Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 3

Абеля .. 458 63.2. Интервал и радиус сходимости степенною ряда........ 459 63.3. Свойства степенных рядов 564. Разложение функций в степенные рццы.. 64.1.Ряды Тейлора и Маклорена...,.................. 64.2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена) 3 65. Некоторые приложения степенных рядон............. 65.1. Приближенное вычисление значений функции... 463 465 471 471 65.2. Приближенное вычисление определенных интегралов .. 473 65.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений...........................................

475 Глава ХЪг. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИН'ХЕГРАЛ ФЪ"РЬЕ 66.2. Тригонометрический ряд Фурье......................... 480 3 67. Разложение в рцц Фурье 2я-периодических функций........ 483 67.1. Теорема Дирихле....................................... 483 67.2. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций ..

486 67.3.Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 67.4. Представление непериодической функции рядом Фурье. 12 з 66. Ряды Фурье.............................., 478 66.1. Периодические функции. Периодические процессы..... 478 491 493 67.5. Комплексная форма ряда ФУРье .. 368. Интеграл Фурье. Глава Х т'1.

ЭЛЕМЕН'ГЬ1 ТЕОРИИ ПОЛЯ 169. Основные понятия теории поля. 499 з 70. Скалярное поле. 70.1. Поверхности и линии уровня . 501 70.2. Производная по направлению........................... - 502 70.3. Градиент скалярного гюля и его свойства............... 504 з 71. Векторное поле 506 71.1. Векторные линии поля 506 71.2. Поток гюля...... 507 71.3. Дивергенция поля.

Формула Остроградского — 1'аусса... 71.4. Циркуляция поли. 71.5.Ротор поля. Формула Стокса. 515 , з 72. Оператор Гамильтона.. 518 72.1. Векторные дифференциальные операции первого порядка . 72.2. Векторные дифференциальные операции второго порядка . 519 3 73. Некоторые свойства основных классов векторных гюлей.... 520 73.1. Соленоидальное поле . 520 73.2. Потенциальное поле . 73.3.

Гармоническое поле .. 501 510 513 521 524 Глава Х т11. ЭЛЕМЕНТЪ| ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 525 525 174. Функции комплексного переменного 74.1. Основные понятия . 74.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. 74.3. Основные элементарные функции комплексною переменного . 74.4. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Эйлера — Даламбера......... 74.5. Аналитическая функция. Дифференциал... " " 74.6.

Геометричегхгий смысл модуля и аргумента 526 527 532 535 75.1. Определение, свойства и правила вычисления интеграла . 540 13 производной. Понятие о конформном отобршкешш..... 538 з 75. Интегрирование функции комплексного переменного........ 540 ПРЕДИСЛОВИЕ 544 547 551 551 553 555 558 558 563 567 567 572 572 576 588 590 590 593 Првложевня . 75.2. Теорема Коши.

Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона — Лейбница.............. 75,3. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши...... з 76. Ряды в комплексной плослсости .. 76.1. Числовые ряды . 76.2. Степенные ряды 76.3. Ряд Тейлора 76.4. Нули аналитической функции........................ 76.5. Ряд Лорана .

76.6. Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции 377. Вычет функции. 77.1.Понятие вычета и основная теорема о вычетах ...... 77.2. Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов Глава ХЧП1. ЭЛЕМЕНТЪ| ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИИ 3 78. Преобразование Лапласа . 78.1.Оригиналы и их изображения............ 78.2. Свойства преобразования Лапласа....... 78.3. Таблица оригиналов и изображений...... з 79. Обратное преобразование Лапласа............ 79.1. Теоремы разложения .

79.2. Формула Римана — Меллина 3 80. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем... Настоящее пособие предназначено, в первую очередь, для студентов инженерно-технических специальностей; может быть полезным для всех категорий студентов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Оно представляет собой конспект лекций и адресовано, в Ьсновном, студентам первого и второго курсов. Набор освещаемых во,,просов хорошо виден из оглавления.

Данный конспект содержит необходимый материал по всем раз'делам курса высшей математики и дополнительным главам, необхо,димым при изучении специальных курсов. Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого 'количества примеров н задач, ведется на доступном, по возможности атрогом языке. Пособие может быть использовано студентами также для самосто",ятельного изучения соответствующего материала, является базой для ',подготовки к семестровым зачетам и экзаменам по высшей математике. Кроме того, книга должна помочь студенту и в тех случаях, когда 1он что-то не успел записать на лекции, какие-то лекции были пропу:,щены, в чем-то трудно (илн нет времени) разобраться по другим учеб;анкам, когда некоторые вопросы «слишком длинныэ в его конспектах или много фактического материала, который следует изучить за огра'ниченное количество недель, дней.

Автор надеется, что данный курс лекций будет полеюн и препода'вателям, а ис»юльзованве данного гюсобия будет способствовать более глубокому изучению студентами курса высшей математики н смежных дисциплин. Список обозначений: (,) ° — начало и конец решения примера или задачи; ц ° — начало и конец доказательства; Д . —. важные определения; [ф — «обрати'ге особое внимание~ » В рамку заключены формулы, которые важно помнить. Глава!.

