Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 6

Ф Прилгну 4.5. Решить систему методом Гаусса; хх+ х2+ хз =3~ 2хх + Зхг + 2хз = 7, Зхх + хг+ хз = 5~ 5хх — хг — хз = 3, О Решение: Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы сисхемы: 1 1 1 3 1 1 1 3 1113 0101 0112 0112 0 1 О 1 0 — 2 — 2 — 4 0 — б — б — 12 2 3 2 7 3 1 1 5 5 — 1 — 1 3 2 — 1 3 — 5 1 — 1 †0 3 — 2 — 2 — 5 7 — 5 — 9 — 10 1 1 — 1 2 2 — 1 3 3 — 2 8 7 — 5 0 2 — 5 1 — 5 3 — 10 8 1113 0101 0011 0000 Полученная матрица соответствует системе хг+хг+хз =3, х2 =1, хз =1. Осуществляя обратный ход, находим хз = 1, хг = 1, хг = 1 4.5. Системы линейных однородных уравнений Пусть дана система линейных однородных уравнений амхх + ахгхг + ° -+ аг х„= О, амХХ + аггХ2 + + агиХи = О, ххд'+а гхг+ ° - +а,„„х„= О.

Очевидно, что однородная система всегда совмстгхна (г(А) = т( А ) ), она имгят нулевое (гаривиальиое) решение хг — — хг = . - ° = х„= О. При каких условиях однородная система имеет и ненулевые рошепня7 Д Необходимость. Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, г < и. Пусть г = и. Тогда один нз миноров размера и х и отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение: х, = — ~л = О, Ьз = О, Ь ф О. Значит, других, кроме тривиальных, репюний нет. Итак, если есть нетривиальное решение, тот <и.

,Постат очность. Пусть т < и. Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множесхво решений, х. е. имеет и ненулевые решения. Пусть дава однородная система и линейных уравнений с и неиз- аыхх + ахгхг + - .

+ ах„х„= О, а,ахх + а„гхг + .. -+ аиих„= О. 37 Глава 11. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ г.1 Если система имеет ненулевые решения, то Ь = О. Ибо при г1 ~ О система имеет только единственное, нулевое решение. Если же й = О, то ранг т основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е. г < и. И, значит, система имеет бесконечное множеспю (ненулевых) решений. Пример 4.6. Решить систему хг — 2хз+4хз = О, 2х~ — Зхз+5хз = О. 1„) Решение А= г г(А) =2 Ь= 3 — — 1фО, п=З. Так как г < и, то система.

имеют бесчисленное множество решений. Найдем их Положив хз = О, получаем одно частное решение: хг = О, хз = О, хз = О. Положив хз = 1, получаем второе частное решение: хг = 2, а'з = 3, хз = 1 и т.д. — 4хз — 2 — бхз — 3 — — з = — ~- = 2х, хз = х1 — 2хз = — 4хз, 2хг — Зхз = — 5хз. 1 — 4хз = 2хз, Ь~ — —,. — — Зхз. Стало быть, хг 2 — бхз Ь -~~ = Зхз — общее решение. ~ 5. ВЕКТОРЫ 5.1.

Основные понятия Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скаляряьсия. Примерами скалярных величин являются: площв,пь,,плина, объем, температура, работа, масса. Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением, Такие величины называют векторньситс Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора. Р Веятпор - — зго направлеяный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

Если А — начало вектора, а  — его конец, то вектор обозначасп:я символом АВ или а. Вектор ВА (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется прогпиеополозюмьсм вектору АВ. Вектор, противоположный вектору а, обозначается — а. Длияоб или модулам вектора АВ называе вся длина отрезка и обозначается ~АВ~. Вектор, длина которого равна нулю, называется нуле вььи векпюром и обозначается О. Нулевой вектор направления нс имеет. Вектор, длина которого равна единице, назьгвается единичным вектором и обозначается через е.

Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а, называется орпюзи вектора а и обозначается ае. '~~ Векторы а и Ь называются моллинеармыма', если они лежак на одной прямой или на параллельных прямых; записывают 6 3 Ь. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Г Два вектора а и Ь назывшотся равны ми (а = Ь), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Из определения равенства векторов следу- ~ т, что вектор можно переносить параллельно ~ амому себе, а начало вектора помешать в любую точку 0 пространства. На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник.

