Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 9

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием т от полюса О и углом гр, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см.

рис. 24). Под систтгелтот2 ттоординат на плоскости понимают способ, по<з зволяюгдий численно описать по:,пожение точки плоскости. Одной из таких систем является ~рллгоргольнгьв ( декартова) систлелта координат. Прямоугольная система координат задается диумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, на каждой из которых ) выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок.

Единицу масштаба обычно берут одинаковой для обеих осей. Эти оси нвзываитг осялги координат, точку их пересечения О— началолг координат. Одну из осей нвзываРис. 23 тот осью абсцисс (осью Ох), другую — осью ординат (осью Ор) (рис. 23). Нв рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и направленной слева направо, а ось ординат — вертикально и направленной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области— чствверти (или квадрантпы).

Единичные векторы осей обозначают т и ут Я = )у( = 1, т 1 г). Систему координат обозначают Охр (или Оту), а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскоствью. Рассмотрим произвольную точку М плоскости Охй. Вектор ОМ называется радирсолг-веквгорам точки М. Д Хоординатпами пючки М в системе координат Охр (Оту) на- зываются координаты радиуса-вектора ОМ. Если ОМ = (т;, й), то координаты точки М записывают так: М(х; й), число х называется абсциссот2 точки М, р — ординатоту точки М.

Эти два числа х и р полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот. О е Рис. 24 Рис. 25 Числа т и гр называются поллрнылги координапиьми точки М, пишут М(т", гр), при этом т называют поллрнььы радиусолт, гр —— поллрнььи углом.

Для получения всех точек плоскости дгхггаточно полярный угол гр ограничить промежутком ( — к;к) (или О ( гр < 2з), а полярный радиус — (О; оо). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел т и гр,и обратно. Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Охй, а полярную ось — с положительной полуосью Ох. Пусть х и у — прямоугольные координаты точки М, а т и гр — ее полярные координаты. Из рисунка 25 видно, что прямоугольные координаты точки М выражаются через полярные координаты точки следуюшим образом: г х = т сов гр, р = т - вгп гр. Полярные же координаты точки М выражаются через ее декартовы координатьг (тот же рисунок) такими формулами: т= /х +=,Р Сйр = хй. Определяя величину гр, следует установить (по знакам и и й) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что — тг < гр < тг.

<~~ Решение: Находим г и дл — ч'3 г = Ч~З+ 1 = 2, 1йу1 = — = ГАУЗ. — 1 Отсюда у1 = 21 + хн и б Ж. Но так как точка М лежит в З-й четверти, 3 то л = — 1 и гр = а — з = — —. Итак полярные координаты точки М л 2л 3 3' ;ть г = 2, у = - —,... М (2; — ). Э 9.2. Основные приложения метода координат на плоскости Расстояние между двумя точками Требуется найти расстолние д между точками А(хг, рг) и В(хг, рг) плоскости Оту. 1,а Решение: Искомое расстояние д равно длине вектора АВ = = (хг — х1, уг — у1), т.

е. д ~АВ~ ( .,)г + („д,)2 Деление отрезка в данном отношении Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки А(х11д1) и В(хг~92) В заданном отношении Л ) О, т. е. найти коордипаты точки М(х; р) отрезка АВ такой, что — = Л (см. рис. 26). О Решение: Введем в рассмотрение векторы АМ и МВ. Точка М делит отрезок АВ в отношении Л, если АМ = Л-МВ. 9.1 Рлс. 26 ( ) Но АМ = (х — хг, .р — уг), т. е. АМ = (х — хг)1+ (у — уг)г и МВ = = (хг — х;дг — д), т. е. МВ = (хг — х)1+ (уг — д)11 Уравнение (9.1) принимает вид (х — хг)1+ (Р— У1)2 = Л(хг — х)1+ Л(дг У)1 Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем тг + Лхг х —:гг — — Лхг — Лх, т.

е. х = ' 1+Л (9.2) 60 1Хргьмер 9.1. Дана точка М( — 1; — чгЗ). Найти полярные координаты точки М. и д — дг =Луг — Лр, т.е. у= р, +Луг 1+Л (9.3) Формулы (9.2) и (9.3) называютсл формулами деления отрезна а данно,м отношение. В частности, при Л = 1, т. е.

