Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 21
Текст из файла (страница 21)
д(х) Второе слагаемое есть б.м.ф. как часткюе от деления б.м.ф. па функцию, имеющую отличный ог нуля предел. йп 1(х) Поэтому Бпк +) = —,, т. е. 11ш — (- —— Х -»»О Рассмотрим пример. Пример 17.о. Вычислить 1пв(Зхг — 2х+ 1). »-»1 йкп (Зтг — 2х + 7) = 1пп Зхг — 1пп 2т, + 1пв 7 = » — »1 »т»1»-+1 »2 = 3(1пп х ) — 2 1пп х + 7 = 3 1 — 2 + 7 = 8. ° К.» -+1»-»1 14х — 32 ХХример 17.4. Вычислить 1пп 2 — »2 х — 62+8 С~ Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к.
предел знаменателя, при х — 1 2, ранен О. Кроме того, предел числителя равен О. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида О, Для ее раскрьггия разложим числитель и знаменатель дроби О' на множители, затем сократим дробь на т — 2 ф О (х -+ 2, но х ф ): хг + 14х — 32 . (х — 2)(т. + 16) 1нв = 1пв -»г 22 — От+8 2»2 (х — 2)(х — 4) 1кшг(х + 16) — — ° х-»г х — 4 йв(т.— 4) 2-4 »-»2 Пример 17.5. Вычислить йп 2 г+~ *-»о» 4х + 2х+ а о" 1,2 Решение: Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида —.
г»вЂ” нахождения предела декпюй дроби разделим числитель и знаменатель (17.8) -е < д(х) — А < е р(х) — А ( Дх) — А < д(х) — А. (17.10) 145 2х +Зх+1 2+ й+ 1« Бш (2+ — + хч) 2 = 1пп 4х~+2х+5 *-+ 4+ 2+-зт йш (1+ з + з ) ж у у Фос и ьт Функция 2+ — ' + — ь есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому 3 1. х х, 3 11 г 2 5т 1пп (2+ — + — ) = 2; 1пп ~4+ — + — ) = 4.
и-+ос т х хз х-+со х хз 17.4. Признаки существования пределов Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция д = вш х при х — > оо предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании ирене; ла функции. В таких случаях пользуются признаками существования предана. Д Из равенств (17.6) вытекает, что для любого н > 0 существуктг две окрестности бг и бз точки хо, в одной из которых выполняетсч нера- венство )р(х) — А! ( е, т. е. -е< р(х) — А<а, а в другой )д(х) — А( ( е, т.
е. (17.9) Пусть б — меньшее из чисел бг и бз. Тогда в б-окрестностн точки хо выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9). Из неравенств (17.7) находим, что (' учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют неравенства — н < г(х) — А < е или Щх) — А~ < е. Мы доказали, что 1ге>0 Вб>0 1гх: 0<(х — хо(<б =~ Щх) — А)<е, го есть !пп )'(х) = А.'. ь-чй~ Теорему 17.10 иногда гпутливо называют <атринципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции ~р(х) и д(х), функция;г (х) «следует за милиционерами».
Доказательство этой теоремы не приводим. Слцдствие 17.6. Ограниченная монотонная последовательность хти п Е Я, имеет предел. П.5. Первый замечательный предел При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел (17.11) и-+о Д называемый перв»си аамечптпелвньам пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. Докажем равенство (17.11). Ц Возьмем круг радиуса 1, обозначим радиаиную меру угла МОВ через и (см.
рис. ПЗ). Пусть 0 < х < а. На рисунке ~АМ~ = з1цх, дуга 2' МВ численно равна цетггральному углу х, (ВС( = 18х,. Очевидно, име- ЕМ ЯЛЛХОВ ( Ясектьрь»ГОВ ( ШООВ. На ОСНОВавнн СООтнвтетвуЮШяК формул геометрии получаем — з1п х < — х < — тйх. Разделим неравен- 1 1 1 2 ' 2 2 ства на — ипх > О, получим 1 « —.
— или сов х « — 1. 1 х 1 зшх 2 гйпх созх х зшх !пп — = 1. я-+о х !т>о) (17.12) Пусть теперь х < О. Имеем жп х в)п! — х! —, где — х > О. Поэтому — х (17.13) Пример 17.6. Найти Ипз зш *. ,-+о 2х Пример 17.7. Найти 1пп -8 —. 1 х е-+О 3: (х Е 11): Иш (1+ -) = е. (17.15) 147 Так как Иш ижх = 1 и 1пп 1 = 1, та и-+О в ю по признаку (а пределе промежуточной функции) су~цествавания пределов 1ш Рис 113 я-чо х (~<о! Из равенств (17.12) и (17.13) вытекает равенство (17.11). С1 Решение: Имеем неопределенность вида —. Теорема о предепе дроби О О' неприменима.
