Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 17

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некопкормв простейшие логические символы: о ==~ д — -означает«изпредложенина следует предложение д»; ск <==» д — «предложения а и д равносильны», т. е. из а следует д и из 11 следует ск; Ч вЂ” означает «для любого», «для всякого»; Э вЂ” «существует», «найцется»; : — «имеет мсссто», «такое кто» ь+ — — «соответствие».

Например: 1) запись гх б А: ск означает: «для всякого элемента х е А имеет место предложение ск»; 2) (х Е АОВ) «=» (х Е А или х Е В); эта запись определяет объединение множеств А и В. 13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел Множества, элементами которых являются числа, называются чкссловыми, Примерами числовых множеств являются: И = (1; 2; 3;...; и; ... ) — множество натуральных чисел; Ул — — (О; 1; 2; ...; и; ... ) -- множество целых неотрицательных чисел; к = (О; х1; х2; ...; хи; ... ) — множество целых чисел; Я = ( ™и: ги е к', и е И( — множество рациональных чисел. Й вЂ” множество действительных чисел.

Межцу этими множествами существует соотношение Исйлст сЯсИ. Множество Й содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, — = 0,5 (= 0,500...), 1 — = 0,333... -- рациональные числа. 1 Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются ирраксиональньсми. 116 117 -1. 1"е существует Рационального числа, квадрат кото„о равен числу 2. [ 2 Допустим, что существует рациональное число, представленное не- сократимой дробью т, квадрат кото1юго равен 2. Тогда имеем: < — =2, т.е.т2=2п2. п г Отсюда следует, что тх (а значит, и т) — четное число, т.

е. т = 2й. Подставив т = 26 в равенство газ = 2п2, получим 462 = 2и2, т. е. 2 2 26 = и . Отсюда следует, что число и — четное, т. е. п = 21. Но тоги 26 гда дробь — = — „, сокрагима. Это противоречит допущению что "и п 21 п дробь несократима. Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2. Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью.

Так, ~/2 = 1,4142356..., я = 3,1415926... — иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей. И записать (х . х — а о2азаз ° ), где а Е К, оя Е (О, 1,...,9). Множество К действительных чисел обладает следующими свойствами. 1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел а и Ь имеет место одно из двух соотношений а < Ь либо Ь с а. 2. Множество К плотное: между любыми двумя различными числами и и Ь содержится бесконечное множество действительных чисел х, т.

е. чисел, удовлетворяющих неравенству а < х с Ь. Так, если а с Ь, то одним из них является число аф-' а < Ь =» 2а < а+ Ь и а+ Ь < 26 =~ 2а с а+ Ь < 26 =~ а < — < 6) . ( а+6 2 3. Множество К непрерывное. Пусть множество К разбито на два непустых класса А и В таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел а б А и Ь е В выполнено неравенство а < Ь. Тогда (свойство непрерывности) сущесгвуст единственное число с, удовлетворяющее неравенству а < с < Ь (оа е А, ЧЬ е В).

Оно отделяет числа класса А от чисел класса В. Число с является либо наиболыпим числом в классе А (тогда в классе В нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогда в классе А нет наибольшего). Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу х е К соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и„наоборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное) действительное число.

Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка». 13.3. Числовые промежутки. Окрестность точки Пусть а и Ь - — действительные числа, причем а < Ь. Числовыми иромезхуглкамп (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид: [а 6) = (х: а < х.

с Ь) — отрезок (сегмент, замкнутый промежу- Ф ток); (а; 6) =- (х: а < х, < 6) — — интервал (открытый промежуток); [а; Ь) = (х: а < х < Ь); (а-6) = (х: а < х < 6) — полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки); ( — со; 6) = (х: х < 6); [и, +со) = (х: х 3 а); ( — оо; 6) = (х: х < 6); (а,+ )=(: >а); ( — сс оо) = 1х: — оо < х < +ос) = К вЂ” - бесконечные интервалы Р (промежутки) .

Числа а и Ь называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы — оо и +со не числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала О влево н вправо. Ц П сть х — любое действительное число (точка на числовой прямой). Омуестносгиью точки хо называется любой интервал (а; Ь), содержащий точку хо. В частности, интервал (хо — е, хо + е), где е > О, называется е-омуесгииосгиью точки хо. Число хо называется центуолг„а число е — - радиусом. хо х хо+« Рнс. 97 Если х Е (хо — щхо + е), то выполняется неравенство хо — е < х < < хо+с, или, что то же, [х — хо[ < е. Выполнение последнего неравенства означает попаданио точки х в е-окрестность точки хо (см.

рис. 97). 118 314. ФУНКЦИЯ 14.1. Понятие функции Одним из основных математических понятий является понятие фувкпии. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств. Д Пусть даны два непустых множества Х и И. Соответствие Г, ко- торое каждому элементу х е Х сопоставляет один и только один элемент у Е 1, называется фуннцией и записывается у = 1(х), т Е Х или Г": Х вЂ” > Е. Говорят еще, что функция 1 отпобраггсаегп множество Х на множество 1'.

Рис. 98 Например, соотвегствия 1 и у, изображенные на, рисунке 98 а и б, явля|отея функциями, а на рисунке 98 в и г — нег. В случае в — не каждому элементу х Е Х соответствует элемент у Е 1'. В случае г ве соблюдается условие одиозна шости. Множество Х называется областью определения функции 1 и обозначается Р(1). Множество всех у е У называется мнвхсвством значений функции у и обозначегся Ь'(Д). 14.2. Числовые функции.

График функции. Способы задания функций Пус"гь задана функция )': Х -+ Е, ф Если элементамн множеств Х и 1 являются действительные числа (т. е. Х С В и 1 С Б'.), то функцию 1 называют чис,вовой функцией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать У = 1(х). Переменная х называется при этом аргуменпиьн или независимой переменной, а у --- функг1ивй нли зависимой переменной (от х). От- 120 посительпо самих величин х и у говорят, что опи находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную заиисимосгь у от :г пишут в виде у = у(х), не ввоця новой буквы (у) для обозначения зависимости. Частное значение функции 1(х) при х = а записывают так: 1 (а). Например, если 1'(х) = 2хг — 3, то ДО) = — 3, 1"(2) = 5.

Графиком функции у = Дх) на- зывавтся множество всех точек плоскости Ог11, для каждой из которых х является значением аргумента, а у — соответствующим значением функции. Например, графиком функции у = ~/à — хг является верхняя волуокружвость радиуса Н = 1 с центром Рис. 99 и 0(0; О) (см. рис.

99). Чтобы задать функцию у = Дх), необходимо указать правило, позволяюп1ее, зная х, находить соответствук>щее значение у. Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, грэ4 ический. Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений. Например: ~х — 4 при х>2; Если область определения функции у = Дх) не указана, то предполагается, что ова совпадавг с множеством всех значений аргумента, при которых соответству|ощая формула имеет смысл. 'Гак, областью определения функции у = ~/1 — хг является отрпюк [ — 1; 11.

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, гак как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функции> у = 1(х). Графический способ: задается график функции. Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у, соответствуюп1ие тем или иным значениям аргуменга х, непосредственно находятся из этого графика. Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком — - его неточность. 2'абличнмй способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции.