Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 22
Текст из файла (страница 22)
® Пример 18.8. Покажем, что т/1 + х — 1 — при х — т О. Л+х-1 . 1,уГ+ — х-1)1,71+х+1) 1пн = !Ип о $ х-о $ ~х/1+х+1) х, . 2 = Итт«, = 1ш« х-«о х (эД+ х + 1) с.-«о у!+ х .! то т/1 + х — 1 х пРи х -э О. 2 Ниже прин дены вазсснейшие зквиваденглносши которые используются нри вычислении пределов: П ер тВ.й. Найти Иш ьт йх т — со з1пЗх' Ряс. 115. г5вт = х.(т -+ О) Рис. 116. 1в(1+т) жт (х.-+О) то у у=сит т' Рис. 114. ст х=т (т — сО 1пп У(х) = У(хо).
(19.1) 152 (~ Решение; Так как 1к2х 2х,йпЗх Зх при т — > О, то 1к2х, 2т. 2 1пп —. = Иш — = —. -+о э1пЗх о Зх 3 Пример 18 10. Найти 1пп х(а' ' — 1) (.) Решение: Обозначим — = 1, из х -+ со следует 1 -с О. Поэтому 1 с 1нп х(е си — 1) = 1пп -(е — 1) = 1пп — 1 = Ипс 1 =- 1. с-со 1 с-+о С с-+о ассэ1п(х — 1 Пример 18.11. Найти Иш *-+с х — 5х+4 (~ Решение: Так как агсзш(х — 1) (т — 1) при х с 1, огсз 1п(х — 1), (х — 1) 1пп = 1нп = 1пп *-+с хз — 5х+ 4 *-+с (х — 1)(х — 4) *-сс х— Приближенные вычисления Если е р, то, отбрасывая в равенстве сх = Д + + (сс — 11) бесконечно малую более высокого порядка, т. е. о — Д получим приближенное равенство сс ~ Д.
Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие. Приведенные вьпне важнейшие эквивалентности служат источником ряда приближенных формул, Приведенссые формулы справедливы при малых т,, и они тем точнее, чем меньше х. Например, графики функций У = сйх и У = х в окрестности точки 0 практически не различимы (см. рис. 114), а кривая у = з1пх в окрестности точки 0 сливается с прямой у = х (рис.
115). На рисунках 116 — 118 проиллю- сгрироваиы некоторые из важнейпсих эквивалентностей, о которых го- ж срилось выше. — (т -+ 0) Рнс. 118. Я+и 1+ —" ( О) Пример 18.ст. Найти приближенное значение для 1п1,032. 1,1 Решение: 1п1,032 = 1п(1 + 0,032) ~э 0,032 Для сравнения результата но таблице логарифмов находим, что 1п 1,032 = 0,031498...
° 3 19. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 19.1. Непрерывность функции в точке Пусть функция у = Дх) определена в точке хо и в некоторой окрестности этой точки. Фусскпия у = у'(х) называется непрерывной в псочте то, если существует предел функции в этой точке и он равен зна сению функции в этой точке, т. е. 2. Для функции х — 1, если — 1<х<2, П)= 2 — х, если 2<х<5, Рис. 121 Рис. 120 при хфО, О( ) = ~ ~ ~ | ~ и х ~ ~ ~ ~ ? 2 прв х=О а д(хо) = о(0) = 2.
156 ре одно из условий перв!ко определения непрерывности функции, а именно: 1. Функция определена в окрестности точки хо, но не определена в самой точке хо. Например, функция у = не определена в точке хо = 2 (см. 1 х — 2 рис. 120). 2.
Функция определена в точке хо и ее окрестности, но не сущ, ствУет пРеДела 1(х) пРи х -+ хо. Например, функция х — 1, если — 1 < х < 2, У(х) = 2 — х, если 2<х<5, определена в точке хо — — 2 (У(2) = 0), однако в точке хо = 2 им разрыв (см. рис. 121), т. к. эта функция не имеет предела при х -э 2: . 1пп 1(х) = 1, а 1пп 1(х) = О.
г-!2-0 ю-+2+0 3. Функция определена в п>чке хо и ее окрестности, существует йтп )(х)„цо этот предел не ра- ". г-+го вен значению функции в точке хо. й!ш У(х) ~ Йхо). Например, фу.нкция (см. рис. 122) — если х~ 0; 0( ) = 2, если х= О. Рис. 122 Здесь хо = 0 — — точка разрыва: (пп д(х) = 02п = 1, -+о — о х Ц Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка разрыва хо называется иючкой разрыва первого рода функции у = 1(х), если в этой точке существуют конечоые пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е. йш у(х) = А! и 1пп 1"(х) = А2. При этом: ~го-о *-+ а) если А! — — Аг, то точка хо называется точкой рстраиимаго розлива; б) если А! ~ Аг, то точка хо называется то !кой конечного разрыва.
