Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Очевидно, всякая б.б.ф. в вкресшности точки ха является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например, д=хгшх) Однако, если 1пп 7(ж) = А, гдг А — конечное число вто фрнкция х-+хо ! ' > т'(х) ограничена в окрестности точки хв. Действительно, из определения предела функции следует, что при х — т ха выполняется условие Щх) — А! < г. Следовательно, А — г < < г(х) < А + г при х е (хв — в; жв + г), а это и означает, что функция 7(х)ограничена. 317. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ (Б.М.Ф.) 17.1. Определения и основные теоремы Д Функция р = т"(х) называется бесконечно лталой при х -+ хв, если 1пв 1'(х) = О.
(17.1) По определению предела функции равенство (17.1) означает: для любого числа г > О найдется число 6 > 0 такое, что для всех х, удовлетворшощих неравенству 0 < !ж — хо! < 6, выполняется неравенство !У( )! <г. Аналогично определяется б.м.ф, при х -+ хв + О, х -+ хв — О, :г — т +со, х -+ — со: во всех этих случаях 7(х) — > О.
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами о, тт в т. д. Примерами б.м.ф. служат функции р = хг при х -+ 0; р = х — 2 нри х -+ 2; р = зш х при х — т к1, Й е Ж. Другой пример: х„=. — „, и е И, — бестсонечно малая последовательность. Теорема 17.1.
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. („й Пусть о(х) и (т(х) — две б.м. функции при х' — т хо. Это значит, что йш о(х) = О, т. е. для любого г > О, а значит, и 2 > 0 найдетх-оха ся число бт > О такое, что для всех ж, удовлетворятощих неравенству 0 < !х — хв! < 6т, выполняется ттераветтсгво !о(, )! <— 2 (17.2) и йтп б(х) = О, т. е. х-аха (У вЂ” >0 Збг > 0 17х: О < !ж — хв! < 6г) => ф(х)! < —.
(17.3) 2 2 Пусть 6 — наимепьптее из чисел бт и бг. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < !х — ха! < 6, выполняются оба неравенства (17.2) и (17.3). Слштовательтто, имеет место соотношение /ст(х) + м(х)! < /о(х)/+ /Ях)! < — + — = г. 2 2 Таким образом, М>0 36>0 ттхт О<!х — тв!<6 ~ !ст(х)+б(х)!<г. Это значит, что 1пп (о(х) + 9(х)) = О, т. е. о(х) + б(х) — б.м.ф. при х — охо х †т хвАналогично проводится доказательство для любого конечного числа. б.м. функций. Теорема 17.2.
Произведение ограниченной функции нз бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая. 13б 137 ((х) = (х — 1) .з1п' 'с 1 Пусть функция у(х) ограничена при х -+ хо. Тогда существует такое число М > О, что Щх)) < М (17.4) для всех х из 61-окрестности точки хо. И пусть а(х) .— б м.ф. при х -+ хо. Тогда для любого г ) О, а значит, и г > О найдется такое число бг > О, чго при всех х, удовлетворяющих неравенсгву 0 < < ~х — хо~ < бю выполняется неравенство Е И )~< —.
М (17.5) Обозначим через б наименьшее из чисел бс и бг. Тосда для всех х, удовлетворяташих неравенству 0 < )х — хо~ < б, выполняются оба неравенства(17.4) и (17.5). Следовательно, /Дх) сг(х)/ = Щх)нсг(х)/ < < ~~ ° М = г. А это означает, что произведение 7(х) о(х) при х — г хо есть бесконечно малая функция. Следствие 17.2. Произведение бм.ф. на число есть функция беско- нечно малая.
О Пусть 1пп а(х) = О, а Ипс Дх) = а ф О. Функция Ф)- может быть яо 'ХО представлена в виде произвецения б.м,ф. а(х) на ограниченную функ- цито уг~. Но тогда из теоремы (17.2) вьнекает, что частное 1 сг(х) Лй' Ж) = = а(х) — г — есть функция бесконечно малая. 1 'УЖ Покажем, что функция — ограниченная. Возьмем с < ~а~. То- 1 йх) гда, на осссовании определения предела, найдется б > О, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < )х — хо! < б, выполняется неравенство Щх) — а) < г. А так как с > Щх) — а~ = (а — 7(х) ~ > )а~ — ~Дх)), то )а~ — ( ((х)) < е, т. е.
Щх)~ ) ~а( — е > О. Следователыю, г . е. функция — — - ограниченная. 1 Лх) Д Пусть сс(х) есть б.м.ф. при х -+ хо, т. е, 1ш1 а(т) = О. Тогда — хо (Че>0 Лб>0 Чх: 0<!х — хо!<б) =~ (сг(х))<с, т. е. ~ — Г) ~ > —, т. е. ~ — (-) ~ ) М, где М = —. А зто означает, что функ- ция есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратное 1 утверждение.
