Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 10

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравгтений: х = х(г), д = у(1), (10.1) 3 Кананекекскнна па снсшск нннккенке. Панн К клк 65 где т и у — координаты произвольной точки ЛХ(х; у), лежащей на данной линии, а 1 — переменная, называемая параметрам; параметр 1 определяет положение точки (х; у) на плоскости. Например, если х = 1+ 1, д = г', то значению параметра 1 = 2 соответствует на плоскости точка (3; 4), т. к.

х = 2+ 1 = 3, у = 2 = 4. Если параметр г изменяется, то точка па плоскости перемешается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется яарамешрическиме а уравнения (10.1) — теараметричвскими уравнениями линии Чтобы перейти от параметрических уравнений липни к уравнению вида К(х; д) = О, надо каким-либо способом из двух уравнений исклю- Ь=1, чить параметр й Например, от уравнений ' путем подстанов- у =г ки 1 = х во второе уравнение, легко получить уравнение д = х; или у — хт = О, т. е. вила г'(х; у) = О. Однако, заметим, такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен. Линию на плоскости можно задать векторным уравнетеивм г = г(г), где Ф вЂ” скалярный переменный параметр.

Каждому значению 1П соответствует определенный М вектор го = г(1П) плоскости. При изменении й параметра Ф конец вектора г = Г(Ф) опишет некоторую линию (см. рис. 31). х Векторному уравнению линии г = гЯ Рис. 31 в системе координат Оху соответствуют два скалярных уравнения (10.1), т. е.

уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения. Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движении, а линия птраектлгтривй точки, параметр 1 при этом есть время. Итак, всякой линии на плоскости соответствуег некоторое урввнение вида г (х; у) = О. т = 2Я ага Го Рис. 37. Астароида Уравнение в прямоугольных коордиа а и натах: хв+рв = ав; параметрические уравнения: Рис. 36. Полухубичесхаи нарабола уравнение кривой ут = хв нлн < х = а.

гоев Ь р = а ° йд с (х = Всовй хе+ рв = ят или (р = дюпг (л — хо)'+ (р — йо)' = Не Рнс. 32. Охрузгсиостаь радиуса В Рис. ЗЗ. Хардиоида Уравнение в полярных координатах имеет вид т = а(1 + сов го), где а > О. Кардиоила — частный случай улитки Паскаля (а = Ь), Рис. 30. Спираль А.рхчыиеда Уравнение кривой в полярных координатах т = аго, где а > Π— постоянггое. Рис. ЗЗ. Лелехисхаото Бернулли Уравнение в прямоуголыгых коорди: (хх + рв)в — ав(хт - р') = О, а > 0; в поляряых координатах: т = а чтсовйго.

Рис. 34. Трехлепестахооал роза В полярных координатах ее уравне- ние имеет вид т = а - сов Зи, где а > О. Всякому уравнению вида Е(т; у) = О соответствует, вообще говоря, некоторая .пиния„свойства которой определяются данным уравнением (вырахгение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения. Так, уравнению (т — 2)т + (у — 3)з = О соответствует не линия, а точка (2; 3); уравнению хз + уз + 5 = О на плоскости не соо гветствует никакой геометрический образ).

В аналитической геометригг на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; втораяг зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства. На рисунках 32 — 40 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения. Рис. Зот. Зглитиха Поохали Уравнение в полярных координигах имеет внл т = Ь + а сов Го. (10.3) т= и, р = йх+6, (102) 68 Рис. 40.

Цнилонда (к = а(с — Инс), Параметрические ураенення Ннкаоядм имеют ннд где а > О. Цн(у = а(1 — ооес), клонда — ото кривая, которую опнемяаес фиксированная точка окружности, катя- шаяся оее скольжения по неподвижной прямой. 10.2. Уравнения прямой на плоскости Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений. Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Ор. Ее полоисение вполне определяется ордицатой 6 точки зу(0; 6) пересечения с осью Ор и углом о между осью От и прямой (сас.

рис. 41). Под углом о (О ( а < я') наклона у прямой понимается наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечелил прямой и оси Ох против часовой стрелки ось Ох до ее совпадения с прлмой. Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) (см. рис. 41). Проведем Рис. 41 через точку ст' ось )т'х', параллельную оси Ох и одинаково с ней направленную.

Угол между осью Жх' и прямой равен о. В системе 1тх'у точка М имеет координаты т и у — Ь. Из определения таигенса угла следует равенство 18 се = —, т. е. у = Обо х+ Ь. Введем обозначение (до = Й, получаем уравнение которому удовлетворяют координаты любой точки М(т;у) прямой. Можно убедиться, что координаты любой точки Р(х; р), лежащей вне данной прлмой, уравнению (10.2) не удов.петворяют. Д Число Й = 18 о называется уюювьам иоэффицненпсо и прямой, а уравнение (1 0.2) — уравненмеле лрялссгй с углавылс иоэффнцнентвола Если прямая проходит через начало координат, то 6 =- 0 и, следовнгельно, уравнение этой прямой будет иметь вид у = йх. Если прямая параллепьгга оси Ох,, го о = О, следовательно, й = = аист = 0 и уравнение (10.2) примет вид р = Ь. Если прямая параллельна оси Оу, то а = 2, уравнение (10.2) терлет смысл, т.

