Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 15

Так как прямая В перпендикулярна векторам й» и йв, то за направляющий вектор Я прямой Х можно принять векторное произведение и» х г»»н Замечание: Канонические уравнения прямой легко получить„взяв две какие-либо точки на ней и применив уравнения (12.14). ХХрцмер 12Л. Написать канонические уравнения прямой Х, заданной уравнениями х+у (,'» Решение: Положим х = 0 и решим систему Находим 12х — у = — 5. 1х- =-1, точку М»( — 2; 1; 0) 6 Х,. Положим У = 0 и решим систему (2х — Зх = — 5. Находим вторую точку Ма(2;0;3) прямой Х. Записьшаем уравнение прямой Хв проходящей через точки М» и Мз.. 4 — 1 3 12.5. Прямая линия в пространстве.

Основные задачи Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых Пусть прямые Х» и Хт заданы уравнениями х х2 у ув е ха пав п2 рт Под углом между этими прямыми понимают угол межцу направляющими векторами Я» = (т»,п»,'р») и Вз = Рнс. 78 = (гаа, п»бра) (см. рис. 78). Поэтому, по известной формуле для косинуса угла между векторами, получаем сову = =» — *~- или Я Я !В»! !521 Для нахождения острого угла между прямыми Х» и Хв числитель правой части формулы (12.16) следует взять по модулю. Если прямые Х» и Хв перпендикуяярнь», то в этом и только в этом случае имеем сову = О. Следовательно, числитель дроби (12.16) равен нушо~ т с. г»»» гпв + и» пв + р»7»з = О.

Р Р1 2 21 т1 П1 р1 х т1 Р Рв 2 22 ги2 П2 Р2 Рве. 82 Рис. 81 Рвс. 80 102 Если ирямыо В1 и Х2 параллельны, то параллельны их направляющие векторы Я1 и Яз. Следовательно, координаты этих векторов пропорционалы!ы, т, е г 1 в1 т п в1 П2 Р2 Пример 1х.х. Найти угол между прямыми т Р— 2 2+2 2х+Р— 2 — 1=0, и 2 — 1 3 2х — Р+ Зх+ 5 = О. О Решение: Очевидно, Я1 = (2; — 1; 3), а Я2 = и1 х П2, где й1 = (2; 1; — 1), й2 = (2; — 1; 3). Отсюда следует, что Я2 = (2; — 8; — 4). Так как Я1 ° Я2 = = 4+ 8 — 12 = О, то )о = 90'.

Ф Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости Пусть прямые Ь1 и В2 заданы каноническими уравнениями Их направляющие векторы соответст- Вггн1О Я1 = (т1 ) П1)рг) И Я2 — (т2) И2)р2) (см. рис. 79). х Прямая ь1 проходит через точку Рнс, 70 М1(х1, .Р1, .21), радиус-вектор которой обозначим через г1, прямая В2 проходит через точку М2(х2; Р2, 22), радиус-вектор которой обозначим через г2.

Тогда т2 — гг — — М1М2 — — (хз — х1) Р2 — Р1; 22 — 21). Прямые В1 и Та лежат в одной плоскости, если векторы Я1, Я2 и .М1 М2 — — 11 — г1 компланарны. Условием компланарности векторов является равенство нулю их смеп1анного произведения: (г2 — г1)Я1 Ят — — О, т. е. При выполнении этого условия прямые В1 и В2 лежат в одной плос- кости, то есть либо пересекаются, если 822 ~ ЛЯ1, либо параллельны, если Я1 '0' Я2. 12.6. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи Угол между прямой и плоскостью.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости Пусть плоскость 1~ задана уравнением Ах + ВР + Сх+ Ю = О, а х — ха и — ио 2 — ха прямая В уравнениями — — а = — ~ И1 П Я Утлом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через ))2 угол между плоскостью 1„1 и прямой Х, а через д - — угол между векторами и = (А;В;С) и Я = (т;и;р) (см. рис. 80).

Тогда сов 8 = — — '' . Найдем синус угла ),2, считая 1)2 < -": и ° Я И И 21п д =- зш( 2 — О) = сов д. И так как 21п)12 ) О, получаем )Ат+ Ви+ Ср~ ( 'Зтм)-о',%"21 -)Г' Если прямая В параллельна плоскости Я, то векторы и и Я перпендикулярны (см. рис. 81), а потому Я и = О, т. е. Ат+ Ви+ Ср = 0 Я является условием параллельности прямой и плоскости. Если примоя В иериендакуллрна плоскости с), то векторы й и Я параллельны (см.

рис. 82). Поэтому равенства А В С гп п р Я являются услоапямп иериеноинуллрности прямой и плоскости. Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости Пусть требуется найти точку пересечения прямой т — то у — уо з — хо (12.18) с плоскостью А т+ Ву+ Сз+ Р = О. (12.19) Для этого надо решить систему уравнений (12.18) и (12.19).

Проще всего это сделать, записав уравнения прямой (12.18) в параметрическом т = хо + т1, у = ус+па з = зо+у1. Подставляя эти выражения для х, у и з в уравнение плоскости (12.19), получаем уравнение А(хо + глХ) + В(уо + п1) + С(го + у1) + В = 0 нли 1(Ат + Вп + СУ) + (Ахо + Вро + Сто + В) = О. (12.20) Если прямая В не параллельна плоскости, т. е.

