Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 16

(12.29) 108 Пусть направлякнцвя Ь задана уравнениями а гочка Р(ко', Ро, зв) — вершина конуса. Найдем уравнение конуса. Возьмем на поверхности конуса произвольную точку М(к; Р; в) (см. рис. 90). Образующая, проходящая через точки Р и М, пересечет направляющую Т в некоторой точке 1т'(кд, .Рп в~). Координаты точки Ю удовлетворяют уравнениям (12.24) направляющей: Канонические уравнения образующих, проходящих через точки Р и Ф, имеют вид Я вЂ  Р— Ро в † (12.26) во Р~ Ро вг го Исключав ты Рг и вг из УРавнений (12.25) и (12.26), полУчим УРавнение конической поверхности, связывающее текущие координаты т, Р и г. Пргьмер 12.8. Составигь уравнение конуса с вершиной в точке О(0; 0; 0), если направляющей служит эллипс — т + = 1, лежащий в .

з ви а плоскости в = с. О Решение: Пусть М(я; Р; в) — любая точка конуса. Канонические уравнения образующих, проходшцих через точки (О;0;0) и точку (кг, Рг, .зг) пересечения образующей ОМ с эллипсом будут ~ = ~ . Исключим яы Р~ и г~ из этих уравнений и уравнения зг (точка (кПРН вг) люкит на эллипсе), вг = с. Имеем: — * в й 'кг с'Рг с Отсюда яг = с — "' и Рг = с- ~. Подставляя значения тг и Рг в уравнение г в' эллипса (12.27), получим сз-тв з 2 з 2 2 2 52 + — '=1 или — + — = —.

аз 1з сз Это и есть искомое уравнение конуса. 12.9. Канонические уравнения поверхностей второго порядка 1 По задашюму уравнению поверхности второго порядка (т. е. поверхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат явлнется алгебраическим уравнением второй степени) будем определять ее геометрический вид.

Для этою применим так называемый мепюд сечений: исследование вида поверхности будем производить при помощи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями, им параллельными. Исследуем поверхность задаыную уравнением Рассмотрим сечения поверхности (12.28) с плоскостями, параллельными плоскости вОР.

Уравнения таких плоскостей: в = Ь, где Ь - лкбое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя уравнениями Исследуем уравнения (12.29): вз а) Если )Ц > с, с > О, то -т + < О. Точек пересечения поверхности (12.28) с плоскостями в = Ь не существует. 2 2 (аф — -,г) (Ьф — Ьг) Как видно, линия пересечения есть эллипс с полуосями (см. рис. 91) Г Ьт Ьт а1=а 1 — — и Ь1 =Ь 1 — —. с с Рис.

91 При этом чем меньше ~ Ц, тем больше полуоси аг и Ьн При Ь = 0 они достигают своих наиболыпих значений: аг = а, Ь1 = Ь. Уравнения (12.29) примут вид -*.'+ У,' = 1, а Ь 1г = О. Аналогичные рюультаты получим, если рассмотрим сечения поверхности (12.28) плоскостями х = Ь н у = Ь. Я~ Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность (12.28) как замкнутую овальную поверхность. Поверхность (12.28) называется эл.випсоидом. Величины а, Ь и с называются полуосями эллипсоида. Если все опи различны, то эллипсоид называехгя гнрещосным; если какие-либо две полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид враигемия; если а = Ь = с, то — в с4еру х2+ 92 + 22 = аз, Однополостный гиперболоид Исследуем поверхность, за лщпгую уравнением 2 2 2 — + — — — = 1.

аз Ь2 с2 (12.30) Пересекая поверхность (12.30) плоскостью 2 = 6, получим линию пе- ресечения, уравнения которой имеют вид к2 у ( ф+ "')' (Ьф+ ь')' 2 2 Ьз Рч+~=1+р, 2=Ц 2 2 б) Если ~Ц = с, т. е. Ь = хс, то ат + Ут = О. Линия пересечеа Ь ния (12.29) вырождаегся в две точки (О; 0; с) и (О; 0; — с), Плоскости 2 = с и 2 = — с касаются данной поверхности. в) Если Щ < с, то уравнения (12.29) можно переписать в виде: Двухполостный гиперболоид Пусть поверхность задана уравнением (12.31) Если поверхность (12.31) пересечь плоскостями 2 = Ь, то линия пере- сечения определяется уравнениями Е г 2 Ьт г'В=~-' 2=К (12.32) Отсюда следует, что: а) если ~Ц < с, то плоскости 2 = Ь не пересекают поверхности; б) если ~Ц = с, то плоскости 2 = хс касаются данной поверхности соответственно в точках (О; 0; с) и (О; 0; — с).

в) если ~Ц > с, то уравнения (12.32) могут быть переписаны так Как видно, этой линией является эллипс с полуосями аг = а~1+ — 2- и Ь1 = Ь 1+ — ~.-. 1!олуоси аг и Ьг достигают своего наименьшего значения при Ь = О: аг — — а, Ьг = Ь. При возрастании )Ц полуоси эллипса будут увелилизаться. '»Ьтя Ь1 Если пересекать поверхность (12.30) плоскостями т = Ь нли у = Ц то в сечении полу- а чим гиперболы. Найдем, например, ливию пересечения поверхности (12.30) с плоскостью Оуз, уравнение которой т = О. Эта .линия пересечения описывается уравнениями Рис. 92 Р 2 2 2 У 2', т = О. Как видно, эта линия есть гипербола (см.