к. для псе угловой коэффициент Й = йко = ок — пе существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид где и — абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (10.2) и (10.3) есть уравнения первой степени. Общее уравнение примой Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем виде (10.4) где А, В, С вЂ” произвольные числа, причем А и В це равны нулю одновременно. Покажем, что уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии. Возможны два случая. Если В = О, то уравнение (10.4) имеет вид Ах + С = О, причем А ф О, т. е. х = — —.

Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ор С А' и проходящей через точку ~ — А' ,0) . С. Если В ф О, го из уравнения (10.4) получаем р = — — х — —. Это А С' В В' есть уравнение прямой с угповым коэффициентом Й = Фк а = — —. А Итак, уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением п)зялсой. Некоторые частные случаи общего уравнения прямой: 1) если А = О, то уравнение приводится к виду р = — С.

Это есть В уравнение прямой, параллельной оси Ох; 2) схли В = О, то прямая параллельна оси Ор; 3) если С = О, то получаем Ах+Ву = О. Уравнению удовлетворяют координаты точки О(0; О), прлмая проходит через начало координат. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении Пусть прлмая проходит через точку М(хо, .ро) и ее направление характеризуется угловым ксхзффициентом Й.

Уравнение втой прлмой можно записать в вике р = Йх + 6, где 6 — пока неизвестная величина. Твх как прямая проходит через точку М(хо, ро), то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: ро — — Йхо + 6. Отсюда Ь = уо — Йхо. (10.5) д — ро = к(х хо). (1 0.8) (10.6) д — р1 — — Ь(х — х1), Ах+ Вд+С= О, (10.9) д Р1 д2 д1 т2 21 (10.7) О Уравнение прямой в отрезках Рис. 43 Рис. 44 Полярное уравнение прямой д — 0 х — а х д т.е.

— + — =1. Ь вЂ” 0 0 — а а Ь пр1 О М = р. Рис. 42 70 71 Подставляя значение Ь в уравнение д = Ьх + Ь, получим искомое урав- иеиие прямой р = Ьх + до — Ьхо, т. е. Уравнение (10.5) с различиьгми значениями Ь называют также ррааненилмп пучка прямых с центром в точке М(хе., рэ). Из этого пучка иельзя определить лишь прямую, параллельную оси Од. Уравнение прямой, проходящей через две точки Пусть прямая проходит через точки М1(х1, д1) и М2(х2, р2). Уравнение прямой, проходящей через точку М1, имеет вцц где й — пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку М2(х2., р2), то координаты этой точки должны удовлетворять уравпев ию (10 6): д2 — д1 — — Й(х2 — хт) . Отсюда находим к = Š— -Ру-, Подставляя иайдетпюе значение й в уранТ2 Х1 иевие (10.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки М1 и М2; Предполагается, что в этом уравнении х1 ф х2, р1 ф р2. если хз = х1, то прямая, проходящая через точки м1(х1, р1) и М2(х2; д2), параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = х1. Если р2 = р1, то уравнение прямой может быть записано в виде р = д1, прямая М1 М2 параллельна оси абсцисс. Пусть прямэл пересекает ось О:г в точке М1(а; О), а ось Од — в точке М2(0; Ь) (см.

рис. 42). В этом случае уравнение (10.7) примет виц Это уравнение называется рравненпем прямой в отареэках, так как числа а и Ь указывают, какие отрезки отсекает пря- мая иа о<ях координат. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Найдем уравнение прямой, проходящей через задапвую точку Мр(хо, до) перпеидикулярпо данному ненулевому вектору н = (А; В). Возьмем иа прямой произвольиую точку. М(х;р) и рассмотрим вектор МоМ = (х — тэ,р — ро) (сы.

рис. 43). Поскольку векторы и и МэМ перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: й - МеМ = О, то есть Уравнение (10.8) называется драанением пряной, проходтцей "1ереэ эаданндю пи1чкр первендиярлэрно заданному нектару. Вектор п = (А;В), перпендикулярный прямой, называется нормальны и вектором этой прямой. Уравнение (10.8) можно переписать в виде где А и  — координаты нормального вектора, С = — Ахо — Вдо — сво- бодный член. Уравиеиие (10.9) есть общее уравиеиие прямой (см. (10.4)). Найдем уравиепие прямой в полярных координатах.

Ее положеиие можпо определить, указав расстояние р от полюса О до данной прямой и угол а между полярной осью ОР и осью 1, проходящей через полюс О перпепдикулярио данной прямой (см. рис. 44). Для любой точки М(г; 1э) па данной прямой имеем: С другой стороны, пр2ОМ = )!ОМ~ соз(о — ()2) = г сг)в(т) — о).. Следователыю, г сов((в — о) = р. (10.10) Полученное уравнение (10.10 и есть уравнение прямой в полярных ко- ординатах.