3 мвчаниес Доказательства теорем приводились для случая, когда х -г хо, но они справедливы и для случая, когда х — г со. Пример 17.1. Поквзагтч что функция при х -> 1 является бесконе шо малой. (;) Решение: Так как 1пп (х — 1)г = О, то функция ср(х) = (х — 1)г есть бесконечно малая при х — ь 1. Функция д(х) = ьгпг —, х ~ 1, ограничена ~вш' ~ < 1. з 1 Функция 7'(х) = (х — 1) - зш' представляет собой произведение ограниченной функции (д(х)) на бесконечно малую (р(х)).
Значит, 7'(х) — — бесконечно малая при х -+ 1. Ф ожно представить ии ат(х), то число х) = А+а(х), то 141 17.2. Свяэь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией Теорема 17.5. Если функция 7'(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции га(х), т. е.
если 1пн 7(х) = А, то 7(х) = А+ о(х). о-+то (;.1 Пусть 1пп 7(х) = А. Следовательно, а-+оо (М>О Зб>О ух: О<1х — то!<б) ~ (У(х) — А~<к, т. е. (Дх) — А — О! < ж Это означает, что функция 7"(х) — А имеет предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через о(х): Х(х) — А = о(х). Отсюда 7(х) = А+ о(х). ( 1 Пусть У(х) = А+со(х), где га(х) — б.м.ф.
при и, — > хе, т. е, 1)ш гт(х) = о-ааа = О. Тогда (уе > О Зб > О Чх: О < !х — хо) < б) =-о 1ат(х)! < е. А так как по Условию 7(х) = А+ ат(х), то о(х) = У(х) А Полу. (Че > О Зб > О Чх; О < 1х — хо! < б) =~ (7(х) — А~ < е. А зто и означает, что йпа 7'(х) = А. И о-аоа Пример 17.2. Доказать, что 1пп(5+ х) = 7.
о-+2 ( 1 Решение: Функцию 5 + х можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. х. — 2 (при х -+ 2), т. е. выполнено равенство 5+ х = 7+ (х — 2). Следовательно, по теореме 17.6 получаем 1нп (5+ х) = 7. Ф х-ат 17.3. Основные теоремы о пределах Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение препелов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда х -т хе и х -+ со, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы Игл 7(х), 1нп уа(х) существуют.
а-+ао а-аяо г )1 Пусть 1пп 7(х) — А, 1пп аа(х) — В. Го~да по теореме 17.5 о свяя — аоа о-+ао зи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать 7(х) = А + а(х) и уа(х) = В+ Ях). Следовательно, 7(х) + р(х) = А+ В + (о(х) + 9(х)). Здесь га(х) + д(х) — б.м.ф. как сумма б.м.ф. По теореме 17.6 о связи функции, ее предела и б м ф. можно записать 1пп Ц(х)+аа(х)) = А+В, а-аоо (7(*)+~())=1 7()+ Ъ у(х). ° В случае разности функций доказательство аналогично. Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций. Следствие 17.3. Функция может иметь только один предел при х -ч хе. 1-а П 1 у(х) = А и оп 7(х) =В. Потеореме17.7 имеем: а — аао о +Ко О = 11по (,7(х) — У(х)) = й~ У(х) — йУ У(х) = А — В. Отсюда А — В = О, т.е.
А= В. С,д Решение: 143 142 ( д Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых пояснений. Так как йв 1(х) = А, 1пп у(х) = В, то »'-чко х» 1'(х) = А + ск(х), »р(х) = В+ д(х), где о(х) и Ях) — б.м.ф. Следовательно, ((х) р(т) = (А+ ск(х)) (В+ Ях)), 1(х) у(х) = АВ + (А,9(х) + В ° о(х) + о(х)Я(х)).
Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому 1пп,((х) со(х) = А. В, У(х)р(х)) = 1 У( ) 6 р( ) . Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций. 1пп (с У(х)) = йп с. Всп ((х) =г йш у( ), Ы,1кк, (((х))"=,1'ш Шх).((х)." .У(х))=,1п У(х) --.. й ((х)= н сомножителей = ( й У(х))". ,' 1 Доказательство аналогично предыдущему. Из равенств !1ш 1(х) = А и Бпк р(х) = В ф О х »-»»о »-»»о кедуют соотношения 1(х) = А + о(х) и р(х) = В + 11(х). Токпа Дх) А+ о(х) А (А+ ск(х) А~ А В о(х) — А ° Ях) ок(х) В+ Ях) В 1 В+ Ях) В,к' В Вг + В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