Справедливо равенство Ь = д, по а ф Рис. 1 ф с. Векторы а и с — противоположные, а = — с. Г с=а — Ь а Рис. 5 а+Ь а — Ь о Г Г Рис. 3 4. (Лс+Лг) а=Лс а+Лг.а, б Л-(а+ Ь) = Л.а+Л-Ь. 1. а+Ь= Ь+а, 2. (а+Ь)+с=а+(Ь+с), 3. Лс -(Лг а) = Лс . Лг ™ Рис. 4 40 Равные векторы называют также сеойодньсми. Три вектора в пространстве называются компланарньсмсх если они лежат в одной сслоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны. 5.2. Линейные операции над векторами ф Под линейными операциями над векторами пониммот операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число. Пусть а и Ь вЂ” два произвольных вектора.

Возьмем произвольссую точку Г2 и построим вектор ОА = а. От точки А отложим вектор АВ = Ь. Вектор ОВ, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммосс векторов а и Ь: ОВ = а+ Ь (см. рис. 2). Это правило сложения векторов называют правилом сареугольннка Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (см. рис.

3). На рисунке 4 показано сложение трех векторов а, Ь и с. Под равностью векторов а и Ь понимается вектор с = а — Ь такой, что Ь+с= а (см. рис. 5). Отметим, что в параллелограмме построенном на векторах а и Ь, одна направленная диагональ является суммой векторов а и Ь, а другая — разностью (см. рис. 6). Можно вычитать векторы по правилу: а — Ь = а+ ( — Ь), т. е.

вычитание векторов заменить сложением вектора а с вектором, противоположным вектору Ь. Д Произведением венгпора а иа сналяр (число) Л называется вектор Л - а (или а ° Л), который имеет длину (Л( ° )а), коллинеарен вектору а, имеет направление вектора а, есгпс Л > О и противоположное направление, если Л < О. Например, если дан вектор а, то векторы Н вЂ” ГР б~Д ° За — 2а Из определения произведения вектора на число следуют свойства зтого произведении: 1) скли Ь = Л а, то Ь 0 а. Наоборот, если Ь ~! а, (а ф О), то при некотором Л верно равенство Ь = Ла; 2) всегда а = ~а~ а, т. е.

каждый вектор равен произведению его модуля на орт. Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами: Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как зто делается в обычной алгебре: сла- Рис. 7 Рис. 9 Рнс. 11 О1 Рнс. 9 гаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так н векторные общие множители. 5.3.

Проекция вектора на ось Пусть в пространстве задана ось 1, т. е. направленная прямая. Проекцией точки М на ось 1 называется основание М1 перпендикуляра ММ1, опу1ценного из точки на ось. Точка М1 есть точка пересечения оси 1 с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7). Если точка М лежит на оси 1, то проекция точки М на ось совпадает с М. Пусть АВ -- произвольный вектор (АВ ф 0). Обозначим через А1 и Вг проекции на ось 1 сосгветственно начала А и конца В вектора АВ н рассмотрим вектор А1В1.

Проекцией вектора АВ на ось 1 называется положительное число ~А~ В1 ~, если вектор Аг В1 и ось 1 одинаково направлены и отрицательное число — ~А1 В1 ~, если вектор А1 В, и ось 1 противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки А, н В1 совпадакгг (А1В1 = О), то проекция вектора АВ равна О. Проекция вектора АВ на ось 1 обозначается так: яр~ АВ. Если АВ = 0 или АВ .Е 1, то пр1 АВ = О. Ував у мсз1сду вектором а и оськ> 1 (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке 9.

Очевидно, 0 < у < я. Рассмотрим некоторые основные свойства проекций. Свойство й Проекция вектора а на ось 1 равна произведению модуля вектора а на косинус угла у между вектором и осью, т. е. пр~ а = = (а) - сову. (1 Если у = (а,)) < 2, то пр,а = =+(а1) = )а) ° сову. Если у > я (у < я), то пр1а =. 2 = — )аг) = — )а) - соз(я — у) = (а) сову (см. рис. 10). Если у= 2, то пр,а=О=/а(сову.

О1 Рнс. 10 Следствие 5.2. Проекции равных векторов нз одну и ту же ось равны между собой. Свойство х. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось. Ц Пусть, например, г( = й+Ь+с. Имеем прг д = +)4 ( = +(аг)+(61 ( — )с1 ), т. е. пр,(а + Ь -~- с) = пр, а + пр1 Ь + пр, с (см. рис. 11). Свойсгиво Я.

При умножении вектора а на число Л его проекция на ось также умножается на зто число, т. е. пр,(Л ° а) = Л ° пр1а. („1 При Л > О имеем прг(Л-а) = )ЛО!.сову= (свойство 1) =- Л ° )а( - соз у = Л - прг а. При Л < 01 пр,(Л- а) = (Ла( соз(я — у) = = — Л (а( ° ( — сову) = Л. О-сову = Л -пр1а. Свойство справедливо, очевидно, н при Л = =- О. И Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов. Рис, 12 Но (5.3) 45 5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей.