Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 13

64 Рис. 63 у = — 2рх хг = 2ру Рвс. 62 (у — Уо)г = — 2р(х хо) (у Уо)з = 2р(х — хо) (х — хо)г = -2р(у — уо) (х — хо)г = 2р(у — уо) Рвс. 65 (11.14) Ахг+ Сух +20х+ 2ЕУ+ Е = О, 87 Уравнения у — — 2рх, х — 2щ, х — — 2ру (р > О) также опреде- ,2 г ляют параболы, они изображены на рисунке 62. Нетрудно показать, что график квздратного трехчлена у = Ахг + В + х+С, где А ф О, В и С любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.

11.6. Общее уравнение линий второго порядка Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии. параллельными координатным осям Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке Ог(хо- ) оси си г(хо; уо), имметрии которого параллельны координатным осям От, и Оу и полуоси соответственно равны а и Ь. Поместим в центре эллипса 01 начало новой системы координат Огх'у', оси которой Огх' и 01У' параллельны соответствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними направленны (см. рис. 63).

В этой системе каор,пинат уравнение эллипса имеет вид р,г — + — = 1. У о2 Ьг Так как х' = х— как х' = х — хо, у' = х — уо (формулы параллельного переноса, см. с. 62), то в старой системе координат уравнение эллипса запишется в виде (х — хо) (У вЂ” Уа) г + Ь Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром в точке Ог(хо, .уо) и полуосями а и Ь (см. рис. 64): (х — хо) (у — уо) аг Ьг И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 65, имеют соответствующие уравнения.

Уравнение А г" +Суз+20х+2ЯУ+Г= О Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности (х — хо) + (у — уо) =- В~ после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести иовгое обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью едвного урашюния вида где коэффициенты А и С не ровны нулю одновременно. Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет сщну из кривых (окружносгть эллипс, гипербола, парабола) второ~о порядка? Ответ дает следующая теорема. Теорема 11.2. Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А = С), либо эллипс (при А - С > 0), либо гиперболу (при А С < 0), либо параболу (при А С = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) — в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы — в пару пересекающихся прямых, для параболы — в пару параллельных прямых.

При,мер 11.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением 4хв + 5уз + 20х — 30у + 10 = О. (,) Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс (А.С = 4 5 > > 0). Действительно, проделаем следующие щхюбрвзования: 4(хз + бх + — ) + 5(уз — бу + 9) — 25 — 45 + 10 = О, 5 5т в ( 21 (У вЂ” 3) х+ -) + 5(у — 3)в = 60, + = 1 2) 15 12 4( Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в 01 ( — —. 3~ и 5. 2 полуосями и.

= Я5 и Ь = ъ~Г2. Э Пример 11.х. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением хз + 10х — 2у + 11 = О. хх+ 10х+25 — 2у+11 — 25 = О, (х + 5)в = 2у + 14, (х + 5)з = 2(у + 7) . Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке Ог( — 5; — 7) и р = 1.

Пример 11.3 Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением 4хз — уз+ 8х — 8у — 12 = 0 (А С = — 4 (О). (,) Решение: Прссбразуем уравнение: 4(хк + 2х + 1) — (ух + 8у + 16) — 4 + 16 — 12 = О, 4(х+ 1)в — (у+ 4) = О, (2(х+ 1) + (у + 4)) (2(х + 1) — (у + 4)) = О, (2х + у + 6) (2х — у — 2) = О. О Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Дей- ствителыю, Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые 2х + у + 6 = 0 и 2х — у — 2 = О. Общее уравнение второго порядка Рассмотрим теперь сбщее уравнение второй степени с двумя неизАх + 2Вху + Су + 2Вх + 2Ку + Р = О. (11Л 5) Оно отличается от уравнения (11.14) наличяем члена с произведением координат (В ф 0). Можно, путем поворота координатных осей на угол и, преобразовать зто уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал.

Используя формулы поворота осей (с. 63) х=х'сова — у з1па, у=х вша+у сова, / / выразим старые координаты через новые: А(х' соз гг — у' зш а) ~ + 2В(х' соз а — у' з1г1 а) (х' зш а + у' соз а)+ + С(х'вг1а+у'сова) + 2В(х'сова — у'яп1а)+ + 2.Е(х'вша+ у'сова) + Р = О. Выберем угол а так, чтобы коэффициент при х' - у' обратился в нуль, т. е.

чтобы выполнялось равенство — 2Асовазша+ 2В(сгвв а — йп а) + 2Сапасова = О, т. е. (11Л 6) (С А)ып2а+2Всоь2а О, 2Всов2а = (А — С)зш2а. т. е. Отсюда 2В 182а = А — С (11.17) Таким образом, при повороте осей на угол а, удовлетворяющий условию (11.17), уравнение (11.15) сводится к уравнению (11.14).

