Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 14

Оно первой степени относительно и"кущнх координат х, у и к. Вектор в = (А; В;С) называется нормальным вектпором плосмоспнк Придавая кпэфг)гициентзм А, В и С уравнения (12.3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку Мо. Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, нвзываегся сакзкой оскоспгей, а уравнение (12.3) — — уравнением связки гглоскостео. Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя перемщшыми х,уиж Ах + Ву + Сз + Хг = О. (12А) М>М .

М(Мз М> Мз — — О, т. е. (12.6) х — а. у з — а Ь 0 — а 0 с Ьсх — аЬс+ аЬз + асу = О, т. е. Ьс Раскрыв определитель, имеем + ауя = аЬс или х — + — + — = 1. а Ь с Рис. 71 Рис. 70 95 Полагая, что по крайней мере один из коэфф>щиенгов А, В или С не равен нулю, например В ф О, перопипюм уравнение (12.4) в виде А(х — 0) + В у + — + С(з — О) = О. (12.5) Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), вгп>им, что уравнения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным вектором и = (А; В; С), проходящей через точку М> (О; — — 0~~.

В' /' Д Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Окуз нс которую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскостли. Частные случаи общего уравнения плоскости: 1. Если В = О, то оно принимает вид Ах + Ву + Сз = О. Этому уравнению удовлетворяет точка О(О; 0; 0). Следовательно, в этом случае плоскость проходи>а через начало координат. 2. Если С = О, то имеем уравнение Ах+ Ву + .О = О. Нормальный вектор и = (А; В;0) перпендикулярен оси Ою Следовательно, плоскость параллельна оси Оз; если В =.

0 — параллельна оси (л(, А = О— параллельна оси Ох. 3. Если С = В = О, то плоскость проходит через О(0; О; О) параллельно оси Ох, т. е. плоскость Ах + Ву = 0 прохюдип> через ось Ож Аналогично, уравнениям Ву + Сз = 0 и Ах + Сг = 0 отвечают плоскости, проходщцие соответственно через оси Ох и Оу. 4.

Если А = В = О, то уравнение (12.4) принимает зид Сх + О = О, й т. е. з = — —. Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично, уравнениям Ах+ .0 = 0 и Ву + В = 0 отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Оуз и Охж 5. Если А = В = В = О, то уравнение (12.4) примет вид Сз = О, т. е. з = О. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = 0 — уравнение плоскости Охз; х = Π— — уравнение плоскости Оуж Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки Три точки пространства, не .пежащие на одной прямой, определяют единственную п.лоск(х:ть.

Найдем уравнение плоскости ()), проходящей через три денные точки М((х>)у>,"з() Мз(хз)уз)хз) и Мз(хз)узпэз) не лежащие на одной прямой. Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; з) и составим векторы М>М = (х — х(,у — у>рк — э>)) М(М2 = (хз х>)уз уг) эз з()) М>Мз = (з:з — х(,уз — у('хз — з>). Эти векторы лежат па плоскости О, следовигельно, они компланарны. Используем условие компланарности трех векторов (их смешанное произведение равно нуля>), получаем Уравнение (12.6) ость уравнение плоскости, проходящей через три дан- ные точки.

уравнение плоскости в отрезках Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Оз соответственно )>трепки а, Ь и с, т. е. проходит через три точки А(а; 0; 0), В(0; Ь; 0) и С(0; 0; с) (см. рис. 70). Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем Уравнение (12.7) называется уравнением плл>скостим в отлрез- Д мах на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости. Нормальное уравнение плоскости Положение плоскости О) вполне определяется заданием единичного вектора е, имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на плоскость из начала координат, и длиной р этого перпендикуляра (см.

рис. 71). (12.8) Рвс. 73 Рис. 72 (12.9) Асх+ Всу+ С12+ О1 = О, А,х+В,у+С,2+Вз =О. Отметим, что если плоскость с,> Поэтому д = 4 Коиеиект лекций оо амеш й математике. Пол»мй кя Пусть ОК = р, а о, ХХ, 'у — углы, образованные единичным вектором е с осями Ох, Оу и 02. 'Тогда е = (созо;сстз)У;соз у). Возьмем на плоскости произвольную точку М(х;у; 2) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор г = ОМ = (х; у; 2). При любом положении точки М на плоскости О проекция радиус- вектора 1. на направление вектора е всегда равно р: пр;г = р, т. е. г е=р нлн г е — р=О.

Уравнение (12.8) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов г и е, уравнение (12.8) перепишем в виде Уравнение (12.9) называется норма,виним уравнением плос- Д кости в координатной форме. Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к нормальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именнос умножить обе части уравнения (12.4) на нормирующий множитель Л = 1 , где знак берется А2+ В2+ С2' противоположным знаку свободносо члена Л общего уравнения плоскости.

12.3. Плоскость. Основные задачи Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей Пусгь заданы две плоскости О1 и О2. Под узлом мезссду плоскоспмйми Ос и ХХ2 понимается один нз Д двугранных углов, образованных этими плоскостями. Угол ест между нормальными векторами п1 = (А1, В1,С1) и пг = = (А2, В2, С2) плоскостей сХ1 и сХ2 равен одному из этих углов (см. рис.

72). Поэтому соз ссй = п~-Р~ или 1~1! ' сп2! А1АА + В1 В2 + САС2 соз ср— к А* 4 в,*: ес,/У е в' т о ' Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части. Гели плоскости Щ и О2 перпендикулярны (см. рис. 73, а), то таковы же их нормали, т. е. йс 1. пз (и наоборот). Но тогда п1 й2 = О, т.

