Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Например, известные 121 таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы. На практике часто приходится пользоваться таблицами зна ьевий функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений. 14.3. Основные характеристики функции 1. Функция у = Дх), определенная ва множестве Р, называется Д четмой, если ьЬх е Р выполяяются условия — х е Р и Д вЂ” х) = = Дх); иечетмой, если ььх е Р вььполвякпся условия —:г е Р и Г'( — х) = — Дх). График четной функции симметричен относителыю оси Оу, а нечетной -- относительно начала координат. Например, у = х~, у = ьР1+ хт, у = 1п[х[ — четные функции; а у = зшх, у = хз — нечетные функции; у = х — 1, у = ь/х — функции общего вида, т.

е. ве четные и ве нечетные. Д 2. Пусть функция у = Дх) определена на множестве Р и пусть Л, С Л. Если для любых значений ть,хг е Вь аргументов из неравенства хь < хг вытекает неравенство: Дть) < Дхт), то функция называется возрастампцей на множеу стве Рь., 1(хь) < Дхз), то функция называется мвубмваьощей на множестве . Рь ',ь (хь) >,ь (хг)~ то фуьькция вазы 1 $ вается убываялцей на множестве Вь $ $ Цхь) > Дхз), то функция назььвается мевозрастаьои1ей ва множестве Рь. Например, функция, заданная гргь- . 5 х фиком (см. рис.

100), убывает ца интервале ( — 2; 1), ве убывает на интервале (1; 5), возрастает на интервале (3; 5). Р Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие, функции нв, множестве Рь называются моногпомиыми на этом множестве, а возрастающие и убываюшие — строго момотоииыми.. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами моиопьоиности. На рисунке (выше) функция строго монотонна на ( — 2; 1) и (3; 5); монотонна на (1; 3). Р 3. Функцию у = Дх), определенную па множестве Р, называют ограниченной ва этом множестве, если существует такое число М > О, что для всех х е Р выполняется неравенство Щх)[ < М (короткая запись: у = Дх), х е Р, называется ограниченной ва В, если ЛМ > 0: ььх е Р =ь [Дх)[ < М), Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у = — М и у = М (см.

рис. 101). 4. Функция у = 1(х) определенная на множестве Р называется И периодической на этом множестве, если существует такое число Т > О, что при каждом х е Р значение (х+ Т) е Р и 1(х + Т) = Дх). При этом число Т называется периодом функции. Если Т вЂ” период фуцкпии, то ее периодами будут также числа ьп - Т, где т = х1; х2,... Так, для у =- зш х периодами будут числа х2к; х4з", хбк,...

Основной период (наименьший положительный) — это период Т = 2к. Вообще обычно за основной период берут наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее равенсгву У(х+ Т) = Дх). Рис. 102 Рис. 101 14.4. Обратная функция Пусть задана функция у = Дх) с областью определения В и мно- Д жеством значений Е. Если каждому значению у Е К соответствует единственное значение х е Р, то определена функция х = ьр(у) с обласгыо определения Е и множеством значений Р (см. рис. 102). Такая функция ьр(у) назьпьагься обратной к функции 1(х) и записывается в следующем аиде: х = ьр(у) = ( ь(у). Про функции у = г(х) и х = ьр(у) говорят, что они являются взаимно обратпььмьь. Чтобы найти функцию х = ~р(у), обратную к функции у = Дх), достаточно репьить уравнение У(х) = у отььосительно х (если что возможно).

Примеры: 1. Для функции у = 2х обратной функцией является функция 1 х= 2У: 2. Для функции у = х~, х е [О;1), обргьгной функцией является х = Щ заметим, что для функции у = х~, заданной на, отрезке [ — 1; 1), обрапюй ве существуег, т. к. одному значепииь у соответствует два зна- 4' ' 2' ~ 2)' 122 123 14.5.

Сложная функция Рвс. 105 125 124 Из определения обрапюй функции вытекает, что функция у = Дх) имеет обратную гогда и только тогда, когда функция Дх) зздаег взаимно однозначное соответствие между множествами В и Е. Отс1ода следует, что любая строго монотпонная функция имеетп обратную. При этом если функция возраствет (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает). гу Заметим, что функция у = Дх) и обратная ей х = оо(у) изображаются одной и той же кривой, т. е.

графики их совпадают. Коли же условиться, что, как обычно, независимую пе- уо 1, у=у(х) 3 ременную (т. е. аргумент) обозначить у=У(х) через х, а зависимую переменную через у, то функция обратная функции бу хо уо у = Дх) запишется в виде у = фх). Это означает, что точка М1 (хо; уо) кривой у = Г(х) становится точкой Мз(уо,'хо) кривой у = 1о(х) Но Рис. 103 точки М1 и Мо симметричны отвосгпельно прямой у = х (см. рис. 103). Поэтому графики взаи,мно обратных функций у = 1(х) и у = 1о(х) симмегпричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Д Пусть функция у = Ди) определена на множестве 1Э, а функция и = 1о(х) на множестве Вм причем для Чх Е П1 соответствующее значение и = 1о(х) е В.

'Тогда на множестве В~ определена функция и = Д1о(х)), которая называется слозюной функцией от т (или суиерпогицией заданных функпий, или функцией от функции). Перемегвтую и = 1о(х) называ|от промсхсутиочнмм аргуменяюм сложной функции. Например, функция у = зш2х есть суперпозиция двух функций у = з1пи и и = 2х. Сложная фувкпущ может иметь несколько промежуточных аргументов. 14.6. Основные элементарные функции и их графики Основными элементарными функциями называют следующие функции. 1) Показавмльнол функция у = ао, а > О, а ф 1. На рис. 104 пока- завы графики показательных функций, соответствующие различным основаниям степени. Рис. 104 2) Степенная функция у = т, о е К.

