Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Примером такой функции является функция х, если х > О, р=!х~ = ( — х, солих<О. Изображенная на рисунке 131 функция прерывна в точке х = О, но не дифференцируе ' в ней. Действительно, в точке х = 0 имеем Ьу 7(0+ Ах) — ((О) ~'(Ьх) !тзх! ) 1, если Ьх > О, Лх Ах 9зх Лх 1 — 1, если 11х < О.
Отсюда следует, что йп9 не существуе ц т. е. функция у = !х~ Дй Ьи-90 ~.~Х не имеет производной в точке х = О, график функцви не имеет касательной в точке 0(0; О). ф Замечания: 1. Существуют односторонние пределы функции р = Ц в точке х = О: йт — а = — 1, йгп - = 1. В таких случаях 9Х9 9 ' ь 9о — о Ьх ' ь*-+о,-о 0 х говорят, что функция имеет одностноронние производные (или «производные слева и справно), и обозначают соответственно 7( (х) и 7+ (х).
20.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции днфференцируют с помощью ряда правил и формул. Пусть функции и = и(х) и и = о(х) — дое дифференцируамые о некотором интервале (а; Ь) фрикции. Теорема 20.2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (и х о)' = и' х и'.
!,.1 Обозначим р = и х о. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем: (и(х+ Ьх) хо(х+ Лх)) — (и(х) хо(х)) Ьи — 90 Л9Х !пп и(х+ ьх) — и(х) о(х+ 9зх) — о(х) 9 Ьт-90 9ХХ Ьх Ьи, Аи 1пп — х Ейп — = и'хо', Ь -9О ЬХ Ь*-Ю ГХХ т. е. (и х о)' = и' х о'. Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых. Д Пусть р = ио. Тогда о. 1пп ь-."- — и Нгп Ьх-+О * Ьх-+О Ьх гх+о 1цп до Ьх — гО и о — ио 1 т. е. (Н) = — -тнх-. /ит~ Следствие 20.1. ( — ) = 1.и'.
с с Ьх — гО т. е. (и ° о)' = и'- х + и ° о'. (.,1 Пусть р = и. Тогда 169 Др . и(х + Дх) ° о(х + Дх) — и(х) о(х) р' = 1пп — = 1пп Ьх-+о Дх Ьх-+О Дх (и(х) + Ди) ° (о(х) + До) — и(х) - о(х) Ь. +О Дх о(х) и(х)+и(х) До+о(х).Ди+Ди До — и(х) о(х) Нпт Ди До Ди1 Нгп о(х). — +и(х) ° — +До — ) = Ьх-иО ~, ДХ Дх Дх) Ди , До , Ди о(х) 1пп — +и(х). 1пп — + )пп До- Нпг Ьх-го Дх Ьх.-гО ДХ Ьх-гО Ьх — >О Дх = и'.о+и-х'+0 и'=и' о+и.о', Прн доказательстве теоремы нспользовалась теорема о связи непрерывности н днфференцнруемостн: так как функции и = и(х) н о = о(х) днфференцнруемы, то онн н непрерывны, поэтому До -+ 0 н Ди -+ 0 прн Дх — г О.
Можно показать, что: а) (с и)' = с и', где с=сопя(; б) (и - о ° ог)' = и' - о ° ю + и ° о' ю + и ° о ° и~. Теорема 20.4. Производная частного двух функций -Гг, если о(х) ф иЫ юГХ~ ф 0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби нз производную числителя и числителя дроби нз производную знаменателя, з знаменатель есть квадрат прежнего знзме° -'. (Я) =~..х О. то о и(х+Ьх) и(х) и(х)+Ьи и(х) г . и(х+Ьх) и(х) . х(х)+Ьи и(х) у= Нгп 1пп Ьх- О ДХ Ь -гО ДХ и(х) - о(х) + о(х) . Ди — и(х) .
