Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 19
Текст из файла (страница 19)
м — уоо И 3 Заметим, чтО числО Ж зависит От е. Гак, если е = 20, тО м = [ — ~ = [ — ~ = [а-] = а и е = 0,01, то И = ~ — = [100) = 100. ( 1 100 гому иногда записывают И вЂ” И(е). Выясним геометрический смысл определения предела последовагьвости. Неравенсгво (15.2) равносильно неравенствам — е < х„— а < е или — е < х„< а+ е, которые показывают, что элемент х„находигся в е-окрестности точки а.
а а+е Рвс. 109 Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности (х ), если для любой е-окрестности точки а найдется натуральное число Ж, что все значения х„, для которых и > И, попадут в е-окрестность точки а (см. рис. 109).
1 Консаскулмшнйно меешсй ма емаенке. Полммй курс 129 Полагая а = 1, Ь = —, получим 1 (Примем без доказательства.) 131 Ясно, что чем меныпе с, тем больше число 2"т', но в любом случае внутри е-окрестности точки а находится бесконечное число членов последонателыюсти, а вне ее может быть лишь конечное их число. ф Отсюда следует, 'по сходящаяся последоватпельностпь имеетп п2ояьмо один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходяще22оя.
Таковой является, например, посленовательность и (см. с. 128). Постояппал последовательность х = с, п с И имеет предел, рави ный числу с, т. е. 1пп с = с. Действительно, для тн > О при всех натуральных и выполняется неравенство (15.2). Имеем ~х„— с~ = ~с — с) = = О < е. 15.3. Предельный переход в неравенствах РаССМОтРИМ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтИ (Х„), (Р„) И (вв).
Теорема 15.1. Если 1пп х„= а, 1пп р„= Ь и, начиная с некоторого в — ~со и — н:о номера, выполняется неравенство х < д„, то а < 6. Д Допустим, что а > 6. Из равенств 1пв х„= а и !пп р„= Ь следует, и — Фс \ и-+ОР что для любого е > О найдется такое натуральное число 12'(е), ч го при всех п > дг(е) будут выполняться неравенсгна (х„— а! ( е и (р„— 6| < с, ге е.
а — е < х„< а + с и 6 — е ( у„< Ь+ е. Возьмем е = — 'яь. Тогда: в — ь ать н24 „„6+ . 1,+ а — ь р+ь а+Ь 2 2 т. е. р„( —,„. Отсюда следует, тго х„> ря. Это противоречит условию х„< ра. С.педонательяо, а < 6. И 15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е.
Натуральные логарифмы Не всякая последонательность имеет предел. Сформулируем без доказательства признак существования предела последователыюсти. Теорема 15.3 (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная по- следовательность имеет предел. В качестве примера на применение этого признака рассмотрим последовательность х„, = (1+ — ), и Е 61 1171 По формуле бинома Ньк>тона (а+Ь)в=а" + —.а" .Ь+ .а" Ь +...
и в(и — 1) 1 1 2 п(в — 1)(п — 2)... (п — (в — 1)) 1 2 ° 3-" ° -п 11" и 1 и(п — 1) 1 п(и — 1)(п — 2) 1 ( —.) = г. п1 '+1'и+ 1 2 и + 1 2.3 в ' " и(и — 1)(п — 2)...(и — (п — 1)) 1 1 2 3 -.. ° и п" ="" — ('-;) ",,('-;)('-;,) '- 1 1 1 1 2 Из равенства (15.3) следует, что с увеличением и число положительных слагаемых в праной части увеличивается. Кроме того, при увеличении в число — убывает, поэтому величины (1 — — ), (1 — — ), ... возрастают. Поэтому последовательность (х„) = ( (1+ — ) 1 — возрастаюп1ая, при (1+ — ) > 2.
(15.4) Покажем, что она ограяичена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (15.3) на единицу правая часть увеличится, получим нера- венство ( -) 1 та 1 1 1 1+ -) < 1+1+ — + — + -" + 1-2 1 ° 2-3 1 ° 2-3 ° ° . ° и Усилим полученное верв.вевство, заменив числа 3, 4, 5,..., стоящие в знаменателях дробей, числом 2: (1 + — ) < 1+ (1+ — + —, +... + —,), Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической про- грессии: 1 1 1+ + 2+ 22 2 Поэтому (1+ 1) <1+2=3. (15.5) Итак, последовнгельиосгь овраничвнц при этом для уг» е го выполня- ются неравенства (15.4) и (15.5): 2<(1+ — ) <3. 18х = 18(е!™), т.