Обозначим Зх = 1; тогда при х -э О и 1 — г О, поэтому гйпЗх . шпг . 3 з!п1 3 . з!по 3 3 1пп = 1пп —, = Бш — — = — 1пп — = — 1 = —. *-ю 2х и-ю2 — ' ~- о2 Г 2~-ю ! 2 2' 'з 18х, зшх 1 . з!пх +о 1 !:1 Решение: 1пп — = 1пп .— = 1пп,* о =1 — =1.' о х о х созх *-+о х 1пп созх 1 з-+О 17.6. Второй замечательный предел тв Как известно, предел числовой погледавателыюсти х„= (1+ — ) п Е И, имеет предел, равный е (см. (15.6)): в 1пп (1 + — ) = е.
(17.14) Докажем, чта к числу е стремится и функция х„= (1+ — ) при х — у со 1 тж 1. Пусть х, — з +со. Каждое значение х заключено между,овумя в1ложительными целыми числами: п < х < п + 1, где п = (х) — — это нглая часть х. Отсюда следует « — —, 1+ < 1+ — < 1+ —, п+1 х п' п+1 х п' витому (1+ ',)" < (1+-')*< (1+-')"'. Испи х -э +ос, то п — з со. Поэтому, согласно (17.14), имеем: ! о-+ ( п+ 1) 1пп (1+ — ") 1 о -н:о ~+1 1пп (! + -) = !пп (1 + -) 1пп (1 + -) = е - 1 = е.
! !о признаку (о пределе промежуточной функции) существования пред~ лов Иш (1+ — ) =е. (1 7.16) 2. Пусть х -+ — оо. Сделаем подстановку. — х = г, тогда Ы+ ) = (1 ) =1зш(» ) = 17 ( 1 ) с-г 1 з равенств (17Л6) и (17Л7) вытекает равенство (17.15). Если в равенстве (17.15) положить — = о (а — з О при х — г со), оно 1 пишется в виде !пп (1 + о) = е. (17.18) Д Равенства (17.15) и (17Л8) называются вторым эпмечагпель- нььм пределом. Они широко используются при вычислении пределов.
В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием е. Функция р = е* называется эмсионепт4иальной, употребляется также обозначение е* = ехр(х). Промер 17.6. Найти Бш (1+ — ) . 2тв (~ Решение: Обозначим х = 21, очевицно, г -г ао при х -+ оа. Имеем 2)з ( 1)м 1 ', 1 = Ип~ (1+ -) 1пп (1+ -) = е.е =е . ° ~ 18. ЭКВИВЛЛВНтНЬК ВВСКОНКЧНО МАЛЫЕ функции 18.1. Сравнение бесконечно малых функций 1,д Решение: При х — > О фушсция а есть б.м.ф. более высокого порядка, Зхо 3 3 чем ХХ, так как 1пп — = 1пп '* = 1пп ~ = О.
В этом случае басф. а х — оо ф х-+о 7х х — оо 7 стремится к ну.лю быстрее, чем ф. Ф Как известно, сумма, разность и щюизведение двух б.м.ф. функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести с бя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно бол шой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к к кому пределу. Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения. Пусть а = а(т) и )9 = д(х) есть б.м.ф.
при х -+ то, т. е. 1пп а(т) х-+хо = О и 1нп 9(х) = О. х — о хо 1. Если 1пп а = А ф О (А Е ХХ), то а и д называются бесконеч ' х Д малыми одного поХовдка. 2. Если !пп а = О, то а называется бесконечно малой более оы х ход кого порядка, чем д. 3. Если 1пп а = оо, то а называется бесконечно малой более нив *-+хо о9 кого порядка, чем 19. 4. Если 1пп а не существует, то а и д нэзывакпся несраон мым х-+хо бесконечно малыми. Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф.
при х -+ хоо х — г хо ж О. Пример 13.1. Сравнить порядок функций а = Зжв и )9 = 14т при х -+ оо. С! Решение: При х -+ О это б.м.ф. одного порядка, так как а . Зхг 3 1! — = 1пп — = — ф О. -оо,9 — ю 14тз 14 Говорят, что б.м.ф. а и,9 одного порядка стремятся к нулю с примеры одинаковой скоростью.