Величину ~А! — Аз( называют скачко и д!уикции е точке разрыва ш !рвО!'О 1юца. Точка разрына хо называется пточиой разрыва впюрого рода функции р = 1(х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности. 1. Обратим(я к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 120). у = 2, хо = 2 — ТОчка разрыва втОрогО рОда. ! хо — — 2 является точкой разрыва перво!о рцца, скачок функции равен 0-0(= 1. 3. Для функции !го = 0 является точкой устранимого разрыва первого рода.
Положив д(х) = 1 (вместо о(х) = 2) при х = О, разрыв устранится, функция ! танет непрерывной. 1Хример 10.8. Дана функция 1(х) = — ' . Найти точки разры(х — 3( х — 3' за, выяснить их тип. (~ Решение: Функция у (х) определена и непрерывна на всей числовой 1 прих>3, оси, кроме точки х = 3. Очевидно, 1(х) = ' Следова- ~ — 1 при х< 3. !ельно, Ого у(х) = 1, а 1йп 1(х) = — 1. Поэтому в точке х = 3 ' * †!з+о ' -+э †функция имеет разрыв первого рода.
Скачок функции в атой точке равен 1 — ( — 1) = 2. зги АР 19.о. Найти 1пп 2"кк 1пп 2ькж 2ьмт — 2~ — 2 ж-+к 4 158 19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствукяцих теорем о пределах. Ц Пусть функция 1(х) и ~р(х) непрерывны на некотором множестве Х и хо — любое значение из этого множества. Докажем, например, непрерывность произведения г'(х) = у(х) ~р(х). Применяя теорему пределе произведения, получим: 11ш Г(х)= 11ш (У(х)-И(х))= 1зп~ У(х).
11ш Ч(х)=1(хо) Ф(хо)=~(хо Итак, Бш г'(х) = г'(хо), что и доказывает непрерывность функЦии 1(х) . У (х) в точке хо. И ц ц силу непрерывности функции п =. у(х), йш и(х) = Р(хо) = к — ыа т е при х — > хо имеем и — ~ ао Поэтому вследствие непрерывное функции 9 = )'(а) имеем: 1пп )(д(х)) = 11ш у(и) = у(ио) = 1(р(хо)). Это и доказывает, что сложная функция р = у'(д(х)) непрерывна в точке хо. И Так, например, функция екх = з'их, в силу теоремы 19.1 есть сов х' функция непрерывная для всех значений х, кроме тех, для которых газ т. = О„т. е.
кроме значений х = 2 + кп, п е К. Функции агсз1п х, агсгй х, агссозх, агссойх, в силу теоремы 19.3, непрерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены. ф Можно доказать, что все основные элеменгтгарные функции нетгрерывны при всех значениях х, для юююрььх они определены. Я Как известно, злеменпигрной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержшцей конечное число арифметических действий.и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций.
Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всамал элелтентааргиья 199нмт1ия непрерывна в каюсдот2 нючке, в магтюрой она определена. Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены. О Рещение: Функция 2'"в' непрерывна в точке х = й поэтому 4 Ф 19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.
Изображенная на рисунке 123 функция р = 1(х) непрерывна на отрезке [а;Ь], принимает свое наибольшее значение М в точке хы а наименьшее т — в точке хз. Для любого х. е [а; 6] имеет место неравенство т < у(х) < М. Следствие 19.1. Если функция непрерывна иа отрезке, то она огра ничена на этом отрезке.
Рнс. 125 Ряс. 126 Рис. 124 Рнс. 123 1 Комы и и цап по сысоыа ыаасыаиыас. Поооаса аура Геометрически теорема очевидна (см. рис. 124). Для любого числа С, заключенного межпу А и В, найдется то с внутри этого отрезка такая, что Х(с) = С. Прямая р = С пересече график функции по крайней мере в одной точке. 1"еометрическнй смысл теоремы: если график непрерывной функ ции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает Ох (см. рис. 125). Следствие 19.2 лежит в основе так называемого «меэюда полова ноео деления», который используется для нахождения корня уравнения Х(х) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
