Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 11

Нормальное уравнение прямой Пусть прямая определяется заданием р и о (см. рис. 45). Рассмотрим прямоугаяьную систему координат Охр. Введем полярную систему, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в ниде г - соз()А) — о) — р = О, т. е. г ° соз (в соз о + г яп )д з(п о — р = О. Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем: г сов))2 = х, геша = р. Следовательно, уравнение (10.10) прямой в прямоугольной системе координат примет вид А ) ! Пример 10.х. Привести уравнение — Зт+4у+ 15 = О к нормальному виду.

( 1 Решение: Находим нормирующий множитель Л = — ( — 3)2+42 1 = — —. Умножая данное уравнение на Л, получим искомое нормальное уравнение прямой: -т — — у — 3 = О. .3 4 '5' 5 (10.11) Уравнение (10.11) называется нормальным рравненивм прямой. Покажем, как привести уравнение (10.4) прямой к вану (10.11). Умпожим все члены уравнения (10.4) на некоторый множитель Л ~ О. Получим ЛАх + ЛВр+ ЛС = О. Это уравнение должно обратиться в уравнение (10.11). Следовательно, должны выполняться равенства: ЛА = сов о, Рис. 45 ЛЛ = зшо, ЛС = — р. Из первых двух равенств находим ) А А)гВ = ААгг )А А Ии, ),., ~~)..

%С тьему равенству ЛС = — р знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена С' общего уравнения прямой. 10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Пусть. прямые Т | и 1,2 заданы уравнениями с угловыми козффипиентами р = йгх+ Ьг и р = йзх + Ь2 (см. рис.

46). Требуетса найти угол ),2, на который надо повернуть в положительном направлении прямую Тч вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой Т 2. 5) (,Л Решение- Имеем о2 = ()) + о, (теорема о внешнем угле треугольника) или ))2 = о2 — ог. Если у) ф а то 2' 15),в = 15(оз — ог) = 1+ 23ог . (йп2 Но (хо2 — — йы (коз = Йа, позтому Рис. 4б 15()) =, (10.12) 2 +Й2' 2 откуда легко получим величину искомого угла.

Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая - — второй, то правая часть форму.пы (103 2) берется по модулю, т. е. 15)р = ~ — 'а — ~ Л вЂ” ~. 1+Й1 Й2 Щ Если прямые Аг и ья параллельны, то ()2 = 0 и 15()2 = О. Из форму- лы (10.12) следует Й2 — й> —— О, т. е. Й2 = йн И обратно, если прямые А2 и 12 таковы, что Й2 — — й2, то (б~р = О, т. е. прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых явллетсл равенство их угловых козу)р)ициентвв) Й2 = Й2. Если прямьге Тч и Т 2 перпендикулярны, то у) = й.

Следовательно 2' ) с(5))2 = — — — (Й вЂ” 2 = О. Отсюда 1+ Й1 Й2 = О, т. е. Йг Й2 = — 1 1+й й (или йз = — — ). Справедливо и обратное утверхгдеоие. Таким образом, 1 й, ' условием перпендикулярности прямых лвллетсл равенство Й2 Й2 = — 1. Расстояние от точки до прямой Пусть заданы прямая Т уравнением Ат + Ву + С = 0 и точка Мо(ха, ув) (см. рис. 47). Требуется найти расстояние от гочки Ма до прямой Т,. 11.2.

Окружность ~М1Мо. б а' = ! прк М1 Мо ~ = ~ ~(хо — т1)А+ (уо — уг Щ ьЯ'+ В' ~Ато + Вуо — Ах~ — Ву1! ,Яг'+ Вг Ряс. 47 то есть С = — Ах| — Вуь Поэтому (11.2) (10.13) Ряс. 48 что и требовалось по.лучить. а= ~3 2+4 ° ( — 1) — 22) 20 = — — 4. ъ/9+ 16 5 Ат + Ад + 2Вх+ 2Еу+ Е = О. (11.3) т. е. 74 О Решение: Расстояние 4 от точки Мо до прямой В равно модулю проекции вектора М Мо, где М1(х1',у1) — — произвольная точка прямой Ь, на направление нормальною вектора и = (А; В). Следовательно, Так как точка Мг(хг, у1) принадлежит прямой Ь, то Ат, + Вуг + С = О, т е. Прилгер 10.3. Найти расстояние от точки Мо(2; — 1) до прямой Зх+ 4д — 22 = О.