если Ат+ Вп+ Ср ~ О, то из равенства (12.20) находим значение й Ахо+Вуо+ Сзо+В Агл + Вп + Су Подставляя найденное значение 1 в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью. Рассмотрим теперь случай, когда Ат + Вп + Су = О (В () О): а) если Е = Ахо + Вуо + Сто + В ф О, то прямая Ь параллельна плоскости и пересекать ее не будет (уравнение (12.20) решения не имеет, так как имеет вид 0 1+ Е = О, где Е ф 0); б) если Ато + Вуо + Сто + В = О, то уравнение (12.20) имеет вид 1. О+ 0 = 0; ему удовлетворяет лв:бое значение $, любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости. Заключаем: прямая лежит в плоскости. Таким образом, одновременное выполнение равенств < Ат+ Вп+ Ср = О, Ахо+ Вуо+ Сто+ Ю = 0 Д является условием пуинидлелс ности пуя иой ллосиости.

12.7. Цилиндрические поверхности Д Поверхность, образованная движением прямой 1, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую К, называется цв',зиндуичеспой поверхностью или иилиндуом. При этом кривая К называется направляющей цилиндра„а прямая Е, — его образующей (см. рис.

83). Будем рассматривать цвлиндрггчегжие поверхности, направляющие которых лежат в о2пюй из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпе2щикулярной этой плоскости. Пусть в плоскости Охр лежит некоторая линия К, уравнение ко- т'(х; у) = О. (12.21 ) Построим цилиндр с образуквцимн параллельными оси Оз и направляющей К. Теорема 12.1.

Уравнение цилиндра, образующие которого параллельны оси Оз, имеет вид (12.21), т. е. не содержит координаты з. Ряс. 84 Рис. 83 ( 1 Возьмем на пилиццре любую точку М(х; у; 2) (см. рис. 84). Она лежит на какой- ю образующей. Пусть Ж вЂ” точка пересечения этой образующей с плоскостью Оту. Следовательно, точка И лежит на кривой К и ее координаты удовлетворяют уравнению (12.21). Но точка М имеет такие же абсциссу х и ординату у, что и точка Ж. Следовательно, уравненшо (12.21) удовлетворяют и коорцинаты точки М(х; у; з), так как оно не содержит з.

И так как М вЂ” это любая точка цилиндра, то уравнение (12.21) и будет уравнением этого цилиндра., ° Теперь ясно, что Г(х; з) = 0 есть уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси Оу, а Е(у„.з) = 0 — — с образующими, параллельными оси Ох. Название цилиндра определяется названием направляющей. Если даправлягощей служит эллипс 2 2 — + —.=1 а2 82 в плоскости Оту, то соответствующая цилиндрическая поверх- Д ность называется эллиптическим цилиндром (см.

рис. 85). тх 105 1 1 1 1 Рис. 80 Рис. 85 Рис. 87 Рис. 88 Г(х»/Р +уз г) = О. (12.23) Р(у; 4. / '+ ") = О; < Е(у;2) = О, х = О. (12.22) 100 107 Частным случаем эллиптического дили»щра является круговой Ц цилиндр, его уравнение х2+ у2 = В2. Уравнение х2 = 2рг определяет в пространстве параболический цилиндр (гм. рис. 86). Уравнение 2 2 — — — =1 у 2 82 Ц определяет в пространстве гиперболический цилиндр (см. рис. 87).

Д Все эти поверхности называются цилиндра.ми вгнорого порядка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат х, у и ю 12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется яоеерхносгпью враи»ения. Пусть некоторая кривая Л лежит в плоскости Оую Уравнения этой кривой залп»нутся в виде Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой Х вокруг оси Ож Возьмем на поверхности произвольную точку М(г:,уьг) (см. рис.

88). Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную оси Оя, и обозначим точки пересечения ее с осью Оя и кривой Л соответственно через О» и»»'. Обозначим координаты точки 1»7 через (О; у», 2»). Отрезки О» М и О» 1»» являнг»ся радиусами одной и той же окружности. Поэтому О»М = О»Ж. Но О»М = »/хз+ у2, О»1»' = ~у»(. Следовательно, ~у»( = »/хз+ у2 или у» = х,/х~+ у2. Кроме того, очевидно, я» = ю Так как точка Ж лежит на кривой А, то ее координаты удовлетворяют уравнению (12.22). Стало быть, Е(у», .я») = О.

Исключая вст»омогательные координаты у» и 2» точки Ж, приходим к уравнению Уравнение (12.23) — искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точки М этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения. Как видно, уравнение (12.23) получается из (12.22) простой заменой у на х~/х~ + у2, координата 2 сохраняется. Понятно, что если кривая (12.22) вращается вокруг оси Оу, то уравнение поверхности вращения имеет вид если кривая лежит в плоскости Оху (2 = О) и ее уравнение Е(х;у) = О, то уравнение поверхности вращения, обр»кива»»ной вращением кривой 1юкруг ест» Ох, есть Е(х; х»/уз + яз) = О. Д так, например, вращая прямую у = 2 вокруг оси 02 (см. рис.

89), получим поверхность вращения (ее уравнение х»/хз + у2 = 2 или хз + у2 = 22). Она называется конусом второго порядка. Я Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и пересекающими даю»ую плоскую линию А (не проходящую через Р), называется конической поверхносгпью нли монусол». При этом линия А называется наиравллялцей конуса, точка Р— — ее вер»мино~ а прямая, описывающая поверхность, называется обрагуюи1ей тг Р, 1+ 1 2 52 (12.27) Рис. 90 Рис. 89 < Гг(т;Рг к) = О, Р'з(х;Рпв) = О, (12.24) < гг(тНРг,.вг) = О, гз(х~., Ргрвг) = О. Эллипсоид (12.25) л Рг з — + — + — = 1. аз Ьз сз (12.28) < 2 в= Ь.