е. 18х = 1пх. 18 в Пользуясь десятичными логарифмами, находим 18 е м 0,4343. Значит, 18х 0,4343.1пх. Из этой формулы следует, что 1пх ю 18х т. е. 0,4343 1п х м 2,3026 18х. Полученные формулы дают связь между натуральными и десятичными логарифмами. Следовательно, на ослювании теоремы Вейерпгграсса последовательность х„= (1 + — ), п Е го, имеет предел, обозначаемый обычно бук- 11Я вой е: о йгп (1+ — ) = е. (15.6) Число е называют неверовым числом. Число е иррациональное, его приближешюе значение равно 2,72 (е = 2,718281828459045...).
Число е принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается 1и:о, т. е. 1пт =1о8,х. Найдем связь между натуральным и десятичным логарифмами. По определению логарифма имеем х = е '. Прологарифмируем обе части равенсгва по основанию 10: Сформулируем два, эквивалентных между собой, опреде.ленин прет ла функции в точке. Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне). Число А называется пределом фунггцпп у = 7" (х) в точке хо (или при х -+ хв), если для любой последовательности допустимых зца»еиий аргумента х„, и Е 1Ч (х 1Е то), сходящейся к хв (т.
е. 11ш х„= хв), последовательность ссютветствующих значений функо -+ос пии 7'(х ), и Е го, сходится к числу А (и е. 1пп Г(х„) = А). В этом случае пишут 1пп 7"(х) = А или 7'(х) -г А при х — г хв. хохо Геометрический смысл нредела функции: йп 1'(х) = А означает, что -+хо для всех точек х, достаточно близких к точке ха, соответствующие .шачения функции как угодно мало отличаются от числа А.
Я Оггршгеление 2 (на «языке е-б», или по Каши). Число А называется пределом функции е точке хв (или при х — 1 хв), если для любого положительного в найдется такое положительное число б, что для всех х уо хо, удовлетворяющих неравенству ~х — хв~ < б, выполняется неравенство ~7"(х) — А~ < в. Записывают 1пп у(х) = А. Это определение коротко можно запих-»хо сать твк: Чв > 0 Вб > 0 Ух: )х — хо~ < б, х Ф хв =ь !У(х) — А~ < в «=у или 0 < )х — хв~ < б «=у 1пп У'(х) = А. х-охо Геометрический смысл предела функции: А =- 1пп,г'(х), если для х-+хо »побой в-окрестности точки А найдется такая б-окрестность точки хв, что для всех х ф хв из этой б-окрестности Оютвегствующие значения функции 7" (х) лежат в в-окрестности точки А.
Иными словами, точки графика функции у = 1'(х) лежат внутри полосы шириной 2в, огрвничешюй прямыми у = А + в, у = А — в (см. рис. 110). Очевидно, что величина б зависит от выбора в, поэтому пишут б = б(в). Пример Мо.1. Доказать, что 1пп(2х — 1) = 5. х-+3 81б. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 1б.1. Предел функции в точке Пусть функцпя у = 7(х) определена в некопюрой окрестности точно хо, кроме, быть может, самой точки хо.
132 ('„1 Решение: Возьмем произвольное в > О, найдем б = б(в) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству ~х — 3~ < б, выполняется неравенство )(2х — 1) — 5( < в, т. е. )х — 3~ < $. Взяв б = $, видим, что для всех х, удовлегворяюших неравенству ~х — 3~ < б(= 2), вьпюлняется неравенство )(2х — 1) — 5! < в. Следовательно, 1пп(2х — 1) = 5. ° хоз 133 х-аха Рис. 110 Рис. 111 Рис. 112 135 Пример 16.2. Доказнгь, что, если 1(х) = с, то 1пп с = с.