О Решение: По формуле (10.13) получаем 311. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ 11.1. Основные понятия Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат Ахг + 2Вху + Сдг + 2Вх + 2Еу + Е = О. (11.1) Коэффициенты урвннения — — действительные числа, но по крайней мг ре одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются лиииами ~кривььип) ешороео порядка.

Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых. Д Простейшей кривой второго порядка является окружност . Н „ мним, что акрдшсмасгпью радиуса Й с пентром в точке Мо называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию МоМ = л. Пусть точка Мо в прямоугольной системе координат Оху имеет координаты то, уо, а М(т;у) — произвольная точка окружности (см. рис.

48). Тогда из условия МоМ =- В по- М(х; д) лучаем уравнение Уравнению (11. 2) удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности. Уравнение (11.2) называется каконическп.и дравненпеи окрдлсносощ. В чапгпости, полагая хо = 0 и уо = О, получим уравнение окружности с центром в начале координат хг + уг = Вг. Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет внд хг + уг — 2тох — 2уод+ хго+ дг1 — ггг = О. При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия: 1) коэффициенты при х и у равны между собой; 2) отсутствует член, содержащий произведение ху текущих координат.

Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значения В = 0 и А = С ~ О, получим Преобразуем это уравнение: г г х +у +2 — х+2 — д+ — =0 А А А 2Ю ~В Е Ег Е Вг Ег х +у + — х+ — +уг+2 — у+ — + — — — — — =0 Аг А Аг А Аг Аг т. е. г В г Ег Вг с *+ — + у+ — = —, + —, — — (114) Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при усло- ВИИ вЂ” т + — г- — — > О. ЕЕ ЦЕ11ГР НаХОДмтСЯ В ТОЧКЕ ОД 11 — — 1, — А'г1, а А А~ А радиус Ег Вг В= — + — —— Аг Аг А' Если же — + — т — — — — О, то уравнение (11.3) имепг вид А А~ (,+ )+(у+ — ) Ему удовлетворяют координаты единственной точки Од ( — — 1., — — ) .

В П Я~ этом случае говорят: «окружносгь выродилась в точку» (имеет нулевой радиус). Если -'-~ + — г- — — с О, то уравнение (11.4), а следовательно„ к в к Аг Аг А и равносильное уравнение (11.3), не определяет никакой липин, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая часть --. не отрицательна (говорят: «окружность мнимая»). 11.3. Эллипс Каноническое уравнение эллипса Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма Я расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых угокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через Ед и Кг, у) расстояние между ними через 2с, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов -- через 2а (см. рис. 49). По определению 2а > 2с, 1( с~О) г( ) "г.е. а>с. Рве. 49 Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оту дэк, чтобы фокусы гд н Ег лежали на оси Ох, а и;чало координат совпадало с серединой отрезка где~. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: Ед( — с; 0) и 5г(с; О). Это по сути и есть уравнение эллипса Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим образом: Лг+Й' гР = д — /Й:дгте <.2 Г+У=4 — 4 Л вЂ” 1 ~ес~~д — 2 "~ -~р, агтг — 2а сх + а с + агуг = а — 2агст+ сгт~, (аг — сг)тг + агуг = аг(аг — сг).

Так как а > с, то аг — сг > О. Положим а' — с' = Ь', Тогда последнее уравнение примет вид Ьгтг + агуз = агьг нли (П.б) хг уг — + — = 1. аг Ьг (11.7) Можно доказать, что уравнение (11.7) равносильно исходному Д уравнению. Оно называется каноническим уравнением элЭллипс — кривая второго порядка. Исслопование формы эллипса по его уравнению Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением. 1. Уравнение (11.7) содержит т и у только в четных степенях, поэтому если точка (х; у) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (х; — у), ( — т; у), ( — х; — у).