Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 5

О1о Ь1 — атп агг ° . а2„' 62 А О 1 О О 29 Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от Я нуля, назыввсчпя рангом л2атнри21м. Обозначается т, т(А) или гапк А. Очевидно, что О < т < п1ш(п2; и), где пвп(п1; и) — меньшее из чисел П2 И П.

Я Минор, порядок которого определяет ранг ма!рицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров. 22ример 3.4. найти ранг матрицы (,! Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го 3 6 порядка, отличный ог нуля = — 15 ф О. Значит, т(А) = 2. 1 — 3 Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами. Отметим свобппва ранга матарицы! 1. Прн транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не измениткж. 3. Ршп' матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы (см. с. 18). Ранг канонической матрип;ы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы. Пример З.б. Найти ранг матрицы используя результаты примера 1.4. С! Решение: В примере 1.4 показано, что (1 О О О) (О 1 О О/' Таким образом, ранг матрицы А равен т(А) = 2, 34. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4Д. Основные понятия Сипоемоб линебных алгебраических рравнениб, содержа!цей ш уравнений и и неизвестных, называется система вида 12ге числа.аб, 1' = 1, т, у = 1, и называются коэффициентами системы, числа Ь; — свободными членами.

Подлежат нахождению числа х„. Д Такую систему удобно записывать в компактной магпричноб форме Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основноб матри цеб! ам а12 ... аг Ом агг ... Ог~ х! Х2 Х =, — вектор-столбец из неизвестных х1, Ь1 Ь В = . — вектор-столбец из свободш 1х членов Ь1 Ь,„ Произведение матриц А Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (и штук). Рапаиренноб матрицей системы называется матрица А системы, дополненная столбцом свободных членов а ао,г...

Оо„, Рпаением сисгемь1 называется п значений неизвестных х1 = с!, х2 =сг, ..., х„= с„, при подстановке которых все уравнения системы обрашаютгя в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца с1 С2 аПХг+акгтг+.-. +атлх а„пх, +а х +" ° +а „х„= =О амхг + аггхг + ° . + а~„х„=.бз, агзхт + а22х2 + ' ' ' + а2ихп бг с х+ у=1, Зт+ Зу = — 2. а,ш Х1 + а„гхг + ° + а,„т„= Ь,„. 31 30 Система уравнений называется совмеслтном, если она имеет хотя Д и а бы одно решение, и несовместной, если она пе имеет ни одного решения, Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и невлределенноа, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частаным решением системы.

Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решашь снсглему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение. Две системы называются аявпвалентньииа (равносильными), если они имеют одно и пз же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот. ф и Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных лревбразованьлх системы прн условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю: Однородная система всегда совместна„так как хг — — хг = "- —— ="-=х =О является решением системы. Это решение называется нулевым или пграваальнмм. 4.2. Решение систем линейных уравнений Теорема Кронекера — Капелли Пусть дава произвольная система гл линейных уравнений с и не- известными Исчерпывающий ответ на вопрос о совместносги этой системы дает гпеорема Кронвкера — Капелла. Примем ее без доказательства. Правила практического разыскания всех решоний совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем. Теорема 4.2.

Если ранг совместной системы равен числу неизвест- ньи, то система имеет единственное решение. Теорема 4.3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвест- ных, то система имеет бесчисленное множество решений. Правило решения произвольной системы линейных уравнений 1. Найти ранги основной н расширенной матриц системы. Если т(А) ~ т(А), то система несовместна. 2. Если т(А) = т( А) = т, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка т (напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным).

Взять т уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых вховят в базисный минор, называют главныма и оставляют слева, а остальные п — т неизвестных называют сввбвдныма и переносят в правые части уравнений. 3. Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы. 4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений. ЯХример 4.1. Исследовжь на совместность систему СЬ Решение А=, т(А) =1, — 2, т(А) = 2 уз — 3 — 2 у-0 Таким образом, г(А) ф т( А ), рледовагельно, система несовместна. ° Пририер 4.Х.

Решить систему ху — 2хг + ХЗ + х4 = П х1 2т2+хз т4 = — 1, х, — 2хг+хз+Зху= 3 (;Ь Решение: г(А) = г( А ) = 2. Берем два первых уравнения с Х1 — 2хг +, 'ХЗ + Х41 = 1, » 1 Х1 — 2Х» +»ХЗ вЂ” Х»» кк -1 »з= 1 = — 2~0, < хз + Х4 = 1 — х1 + 2хг» хз Х4 = — 1 — х1 + 2х2. Х1+ 2 Х1 — 4Х2» 1 — х1 + 2х2 — 1 Слеповато»и,но, хз = — Х1 + 2хг, Х4 например» х1 = О» х2 =- 0» получаем хг = О, хз = О, Х4 = 1. 4.3. Решение нееырожденных линейных систем. Формулы Крамера Пусть дана система и линейных уравнений с и неизвестными + О»гхг + ° + О1 т„= Ь1, + Оггхг + " + Ог,хп = Ьл Омху О21Х1 + Оп2Х2 + ' ' ' + ОппТп = Ьп А Х=В.

А такой сисчвмы квадратная. Определитель Ом .. Оьп Опу . О„п Опуху или в матричной форме Основная матрица этой матрицы 1 1 — Х1+2хг ~ 1 — 1 — Х1+2хг ~ = 1 — общее решение. Положив, рщно из частных реупений: Х1 — — О, Ф называется определптелезр свспуезрм. Если определитель сислемы отличен от нуля, то систома называется неемрожденнон.