Вывод: общее уравнение второго порядка (11.15) опреде. иет на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следук~щие кривыш окружность„эллипс, гиперболу, параболу. Замечание: Если А = С, то уравнение (11.17) и ряет смысл. В этом случае сов 2а = 0 (см. (И.16)), тогда 2а = 90, т. е. а = 45'. Итак, при А = С систему координат следует повернуть на 45'. Глава 1Ч. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 212. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 12.1.

Основные понятия Поверхность и ее уравнение Д Поверхность в пространстве, ках правило, можно рассматривать как геомегричоское место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса В с центром в точке О2 есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки 01 на расстоянии В. Прямоугольная система к(юрдинат Охуя в пространстве поз2юляет установить взаимно однозначное соотвептвие между точками пространства и тройками чисел х, у и я -- их координатами. Свойство, общее всем ~очкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности. Д Уравнением данной иове1хсности в прямоугольной системе координат Охуя называется такое уравнение Е(х„у, я) = О с тремя переменяыми х, у и я, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Переменные х, у и я в уравнении поверхности называются пяенущими координатами точек поверхности. Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка Мг(хп уп 21 ) на данной поверхности, достаточно подставить координаты точки Мг в уравнение поверхности вместо переменных: если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на поверхности„если не удовлетворяют — не лежит. уравнение сферы Найдем уравнение сферы радиуса гг с центром в точке О 2 (хо, 'уо, яо).

Согласно определению сферы расстояние любой ее гочки М(х; у; я) от центра 02(хо., уо', яо) равно радиусу 11, т. е. О2М = гг. Но 02 М = (01М(, 2де О~ М = (х — хо, у — уо, я — яо). Следовательно, (т — хо)' + (У вЂ” Уо)2 + (я — яо)2 = д Нто и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек„не лежащих на данной сфере. Если центр сферы О| совпадает с нвчалом координат, то уравнение сферы принимает видя. +у +я = Й . 2 2 2 2 Если же дано уравнение вида Е(х; у; я) = О, то оно, вообще говоря, определяет в прострвнсгве некоторую поверхность. Выражение «вообгце говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение г'(х; у; я) = О может определять не поверхностгь а точку, ливию или вовсе не определять никакой геометрический образ.

Говорят, «поверхность вырождается». Так, уравнению 2хя + уя + яя + 1 = 0 не удовлетворяют никакие дойствительные значения х, у, я. Уравнению 0 х +у +я = 0 удовле- 2 2 2 творяют ли~пь координаты точек, лежащих на оси Ох (из у.равнения следует: у = О, я = О, а х — любое число). Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вьпекает постановка двух основных задач: 1. Дана поверхность как ггюметрическое место точек.

Найти уравнение этой гюверхности. 2. Дано уравнение Е(х; у; я) = О. Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением. Уравнения линии в пространстве Линии> в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 66) или как геометрическое место точек, общих двум поверхностям. Если Ег(х; у; я) = 0 и Е2(х; у; я) = 0 — уравнения двух поверхностей, определяющих .пинию Г., то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными: Ет(х;у;я) = О, гя(х;у;я) = О. (12.1) Уравнения системы (12.1) называются уравнениями линии в Д 1У=О, иространствв. 11апример, есть уравнения оси Ох. '(2=0 Линию в пространстне можно рассматривать как траекторию движения точки (см. рис.

67). В этом случае ее задают векпгопнььи уравнением (12.2) г = г(г) Рис. 66 Рис. 67 х = х(т), у = у(1)~ х = в(т) Рис. 69 Ркс. 66 (12.3) Общее уравнение плоскости или параметрическими уравнениями проекций вектора (12.2) на оси коордиггат. Например, параметрические уравнения винтаовоа линии имеют вид х = ВсозХ, у = Внп1, )г 1 2к ' Если точка М равномерно движется по образующей кругового цилиндра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг оси, то точка М описывает винтовую линию (см. рис. 68).

12.2. Уравнения плоскости в пространстве Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве Охуз можно задать разными способами. Каждому из них соответствует оггределенный вид ее уравнения. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве Охуз плоскость гг задана точкой Мо(хо уо,зо) и вектором и = (А;В; С),перпендикулярным втой плоскости (см.

рнс. 69). Выведем уравнение плоскости ф. Возьмем на ней произвольную кочку ЛХ(х; у; х) и составим вектор МоЛХ = (х хогу Уо' з зо) При любом расположении точки ЛХ на плоскости г„г векторы й и ЛХоМ взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: В. ЛХоМ = О, т. е. Координаты любой точки плоскости Д удовлетворяют уравнению (12.3), координаты точек, не лежыцих на плоскости г,г, этому уравнению не удовлетворягот (для них и МоМ ф О). Я Уравнение (12.3) называется уравнением плоскоспги, протодащей через данную питчиу Мо(хо, 1го, зо) перпендикулярно веипгору в = (А;В;С).