о. ААА2 + ВАВ2 + С1 Сз = О. Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей Щ и еет2. если плоскости Щ н с22 параллельны (см. рис. 73, 6), то будут параллельны и их нормали й1 и п2 (и наоборот). Но тогда, как известно, , А В С КООрдИиатЫ ВЕКтарОВ ПрОПОрцИОНаЛЬНЫ: — 1- = — к = — 1-. Эта И ЕСТЬ условие параллельности двух плоскостей СХ1 и Слез. расстояние от точки до плоскости Пусть задана точка Мо(хв, 91, во) и плоскость О своим уравнением Ах + Ву+ Се + О = О.

Расспжнне д от точки Мв до плоскости (,> находится по формуле Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки Мо(ха,уо) до прямой Ах+ Ву+ С = О (см. с. 73). Расстояние д ог точки Ма до плоскости О равно модулю проекции вектора МАМО, где М1(хс, ус, 21 ) -- произвольная точка плоскости (1, на направление нормального вектора и = (А;В;С) (см. рнс. 74). Следовательно, М,М„п $ха — 1)А+(уо — у1)В+(за — ей~~ 41=( прй™1Мо! = оА'+В'...о' ссАхо+ ВУа+ Сзо — Ахс — ВУ1 — С21 ~ Кйкевето А так как точка ЛХ1 (хс, ус, 21) принадлежит плоскости С,), то Ахс + Вус + С21 + О = О, т. е.

О = — Ахс — Вут — С21. задана уравнением хсоза+ усозд+ усову — р =- О, то расстояние от Отсюда следуют равенства: (12.12) Ркс. 74 Рис. 75 (12.13) Р= Ио+МоМ- (12.10) (12.14) точки Мо(хо, уо; кэ) до плоскости О может быть найдено по формуле а = ~ха соко+ уо ижо+ яэсоз7 р~. 12.4. Уравнения прямой в пространстве Векторное уравнение прямой Д Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку Ма на прямой и вектор Я, параллельный этой прямой.

Вектор Я называется направляю'п1им оектпором прямой Пусть прямая А задана ее точкой Ме(хэ., уе, хэ) и направляющим вектором 5 = (тп; и; р). Возьмем на прямой А произвольную точку М(х; у; х). Обозначим радиус-векторы точек Мо и М соответственно через Ро и г. Очевидно, что три вектора гэ, Р и МоМ связаны соотношением Вектор МоМ, лежащий на прямой Е, параллелен направляющему вектору Я, поэтому МеМ = то', где $ — скалярный множитель, называемый пауаметауом, может принимать различные значения в зависимости от положения точки М на прямой (см. рис.

75). Уравнение (12.10) можно записать в виде г = во+ Ю. (12.11) Я Полученное уравнение называется веятпорным уравнением прямой. Параметрические уравнения прямой Замечая, что г = (х; у; х), га = (то,'уел га), тЯ = (4тп; Фп; 4р), уравнение (12.11) можно записать в ниде й + УУ + ха = (хе + т )ъ + (Уо + 1п)У + (хо + 4Р) х. Они называются параметарическими уравнениями прямой в простран- стве. Канонические уравнения прямой Пусть Я = (т; и; р) — направляющий вектор прямой А и Мэ(хо, уо,. хо) — точка, лежащая на этой прямой.

Вектор Мо М, соединяющий точку Ме с произвольной точкой М(х; у; х) прямой Х, параллелен вектору Я. Поэтому координаты вектора МоМ=(х — то; у — уа; х — хо) и вектора Я = (ти; и; р) пропорциональны: Уравнения (12.13) назывсиотся мононичесипми уравнениями Д- прямо41 в пространстве. Замечания: 1) Уравнения (12.13) можно было бы получить сразу из параметрических уравнений прямой (12.12), исключив параметр й Из уравнений (12.12)находим х хо у — уо х хо ьч и р 2) Обращение в нуль одного нз знаменателей уравнений (12 13) означает обращение в нуль соответствующего числителя.

На ример,ур н хз ="2 ='0 3'д ° прямую*щ ходящую через точку Мэ(2; — 4; 1) перпендикулярно осн Ох (проекция вектора Я на ось Ов равна нулю). Но это означает, что прямая лежит в плоскости х = 1, и поэтому для всех точек прямой будет х — 1 = О. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки Пусть прямая А проходит через точки М~(хн ун х1) и Мз(ха; дя, 'хз).

В качестве направляющего вектора Я можно взять вектор М|Мз = = (хз — х~,'ух — ун хз — х1), т. е. Я = М~ Мз (см. рис. 76). Следовательно, гп = хг — хы и = уз — ун р = хз — хн Поскольку прямая проходит через точку Мг(хн у~,. х1), то, согласно уравнениям (12.13), уравнения прямой А имеют вид < х+у †в+1, 2х — у — Зе + 5 = О. Рис. 76 Рис. 77 з А»х+ В»У+ С»г+ Р» = О, Авх + Вву+ Сае + Рв = О. (12.15) х х» у — у» л — х» »и» и» р» (12.16) у»е А» В» С» Аа Вз Сг Я=п» хйа —— 100 »а» Уравнения (12.14) называются уранненплми прямой проходя- Я щей череэ две данные п»очм»е ОбщИе уравнения прямой Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей.

Рассмотрим систему уравнений Каждое из уравнений атой системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны (координаты векторов и» вЂ” — (А», .В»; С») и Вз = = (Ан В»6 Св) не пропорциональны), то система (12.15) определяет прямую Х ках геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы (см. рис. 77). Уравнения (12.15) называют об»»»»»м»»»»равнениями прямой. От общих уравнений (12.15) можно перейти к каноническим уравнениям (12.13). Коорпинасы точки Ме на прямей Х»юлучаем из системы уравнений (12.15), придав одной из координат произвольное значение (например, х = 0).