Примеры графиков степенных функпий, соответству1ощих различным показателям степени, предоставлены на рис. 105. Рис. 100 Рис. 108 если х<0, если х>0; Рис. 107 п — 1 и„=, пи г1 и 1 ги =1 — 1) п~ Уи— и е„=п +1, 127 3) Логарифмическая функция р = 1ок„х, а > О, а ф 1; Графики логарифмических функций, соответствующие различным основаниям, показаны на рис. 106. 4) Тригонометрические функции р = эшх, р = созх, р = 15х, р = = с1кх; Графики тригонометрических Функций имеют внд, показанный па рис.

107. 5) Обратные тригонометрические функции р = эгсгш х, р = ' = агссозх, р = агс1кх, р = атосах. На рис. 103 показаны графики, обратных тригонометрических Функций. Р Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется аиеменгпарной фрннг1ией.

Примерами элементарных фушгций могут служить функции р =З~~~ги; р = агсзш — —; р = 1512+х ). 1 1кх х Зхг+3' Примерами иеэлементарных функций могут служить функции 1, х>0, Ь'+1, р=яйпх= О, х=О, р= — 1, хс О; з,г г ъи+~ р = 1 — — + —" — — + . ы + (-1)" 3! 3 5! ° 5 7!-7 (2п+ 1)1 (2п+1) +.. 3 15. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 15.1. Числовая последовательность Под числовой последовагпельностью хы хг, хз,..., х„,... по- Р нимается функция -.=л ), (15.1) заданная на множестве М натуральных чисел. Кратко последовательность обозна гается в виде 1х„) или х„, и 6 М Число хг называется первым членом (элементом) последовательности, хг —. вторым,..., хи — общим или и-м членом носледовагпельносгпи, Чаще всего последовэлельносгь задается формулой его общего члена. Формула (15.1) позволяет вычислить любой член последовательности по номеру и, по ней можно сразу вьггислить любой член последовательности.

Тэк, равенства задакут ссютветственно последова гельности пм ен (2,5,10,...,ой+ 1,...); е„= ( — 1,2,— 3,4,...,( — 1)" ° и,...); 1111)112345п — 1 ( '2'3'4''''п' '3' ™ 1 '2'3'4'5'б'''' п '"1' Я Последовательность (х„) назьпуаегся ограниченнвек, если суще. ствует гаков число ЛХ > О, что для упсбого п е И выполняется неравенство ~х„! < ЛХ. В противном случае последовательность называется неограниченной. Легко видеть, что погледователыюсти уя и п„ограничены, а ьн и е„— неограничены.

Я Последовательность (х„) называется возрасгпаеаи1ей (нвубываяущее2), если для любого п выполняется неравенство а„нг > а„ (аее.йг ) ая). АНаЛОГИЧНО Онрсдспястея убЫВагащая (НЕВОЗраСтаняцая) последовательность. Д Все эти последовательности называются монопгонными последовательностями. Последовательности оа, у„и п„монотонные, а хм -- не монотонная. Если все элементы последовательности (х„) равны одному и тому же числу с, то ее называют иосууюянной. Другой способ задания числовых последовательностей — рекурреппгпий способ.

В нем задается начальный элемеиг тг (первый член последовательности) и правило определения и-го элемента по п — 1-м 1 ( ) у Х„= Г(Хм 1). Таким образом, хй = 1(х1 ), хз = 1(хй) и т. д. При таком способе задания последовательности для определения 100-го члена надо сначала посчитать все 99 предыдуших. 15.2. Предел числовой последовательгчости Можно замети гть что члены последовательности и„неограниченно „ приближауотся к числу 1. В агом случае говорят, что последователь-, ность и„, и е И стремится к пределу 1. Я Число а называется пределом последоватпельносгпи (х„), если ддя люгюго положительно~о числа е найдется такое натуральное число Ж, что при всех и > Ж выполняется неравенство )х„— а) < е. (15.2) В этом случае пишут йгп х„= 1йпх„= а или ха — у а и говорят, что последовагельность (хя) (или переменная х„, пробегающая последо- ВатЕЛЬНОСтЬ Хг, Хй, ХЗ,...

) ИМЕЕТ ПРЕДЕЛ, РаВВЫй ЧИСЛУ а (ИЛИ Хя СтРЕ- мится к а). Говорят также, что последовательность (х„) сходится я а. 128 Коротко определение предела можно записвгь так: (Че >ОВЖ1 Чп > И=~ [х„— а[ < е) с=у 1пп х„=а. Пример 15.1. Доказать, что 1пп и:1 = 1. ( 1 Ренгение: По определению, число 1 будет пределом последовательности хя = и 1 п е И, если уге ) 0 пайдеяюя натуральное число И, и — 1 такое что для всех п ) И выполняется неравенство ~ — — 1~ < е, у и 1 т. е.

1 < е. Оно справедливо для всех п > —, т, е. для всех и > И = [-), "п е 1) — целая часть числа — (целая часть числа х, обозначаемая [х), 1 Е Е ь наибольшее целое число, пе превосходящее х; так [3) = 3, [5,2) = 5) . Если е > 1, то в качестве И можно взять Н + 1. 111 Итак, Че > 0 указано соответствующее значение И. Это и доказыт, что 1пп и 1 =1.

Характеристики

Список файлов книги