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 31. МАТРИЦЫ 1.1. Основные понятия Маглрицгй называется прямоугольная таблипа чисел, содержащая т строк одинаконой длины (или и столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде а11 а21 а12 ° ° ° 111п агг ... аг ам1 ат2 ° . ° Сстя нли, сокращенно, А = (а;3), где 1 = 1, т (т. е. 1' = 1, 2,3,..., т) — номер строки, у = 1, н (т е. 1 = 1, 2, 3,..., и) --. номер столбца. Матрицу А называют матрицей размера т х м и пип1ут А хо. Числа а,ср составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей нз верхнего угла, образуют главнусо диагональ.

Д Матрицы равны мвгссду собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е. А=В, если ас =511, где1=1,гл,1=1,ц. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера и х и называют матрицей п-го нарядна. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной ,11иагонзльнзя матрица, у которой каждый элемент главной диагонали ранен единице, называется единичной. Обозначается букной В.

— единичная матрица 3-го порядка. 1 о Вохив О единичная матрица и го порядка. Квадратная матрица называется треугольнсхй, если все элемен- ты, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Ц Магрица, нсе элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается букной О. Имеет вид о о ... о о о ... о о о ... о В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел О н 1 в арифметике. Д Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответствен' ., но). Их вид: а1 г 1 112 А =, В = (51 Ьг ...

Ь„). а„, Матрица размера 1 х 1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т. е. (5)1„1 есть 5. Д Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столб- цом с тем же номером, называется матрицей трансти1нщюванной к данной. Обозначается А2 . Так, если А=, то Ат=, если А=, то Ат=(1 О). Транспонированнвя матрица обладает следующим снойством (Ат)т = А 1.2. Действия над матрицами Сложение Операция сложения матриц внодится тельно для матриц одинаковых размеров. Суммой двух матраи А „„= (ас.) и В „„= (Ь;;) называется матрица С„,„„= (с; -) такая, что с;. = ас + Ьо (1 = 1, т, у' = Гн).

Пример 1.2. 2 — 3 О 3 3 — 1 5 Π— 1 Аналогично определяется разность матриц. Умножение на число А= 0 2 — 1 1 2. А+ (В + С) = (А + В) + С; З.А+О=А; б. о. (А+В) = вА+ оВ; 7. (в + ф) . А = оА + дА; 8. о (ВА) = (вф) А, 4.А †А; ; Произведение матриц 511 Ьгг гхз зхг 19 Произведением матрицы А „„= (а1!) на число Ь называется матрица В „= (Ьг ) такая, что Ьз! — — Й аб (г = 1,т, у = 1, л).

Матрица — А = ( — 1) А называется аротиоопололсной мои!рице А. Разность матриц А — В можно определить так! А — В = А+ ( — В), Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами. 1.А+В=В+А; 5. 1.А=А; где А, В, С вЂ” ма!рицы„о и д — числа. Элементарные преобразования матриц Эземснвгарными преобразованиями мапгриц являются: ° перестановка местами двух параллельных рядов матрицы; ° умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля; ° прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Д Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А В. При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подрцц несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической, например Пример 1.~. Привести к каноническому виду матрицу . ~;! Рещение: Выполняя элементарные преобразования, получаем — г О 2 -1 1 - Е -1 3 1 О 0 0 5 2 Π— 15 — б Операция умножения двух матриц вводигся только для случая, .ф когда число свюлбцоо ицрвой матрицы равно числу строк второй , мои!рицы.

Произведением матрицы А„,»в = (ай) на матрицу В„х = (Ьгь) называегся матрица С „„= (сз) такая, что сгь = оп Ь13+а13. Ьгь+ ..+амЬ ь, где! =1,т, В=1,р, " т. е. элемент г-й строки и Ь-го столбца матрицы произведения С равен " сумме произведений элементов г-й строки матрицы А на соотвегствующие элементы й-го столбца матрицы В. Получение элемента са, схематично изображается так: Если матрицы А и В квадратные одного размера, го произведения АВ и ВА всегда существукп. Легко показать, что А. Е = Е А = А, где А — квадратная матрица, Š— единичная матрица того же размера.

с о11511 + а1353! + а!353! а11513 + а13Ьгг + а13533 1 аг1511 + аггЬ31 + агзЬ31 аз!513 + аггЬгг + агзЬзг/ основан на свойстве разложения определителя по влеменгам некоторого ряда (с. 23, свойство 7). При этом заметим, что определители невыажих порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению. Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой: Пример 1.6. А = ~ ), В = ~ ). Тогда произведение 11 2 11 г 1 ЗЪ ~3 1 0)' А В не определено, так как число столбцов матрипы А (3) не совпада- ет с числом строк матрицы В (2).

При атом определено произведение В х А, которое считают следующим образом: В А= 1 3 1 2 1 = 1+9 2+3 1+О = 10 5 1 Пример 2.1. Найти определители матриц Матрицы А и В называготся перестаноеочнаамп, если АВ = ВА. Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1.