СЛ Решение: Для Уе > 0 можно взять Чб > О. Тогда при ~х — хо) < б,' х ф хо иьюем Щх) — с~ = — (с — с~ = 0 < е. Следовательно, 1пп с = с. хх 1б.2. Односторонние пределы В определении предела функции 1пп 1(х) = А считается, что х х — ахо стремится к хо любым способом: оставаясь меньшим, чем хо (слев от хо), большим, чем хо (справа от хо), или колеблясь около точки хо. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к то суще, ственно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия овносторонних пределов. Д Число Аг называется пределом фрикиии д = 1(х) слева в точк хо, если для любого число е > 0 существует число 6 = о(е) > 0 такое, что при х б (хо — Л; хо), вьнюлняется неравенство Щх) — Аг ~ < < е.
Предел слева записывают так: йш у(х) = Аг или коротко: х-+ха-О ,г"(хо — 0) = Аг (обозпачение Дирихле) (см. рис. 111). Аналогично опрецеляегся предел фрикции справа, запишем ею с ' помощью символов: (уе > 0 Чб = о(е) ух е (то,хо+ о) =-» Щх) — Аг! < е) С=» е=» 1пп У(х) = Аг. х — ахо+О Коротко предел справа обозначщог 1(х + О) = А. ц Пределы функции слева и справа называются одпоспнгропи~~ ~~и ,г1 о,если существует 1пп 1(х) = А,тосуществух-+хо ют и оба односторонних предела, причем А = Аг = Аг. Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела у(хо — О) и ~(хо+0) иониРавны, тосУществУетпРеделА = йш 1(х) х-+хо и А= у(хо — О). Если же Аг ф Аг, то 1па 1'(х) не существует.
х-+ха 1б.3„Предел функции при х — г оо д Пусть функция р = Лх) определена в промежутке ( — оо; оо). Число А называется пределом фрикции 1(х) при х — г со, если для любою положительного числа е существует такое число М = М(е) > О, что при всех х, удовлетворяющих неравенству ф > М выполняется неравенство ~Дх) — А~ < е. Коротко это определение можно записать так: (Че>ОЗЛХ>ОЧха (х(>М =» (Х(х) — А(<е) Ф~ 1ип ((х)=А. Если х -+ +со, то пишут А = 1нп 1(х), если х -г — оо, то — А = х-о+ох 1пв Дх).
Геометрический смысл этою определения таков: для М > 0 ВМ > О, что при х е ( — оо; — М) или х е (М;+ос) соответствующие значения функции 1(х) попадают в е-окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2е, ограничетпюй прямыми р = А + е и д = А — е (см. рис.
112). 1б 4„Бесконечно большая функция (б б ф.) ф,щция р = Цх) называетсЯ бесконечно боагьиюО пРи х -+ хо если для любого числа М > 0 существует число Л = Л(М) > О, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < )х — хо ~ < о, выполняется неравенство Щх)! > М. Записывают 1пн т(х) = оо или 7(х) т оо пр„ х-+ха х — > ха. Коротко: 1(М > 0 Л6 > 0 т7х т !х — ха! < 6, х ф хв = — э Щх)! > М) г-=. ( 1пп,7(ж) = оо. Например, функция у = есть б.б.ф. при х — > 2. 1 х — 2 Если 7"(х) стремится к бесконечности при х — ~ ха в принимает лишь положительные зна сепия, го пишут 1пв 7'(х) = +со; если лишь х-+хо отрицательные значения, то 1шт 7"(х) = — оо.
х -о ха Д Функция р =,т'(х), ззданная на всей числовой прямой, называется бесконечно балинта при х — т сю, если для любого числа М > 0 найдется такое число Ат = Ж(М) > О, что при всех х, удовлетворяющих неравенству !х! > Ж, выттотптяется неравенство !7(х)! > М. Коротко: ( ЧМ > 0 ЛАГ > 0 т7х т !х! > Ат =~ !7"(х)! > М) С=с 1пп 7'(х) = со. х-+со Например, й = 2* есть б.б.ф.
при х -> оо. Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т. е. х Е 1т(, то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно болыпой последовательностью. Например, последовательность о„= и + 1„п е 1т(, является бесконечно больвюй 2 последовательностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