о(х) — и(х) ° До 1пп Ьх О Дх ° (о(х) + До)о(х) о-Ди — и-До о. — — и ~— Ьи .Ьи Нгп = Нп, ,,О дх, (хд + о, до) ь +О ог +.о, дг, lстг Следствие 20.2. ~ — ) = — Р— 'о —, где с = сопз(. 20.5. Производная сложной и обратной функций Пусть р = 1(и) н и = ггг(х), тогда р = Дггг(х)) — сложная функция с промежуточным аргументом и н независимым аргументом х. (.4 По условию 1пп — = ри. Отсюда, по теореме о связи функпнн, ее До ю Ьи-+О Ди пРедела н бесконечно малой фУнкции, имеем ~~и = Уи + а нлн Ди Др = 9„' До+а Ди, (20.6) где а -+ 0 прн Ди -+ О.
Функция и = ггг(х) имеет производную в точке х: Нпт — и = и'„ Ьх- 0 ДХ поэтому Ди = и', - Дх + р' . Дхи где гу -+ 0 прн Дх — > О. Подставив значение Ди в равенство (20.6), получим Др = 9'(и' -Дх+)6 Дх) +а(и' Дх+)г ° Дх), Др = р'„° и', Дх+9'„° )г Дх+и', ° а-Дх+а ° () Дх. Разделив полученное равенство на Дх н перейдя к пределу и рн Дх -+ О, получим рг.=(г„' и'. ря хт = Зр' = З. з/р — 1)з Тогда 170 171 Итак, для нахождения производной сложной функции надо п1юиз- Ю водную дтгнной функции по промезюртпочномр аргрментпр рмнозгситпь на производную щюмезюртпочного аргументна ио независимому аргрментпр. Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько.
Так, если р = 7(и), и = ~р(е), е = д(х), то р'. = р„и'„ог. Пусть р = 7(х) и х =- со(р) -- . взаимно обратные функции. Теорема 20.б. Если функция р = 7"(х) строго монотонна на интервале (а; 6) и имеет неравную нулю производную 7'(х) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х = тт(р) также имеет производную ~р'(р) в соответствующей точке, определяемую равенством ф(р) =, яли х' =- —,.
Г(х) " Ч'. ! й Рассмотрим обратную функцию х = со(р). Дадим аргумегггу р п!тиращение Лр ф О. Ему соответствует приращение Ьх обратной функции, причем Ьх ф 0 в силу строгой монотонности функции р = 7(х). Поэтому можно записать схх 1 (20.7) ьз лг Если Ьр -+ О, то в силу непрерывности обратной функции приращение с)х — > О. И так как 1пп — к = 7"'(х) 7'= О, то из (20.7) следу ья-+о сзх равенства 1пп — = =,, т. е.
от (р) = -+. а ьт-го р й К .Г (х) ь*-+о Ьх К ".! Таким образом, производном обратимой функции рав обратной величггне производной данной функции. Правило дифферешгирования обратной функции записывают так: др р = — или т с1х т тт ~Хример 20.3. Найти производную функции р = 1обз Оь х . 1~1 Решение: Данная Функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: р = и~, где и = 1окт г, где г = Ой д, где д = хс. По правилу дифференцирования сложной функпии (р'. = р,'„и', гт д.) получаем: р, =3.1оязгях „° з с ° 4х . 2 4 1 1, 3 Ойх" . 1п 2 созз х триггер хО..З.
Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную р' для функции р = ~/х — 1. (з Решение: Обратная функция х = уз+1 имеет производную х' = Зрз. т Следовательно, 20.б. Производные основных элементарных функций Степенная функция р = х". и е 1ч' Дадим аргументу х приращение С!гх. Функция р = х" получит прирагцение Ьр = (х + схх)" — х". По формуле бинома Ньютона имеем п(п — 1) стр= ~х" +п ° х" г ° Схх+ )х" з-Лх +" +(Ьх) — хя= 2! ~ — 1 п(п 1) ~ — т 3 = и. х" Ьх+ х" Ьх~+ ° + (Ьх)". 2! с'гр и хя — т.с1 + "Х".:.г1 я — з 1 з+ + (г. Ьх сгх п(п — 1) "--' ~* -.