Прилоер Хд и. Являются ли функции а = Зхо и !9 = 7х б.м. однооо порядка при х — г 07 Пример Хд.д. Сравнить порядок функций а = ~бт, и д = хг при х -+ О. (;1 Решение: Так как а 1кх вшх 1 1 1пп — = Бгп — = 1пп — ° — — = со, *-+о Х) -+о х' х-+о х сов х ж то а есть б.м.ф. более низкого порядка„чем !9. При:.мер Х 3.4. Можно ли сравнить функции а = х ° вш — и !9 = х при х — г ОУ О Решение: Функции а = т - вп1 — и !) = х при х — > О являются нет х ° шп— 1 сравнимыми б.м.ф., так как предел йп1 а = йш * = 1пп гйп 1 не и-+0,9 х-оо т х-ю х существует 18.2.
Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые. Д Если 1пп а = 1, то а и Д называются эквиваленгпными беско- х-+хо )9 нечно малы'.ми (при х -+ хо); это обозначается так: а )9. Например, вшж х при х — г О, т. к. Иш вшх = 1; !кт х при о х х -+ О, т. к, 1!п1 = 1. $ех -+о х Ц Пусть а а' и д ф' при х — у хо Тогда а, ~'а а' 9'~ а ф' а~ а~ 1пп — = 1пп — —, —, = !пп — 1пп — !пп — =1 ° 1. 1пп— *-охо 9 х-охоу 9 а' д'! х эхо а' х-+хо )9 х — охо (9' х-охо,д'' вп й в!и — * Ига —. — = 1 ° 1 = 1.
х-+о 1" о> 1~ Решение: Так как 150 « т. е. йп — = 1по — г. х-схо Р х-+хо Р Очевидно также, что 1па и = 1пп ~ = 1пл х-+с:о Р х-«ха Р х — нсо Р' !:! Пусть сс Р при х — э хо- Тогда 1нп = 1пп ~1 — — ) = 1 — 1пп — = 1 — 1 = О, о — Р, г Рх х схо гг '- хо сс х — «ха гс аналогично Ип« вЂ” '9 = О. *-+ха Р Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. о и Р есть бесконечно малая выстпего порядка, чем сс или Р, то сг и Р— эквивалентные бесконечно малые. Действительно, так как Ип« вЂ” и- = О, то !шт ! 1 — ! = О„т. е. х-«хо ГС ' х-+ха С Сс/ 1 — 1пл Р = О.
Отсюда 1пн 9 = 1, т, е. о Р. Аналогично, если х — «хо О х-сха ГС Иш — '9 = О, топ,9. х-но о Р Теорема 18.3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка. ! ! Докажем теорему для двух функций. Пусть о -+ О, Р -+ О при х -+ хо, причем тт — б.м.ф. высшего порядка, чем Р, т. е. Ипт Р = О. х-«ха Р Тогда йп = Иш ! — + 1т1 = Итп — + 1 = О+ 1 = 1, го+9 .
го 1 . о х-«хо Р о-+ха Р х-+хо Р Следовательно, о + Р Р при х — г хо. Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частною впюй суммы. Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется оп«брасмванием бесконечно малых, вне«него порядка. Зх+ 7хг Пршиер 18.Б. Найти предел !пн ' х.+ х-+о гйп 2х <,1 Решение: !пн —.- — = !пп .
' = Иш Зх = З, поскольку Зх~7х Зх ' *-+о в!и 2х х-«о в!п2х х-+о 2х 2' З.с+ 7хв Зх и в!и 2х 2х при х -+ О. 1В.З. Применение эквивалентных бесконечно малых функций Вычисление пределов Дзя раскрытия неопределенностей вида — часто бывают полез- О О оым применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, гбпх х при х -+ О, !ах х при х — г О. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф. Пи р18.8.
Пока,что1-совх- 2 рих-эо. 1 — совх . 2в!и— ах (~ Решение: 1пн, ' = йн х-+о —" х — «О 2 в П 18 7 Н й „, Иш агсвйпв: о х 1~ Решение: Обозначим апяшх = й Тогда х = в!п1 и 1 -+ О при х -+ О. Поэтому агсвшх . 1 . 1 1 1«го о«от х-+о х г-+овщв о о о' г 1 г Следовательно, агсвшх х при х — г О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