рис. 92). Й Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением (12.30), имеет форму бесконечной расширяющейся трубки. Поверхность (12.30) называется однополосганым еиперболоидо,м. Замечание: можно доказать, что через любую точку гиперболоида (12.30) проходят две прямые, лежащие на нем. 110 Гиперболический параболоид (!2.34) Рве, 93 Рис. 94 113 Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ростом )Ь!. Пересекая поверхность (12.31) координатными плоскостями Оуг (я = 0) и Огг (у = 0), получим в сечении гиперболы, у.равнения которых соответственно имеют вид 6- =- г г 2 2 — -~- — — — 1 и — ~ — -~- — — — 1. а с У обеих гипербол действительной осью является ось Ою Метод се- Я чения позволяет изобразить поверхность (см. рис. 93), определяемую уравнением (12.31), квк поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш.

Поверхность (12.31) называется двухполостппым гиперболоидом. Эллиптический параболоид Исследуем поверхность, заданную уравнением кг г — + "— = 2г, (12.33) Р Ч где р > О, д > О. Рассечем поверхность (12,33) плоскостями г = Ь. В сечении получим линию, уравнения которой есть ч 3 з — + и — =2Ьч Р Ч г = Ь. Если Ь < О, то плоскости г = Ь поверхности не пересекают; если Ь = О, то плоскость г = 0 касается поверхности в точке (О; 0; О); если Ь > О, то в сечении имеем эллипс, уравнение которого имеет внд (~ з.* —, Его полуоси возрастшот с ростом Ь.

При пересечении поверхности (12.33) координатными плоскостями О - и 092 полу ат твенно пар б лы ° = 2 в г = 2 . 2Р ц' Таким образом, поверхность, определяемая уравнением (12.33), имеет вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши (см. рис. 94). Поверхность (12.33) называется эллиптптзчесним парабо.аоидом. Исследуем поверхность, определяемую уравнением Г-'= ~ где Р > О, 9 > О. Рассечем поверхность (12.34) плоскостями г = Ь, Получим кривую т, Ц 2РЬ 29Ь г=Ь, которая при всех значениях Ь ф 0 является гиперболой. Прн Ь > 0 ее действительные оси параллельны осв Ог; прн Ь з.

0 —.— параллельны 2 2 оси Оу- при Ь = 0 линия пересечения ~ — = О распадается на Р Я пару пересекающихся прямых — ' — = 0 и + = О. Прн т у ж ц Л Л Р 9 пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости Огв (у = Ь), будут получаться параболы ( Ьт) у=Ь, ветви которых направлены вверх. При у = 0 в сечении получается парабола 2Рг1 у=О с верппшой в начале координат и осью симметрии Ог. Пересекая поверхность (12.34) плоскостямн я = Ь, получим пара- 123 болы дз = — 29 г — — ~ ветви которых направлены вниз.

2!' Р~ Д Анализ линии пересечения позволяет определить вид поверхности: она имеет вид седла (см. рис. 95). Поверхность (12.34) называется гиперболическим пауаболоидом. также распадающуюся на две пересекахициеся прямые х г к з — — — =О и — + — =О. и с а с Поверхность, определяемая уравнением (12.35), называется монрсом вгнороео порядка, имеет вид, изображенный на рисунке 06. Ц Поверхности, составленные из прямых линий, называются лине В- чагпььми.

Такими поверхностями являются цилиндрические, конические поверхнсхти, а также однополостный гиперболоид и гиперболический параГюлоид. Рас. 95 Рис. 96 Конус второго порядка Исследуем уравнение поверхности в г х 2+20' (12.35) Пересечем поверхгюсть (12.35) плоскостями х = 1ь Линия пересечения + ~ = — т, х = Ь.

При и = 0 она вырождается в точку (О; О; 0). При в Ьх Ь ф 0 в сечении будем получать эллипсы хз — + рьь сх х = )ь Полуоси этих эллипсов будут возрастать при возрастании ) Ц. Рассечем поверхность (12.35) плоскостью Оух (х = 0). Получится 2 2 ". — — =о, и=О, распадающаяся на две пересекакнциеся прямые р х р з — — — =О и — + — =О.

д с Ь с При пересечении поверхности (12.35) плоскостью у = 0 получим линию Глава Ч. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 3 13. МНОЖЕСТВА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 13.1. Основные понятия Д Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под мнозксесиквом понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.

Так можно говорить о множестве ве студентов института, о мноясестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнс ния хз + 2х + 2 = О, о множестве всех натуральных чисел н т. д. Объекты, из которых состоит множество, называются его элеменгпами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алсЬаввта А В ... сЬ,,..., Х, У,..., а нх элементы — малыми буквами Если элемент х принадлежит множеству Х, то записывают х е Х; запись:» С Х илн х ф Х ф означает, что элемент х не принадлежит множеству Х. Множество не со держащее ни одного элемента, называется иусикым, обозначается символом ~п. Элемексты множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если зто возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элсменты данного множества.

Например, запись А = (1,3, 15) означает, что множество А состоит нз срох чисел 1, 3 и 15; запись А = (х: 0 < х < 2) означает, что множество А состоит из всех действительных ( ) (если не оюворекко иное) чисел, удовлетворяющих неравенству 0 < х < 2. Я Множество А называется иодмнозссесгивом множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символически это обозначают так А с В («А включено в В») или Э («множество В включает в себя множество А»). Говорят, что множества А и В равны или совиад а»пик, и пишут А=В еслнАСВиВ А.Д и С А. Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. Ц Обэе Обэединением (нли суммой) множеств А и В называется множесгво, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств.

Объединение (сумму) множеств обозначают АО В (или А+ В). Кратко можно записпгь А О В = (х: х е А или х е В). Д Пересечением (или произведением) множеств А н В называется множество, сосюящее нз элементов, каждый из которых прилад- лежит множеству А н множеству В. Пер<сечение (произведение) множеств обозначают АОВ (или А. В). Кратко можно записать АР В = (х: х е А и х е В).