(Ф.).— 21 Находим предел составленного отношения при схх -+ 0: 1нп — = йгп ~п.х" +-и (и — 1) х" Ьх+ +(Ьх)" ' = и х ь*-+о Лх ь*-ю1 2 Таким об азом (х ) = п.х" Например, (хз)' = Зхт, (хз)' = 2х, х' = 1. Ниже (см. замечание иа с. 175) будет показано, что формула производной степегпюй функции справедлива прн любом п е К (а не только натуральном). Показательная функция р = ак, а > О, а 7Е 1 Найдем сначала провзвопную функции р = е*. Придав аргументу т приращение Ьх, находим приращение функции Ьр: Ьр = е*+ь* — е* = = е (еь* — 1). Стало быть, -~ = -" — (''-ь —:) и ья Ьр, ел* — 1 еь* — 1, Ьх йп — = 1пп е*.
= — о*.йп =е ° йп — =е .1=с . ь — ьо!лх ья-+о Ьх ь.-го С!гх ь — юг При вычислении предела воспользовались эквивалентностью е* — 1 хприх — гО. / » Итак, у — е , т. е. Ю» (е") = е . Теперь рассмотрим функцию у = а, х е И. Так как а* = е*ы', то по формуле производной сложной функции находим: (»)ю (с»1пп)ю»!па (х ! )~ » па ! х Таким образом, (а*)' = а*!па. .1Хример хО.а.
Найти производную функции у = 7* 4*. 1„1 Решение: Используя формулу производной сложной функции и формулу производной показательной функции, находим у'=(7* "*)'= 7* м ° !п7 (х — 4х)" = 7* м ° !п7 (2х — 4). ° Логарифмическая функция у = Йщ х. а > О, а у4 1 Найдем сначала производную функции у = 1пх. Для нее Ьу 1п(х+ г!х) — !пх !п(кх»ь — *) !п(1+ ь') Гьх»хх»»х Ьх Переходя к пределу прн,»гх -+ О и воспользовавшись эквивалентностью !п(1+ — ) — при Ьх — г О, получаем: Ьт~ Ьх х) х Ь, 1п(1+ ь*), —;, 1 1 1нп — = !ш1 йгп — * = йш ь»-»о Ьх ь»-»о Ьх ь*чо Лх ь г-ю х х т. е. у' = — или (1п х)' = —. Теперь рассмотрим функцию у = 1ойп х.
Так как !оя х, = —, то !их 1па' Г!пх1 1, 1 1 (!оя х)' = ~ — ) = — ° (!пх)' = ~!па) !па !па х' Таким образом, (!ок, х)' = 1 Прт»мер 20.6 Найти производную функции у = !п(х 2х + б) .2 о»~ '. г= =» — и -и +6) =~ 1 х 2 ~ 4х — 4х х — 2х +О х — 2х +6' Прохгзводную логарифмической функции у =!ок, х можно найти иначе. Так как обратной для нее функцией является х = а", то по формуле производной обратной функции имеем: 1 1 1 (аР)~ а2.1па х !па Тригонометрические функции у = вшх, у = созх, у = 1~х, у = т, Для функции у = вш х имеем: гху вш(х+ ххх) — вшх 2вш фсгн(х+ ф) ь;и ьп Ьх Переходя к пределу при»»х -+ О н воспользовавшись первым мечательным пРеДелом йш — гх — — = 1, получаем яп г»х ь»-»о Ъх — 2 — 'соз(х+ — ) = 1 ° созх, ь»-»о Ьх ь»-»о ь ' 1 2 ) т.
е. у' = сов х или (яп х)' = сов х. Найдем производную функции у=сов х, воспользовавшись форму- лой производной сложной функции: (совх)'=(яп( — — х)) =сов( — — х).( — — х) =сов( — — х).( — 1)= — япхг т. е. (совх)'= — з!пх. Для нахождения производных функций у=тих и у=с!их восполь- зуемся формулой производной частного: (2йх)'= — )— з!пх'! (япх)'созх — япх(совх)' соззх+яп х 1 сов х) соз2 х соз2 х ссе2 х ' т. е. (ойх)'= — ~ —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