Найдем решение данной системы уравнений в случае»з ф О. Умножив обе части уравнения А ° Х = В слева на матрицу А 1, получим А 1. А .Х = А 1 В.Поскольку А 1 А = Е и Е .Х =Х, то 'р» = »г~В. (4.1) Отыскание решения системы по формуле (4.1) нззывауот зраупрвч вьои способо44 решения системы. Матричное равенство (4.1) запишем в виде Аы Аи,. Ап, Ь 1 А12 Агг ... А г Ь2 »3 А1„А п ....4„п Ьп то есть А Ь+А Ь+ ° .+А Ь 4.'Г А Ь +А Ь +.-.+А Ь А Ь+АЗЬ+ ° -+А Ь Отскуда следует, что А Ь+А Ь+ ° -+А Ь Х1 » А Ь+А Ь+. ° +А Ь хп— Но Аы Ь1 + А21 Ьг + " ° + А„1 Ьп есть разложение определителя Ь1 О12 ° ° - Оуп Ьг Огг .

. Ог Ьп Опг ... Опп по элементам перво»о стоуубца. Определитель 441 получается из определителя 44 путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свобоцных членов. Итак х 1— Аналогична: хг = -4», где 412 получен из Ь путем замены вторрло столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; хз = — Аа,... Д » и 1 ха ап кв» юпк и к» . пакппз кура Я Формулы А1 хх= —, 1=1 и Э (4.2) называются (да12мрла ки г(Раме)гаИтак, невырожденная система и линейных уравнений с и неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2).

2Х1 — Х2 = О, Н)аггмер 4.Я. Решить систему (Х1+3Х2 = 7. (~ Решение: А= =7фО, Ь1=~ ~=7 Ь2= =14. 3 ' ' (7 3~ Значит, Х1 —— — — — 1, хг = 7 —— 2. 7 Опишем метод Гаусса подробное. П)хямай хад. Будем считать, что элемент ап ~ О (если ап = О, то первым в системе запишем уравнелие, в котором коэффициент при х1 отличен от нуля). Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное хх во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования си- а21 стемы). Для этого умножим обе части первого уравнения на — — 21- и ап сложим почленно со вторым уравнением системы.

Затем умножим обе части первоп1 уравнения на — — зх и сложим с третьим уравнением сна ап стемы. Продолжая з 1от процесс, получим эквиввлонтную систему апХ1 + а12Х2 + + 111пхи (1п О) (1) (1) а22 х2 + - .. + аг„х„= Ь2 4.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гарсса, состоящий в последовахельном исключении неизвестных. Пусхь дана система уравнений ап Х1 + а12Х2 + .. - + а1„х„= Ь1, а21х1 + а22х2 + ' ' + а2~х~ = Ь2 (4.3) , 1Х1+а гхг+. -+а х„= Ь,„.

Процасс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к стрпевчатамр (в частности, трергааьиаир) виду. Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид апхх+а12хг+ ° +а1гхг+.- + ах„х„= Ь1, аггхг+ -+амхь+.--+аг„х„=Ь2, амхь+.--+ ах х„= Ьы где Ь < а, аи ф О, 1 = 1, Ь. Коэффициенты аи называ1отся главными элементами системы. На втором этапе (обрахный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

а,гхг+. -+ аж„х„= Ь„, . (1) (1) О) Здесь а(.), Ь( ) (1, у = 2, 1п) -- новые значения коэффипиентов и правых частей, которые получаются после первого шага. Аналогичным образом, считая главным элементом а22 ф О, ис- (1) ключим неизвестное хг из всех уравноний системы, кроме первого и второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно. Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида О = О, их отбрасывают.

Если же появихся уравнение вида О = Ьг, а Ьг Ф О, то это свидетельствуех о несовместности системы. Второй этап (обратимо хад) заключается в решении ступенчатой сисхемы, Ступенчатая систезиа уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное хь через остальные неизвестные (хь+1,...,Х„). Затем подставляем значение хь в предпоследнее уравнение системы и выражаем хь, через (хь+„...,Х„); ватам находим хь п...,х1. Придавая свободным неизвестным (хь+1,...,Х„) произвольные значения, получим бесчисленное множества решений системы. Замгчаипя1 1.

Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. Й = а, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим х„, из предпоследнего уравнения Х„1, далее пацнимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные (х~-2 . Х1). 2. На практике удобнее работахь не с системой (4.3), а с расширенной ее матрицей, выпахп1яя все элементарные преобразования нгд 35 ее строками. Удобно, чтобы коэффициент аы был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на ап ф 1). Прилхяр 4.4. Решить сне~ему мегодом Гаусса: 2хх —;гг + Зхз— 5хз =1, =2, 5х4 =3, х1 — хг — 5хз Зхг — 2хг — 2хз— 7хх — 5хг — 9хз — 10хз = 8.

О Решение: В результате элементарных преобразований над расши- ренной магрицей системы 1 — 1 — 5 0 2 1 — 1 — 5 0 2 0 1 13 -5 -3 0 1 13 -5 -3 0 1 13 — 5 — 3 О О 0 0 0 0 2 26 -10 -6 0 0 0 0 О исходная система свелась к ступенчатой: хх — хг — 5хз =2, хг + 13хз 5х4 = 3. Поэтому общее решение системы: хг = бхз — 13хз — 3; х1 = бх4 — 8хз — 1. Если положить, например, тз = О, хз = О, то найдем одно из частных решений этой системы хх — — — 1, хг = — 3, хз = О, хз = О.