если Ам = МВ, го они примут вип х = ~, у = — 2. В этом случае точка М(х;д) 2 '' 2 лвляетсл серединой ол1резха АВ. Замечаннг. Если Л = О, то это означанг, что точки А и М совпадают, если Л ( О, то точка М лежит впе отрезка АВ --- говорлт, что точка М делит отрезок АВ внешним образом (Л ~ — 1, т. к. в противном глучае М —— — 1, т. е. Ам + МВ = О, т. е. АВ = О). Ам Площадь треугольника Требуетсл найти плошал треугольника АВС с вершинами А(хг,.р1), В(тг,рг), С(хз; дз). (,З Регпепие: Опустим из вершин А, В, С перпендикуляры АА,, ВВ1, СС1 на ось Ох (см. рис. 27). Очевидно, что ЗАВС = ЗААгВ|В + ЗВ1ВСС1 ЗА|АСС~ Понгому Рис.

27 у1 + р2 дг + дз у1 + дз ЗАВС = 2 .(х2 — хг) + 2 2 ' (хз — хг)— (' з — ' ) = 1, (х2д1 хгр1 + х2д2 х1д2 + хзу2 х2р2+ хзрз 2 хгдз — хзу1+хгрг хзрз+хгдз)= 1 — 2(хг(д2 — У1) — хг(дг — д1) — хг(уз — рг) + х1(дз — д )) = ((дг — д1Ихз — 11) — (дз — рг)(тг — х,)) = 11*" т. е. хз — хг хг — хг 2 уз дг рг д1 Замечание: Если при вычислении площади треугольника подучим Я = О, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если же получим отрицательное число, го следует взять его модудь. 9.3. Преобразование системы координат Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы хаардинань 61 Рзс.

28 Ряс. 29 Ряс. 30 Следовательно, с т = хо + х, у = уз+у'. < гоза „' ыпа+ у = х юла+ у'. сова+ уе, 82 Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в лрутую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат. Параллельный перенос осей координат Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оту. Под параллельным перекосом осей координат понимают переход от системы координат Оху к новой системе 01х~уы при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остахлся неизменными.

Пусть начало новой системы координат точка 01 имеет координаты (хе,. уе) в старой системе координат Оту, т. е. О1(хв„уз). Обозначим координаты произвольной точки М плоскости в системе Оху через (х; у), а в новой системе 01х| у1 через (х', у') (см. рис.

28). Рассмотрим векторы ОМ = тз +уу, ОО~ = хз(+уо2, ОтМ = х~г+ у 2. Так как ОМ = 001 + О| М, то х(+ ут = хв(+ уст + х'(+ у'2, т. е. т (+ У ' Я = (хв + х ) ' $ + (Уо + У ) 2. Полученные формулы позволяют находить старые координаты х и у по известным новым т' и у' и наоборот. Поворот осей координат Под повсрошом осев' косудпнат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси позора шваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными. Пусть новая система 01 т1уг получена поворотом системы Оту на угол а (см.

рис. 29). Пусть М вЂ” произвольная точка плоскости, (х; у) — — ее координаты в старой системе и (х', у') — в новой системе. Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Ох| (масштаб одинаков). Полярный радиус г в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны а+ р и у, где д — — полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем х = г (а+ у), ~х = г сезар сова гзш~ нйп„ т. е. Ф '-'="' ("+'4 ~у=гсовР йпи+гз1пд-сова Но г сов у = х' и г йп р = у'. Поэтому Д Полученные формулы нззывакпся фо2хмулами поворотив осей. Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки М через новые координаты (х' у') втой же точки М, и наоборот. Если новая система координат О1х1у1 получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол а (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной системы О1 ту легко получить формулы выражающие старые координаты т и у произвольной точки через ее новые координаты т' и у'.

310. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ 10.1. Основные понятия Линия на плоскости часто задается как мнвзтсссшвв точек облае дающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса Н есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние В от некоторой фиксированной точки О (центра окружности). Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е.

равенства, связывающего координаты точек линии). Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение Е(х; у) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты т и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Переменные х, и у в уравнении линии называются шекди1пии координатами гочек линии. Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(хп, уо) на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяк',т ли координаты точки .4 уравнению этой линии в выбранной системе координат. Приме1т 10.1. Лежат ли точки Х( — 2;1) н Т(1;1) на линии 2х+у+ 3 = 02 кнт Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки К, получим 2 ( — 2) + 1 + 3 = О. Следовательно, точка Л лежит на данной линии. Точка Т, не лежит на данной линии, т.

к. 2 ° 1+ 1 + 3 ф О. ° Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями гт(х; у) = 0 и Рз(х; д) = О, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих ливий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными: г Ег(х;у) = О, гз(х;д) = О. Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются. Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат. Уравнение Е(г; ~р) = 0 называется уравнеаием данной линии в полярной системе координат, если координаты шобой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.