 1 получаем . я " ' к + 2'яп — = — 1. Таким образом, з/ — 1 = 1 и т/ — 1 = — ъ.
Ф Зя 2 у=р(х)+С, гя(х) = ( — ) = х = 1(х). у=с(х) у= г"(х)+Со у= р(х)+Сз где С вЂ” постоянная, поскольку Рис. 165 227 Глава НН. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ й 29. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 29.1. Понятие неопределенного интеграла В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функцаи 1(х) кайши ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти фуюсцию г (х), зная ее произеоднусо г'(х) = 1(х) (или дифференциал). Искомую функцию г (х) называют первообразной функции 1" (х). Д сьункцня г(х) называется первообразной функции 1(х) на интервале (а; Ь), если для любого х е (а; Ь) выполняется равенство г'(х) = Г(х) (или Йг(х) = Дх) Йх). Наприиер, первообразной функции у = х, х е Й, является функция г'(х) = *— , так как =3 ' Очевидно, что.первообразными будут также любые функции з Р(х) = — — +С, з ( Ь'(х) = ( — '+С) =х'=Дх) (хай).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
