Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 12

Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей От В,'(О;Ь и Оу, а также относительно точки 0(0; О), которую называют ценяграм эллипса. Аг( — а;О) Рд О Гг А,(а.й) 2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координнг. ПоВг(0; — Ь) локан у = О, находим две точки Ад (а.„О) и Лг( — а; 0), в которых ось Ох пересекает эллипс (см. рис. 50). Положив в уравнения (11.7) х = О, находим точки пересечения эллипса с осью Оу: Вд(О; Ь) и Вг(0; — Ь).

Точки Л,, Аг, Вд, Вг называются ееридинами эллипса. Отрезки А1Аг и Пусть М(т; у) — произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, Мьд + Мьг = 2а, т. е. /(т+ г)г + уг + /(х — с)г + уг = 2а. (11.5) Имеют место формулы г1 =а+ех и гз =а — ек. Рис. 52 Рис. 51 11.4. Гипербола Рис. 53 гт + гг = 2а. 78 В~ Вт, а также их длины 2а и 26 называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа а и Ь цэзыва ются соответственно большой и малой полуосями эллипса. 3.

Из уравнения (11.7) следует, что каждое спагаемое в левой части т не превосходит единицы, т. е, имеют место неравенства — < 1 и Ут < 1 а или — а < т < а и — 6 < д < Ь. Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоуюльника, образованного прямыми к = ла, р = Ы. , 2 4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых — т и т р а равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т.

е. если Ц возрастасц то )р~ уменьшается и наоборот. Из сказа~ного следует, что эллипс имеет форм~; изображенную на рис. 50 (овальная замкнутая кривая). Дополнительные сведения об эллипсе Форма эллипса зависит от отношения —. При 6 = а эллипс превра- а' щаетгл в окружность, уравнение эллипса (11.7) принимает вид ят+р = а~. В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуютгл отношением —. с а' Д Опюшение с половины расстояния между фокусами к большой а полуоси эллипса называетгш эмсценгарисиптегпом эллипса и обозначаетгл буквой е («эпсилон»): (П.8) причем О < е < 1, так как 0 < с < а.

С учетом равенства (11.б) формулу (11.8) можно переписать в виде ,~~:г (: - г ( (ь)' т. е. Ь з Ь е= 1 — ( — ) и — = ~/1 — е~. а а Отсюда видно, что чем меныпе эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее спшощегшым; если положить е = О, то эллипс превращается в окружность. Пусть М(к;д) — произвольная точка эллипса с фокусами Ьт и Кт (см. рис. 51).

Длины отрезков г)М = г~ и ВзМ = гз называются 4окальними радиусами точки М. Очевидно, Прямые т. = ~а называются дирекгарисами эллипса. Значение Я з днректрисы эллипса выявляется следующим утверждением. Теорема 11.1. Если г — расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, д — расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение г есть постоянная д величина, равная эксцентриситету эллипса: — = е. . г Из равенства (11.8) следует, что а ) 6.

Если же а < Ь, то уравнение (11.7) определяет эллипс, большая ось которого 26 лежит на оси Ор, а малая ось 2а -- на оси От (см. рис. 52). Фокусы такого эллипса находятся в точках 1ч (О; с) и гз(0; — с), где с = чР— а~. Каноническое уравнение гиперболы Я~ Гиперболо11 называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусалги, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние меж,пу фокусами. рис.

54 (П.П) х+ ь(хг — а~ 80 — сюзна ппи В( . ". о опрсдпаен кахсдой .(О, '((у ними через гно 2и < ки гвпе оку и *О ь( фокус( в, иперболы Вь бе совпало с се ( и ХЪ леж ' 'Ремсис мук Я, - ' -сО) . - '. ). кусы бу Ри ВБ(ВОде +2О После ~2 = х2 ='импе гмп уРавненвя з«е упрощений ершовы клипсе(, „' ', как з . сде а уч((м ма .г мимически у О2 (.г =1, (11.9 Гипербо 62 =С О2 есть линия „ Исслепо Рско порядка (11.19) Установи ф ль( по ее Я (ь( польз 1. У е «, уясь ее какон Разве(и (П 9' ловахел о в четньсх сте степенях.

Сле- 2. Н'йд гоч;, которую называ хиОу, айдем то~ , кото ' ют тсемгп В ения гип, ро42 гмУРавнспии (П.9) чки пе , нахо и 2( Ос 0). Положив ' = 9) пересекает. Я О ' (О; ИА2 —. 'Ро ( О; А '(едовате аьно А (-;9) 2 дав Я~ 2 ( 2=2 От 2 ( 2 Р 22 полросью ги ~ица~ 6 — хе~иной' полросьго. П 3. Из и, ря з Уран((е((ия (11.9) при.морга.аьпи уменып а -'~- 1 или ,'. ае(кое Н, .

Е оложе о означ -т не меныне ЕВВ от яиой . чки гипербох = О (п(завив вега, ) ветвь гни' ( т; лы) В 4. Из уравнения (П.9) гиперболы Видно, что когда ф возрастает, 2 Нг то и ~у~ возрастает. Это следует из того, что разность — т — Ьт сохраняет постоянное значение, равное единице. Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 54 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей). Асимптоты гиперболы Прямая А называется асомппюнюй неограниченной кривой К, если расстояние (1 от точки М кривой К до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М вдоль кривой К от начала координат. На рисунке 55 приведена иллюстрация понятия асимптоты: прямая 1 является асимптотой для кривой К.

, 2 Покажем что гипербола «~ — Ут =- 1 имеет две асимптоты: 1 а 6 Так как прямые (П.П) и гипербола (11.9) симметричны относительно координатных осой, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверги. Возьмем на прямой у = — т точку Л' имеющей ту же абсцигсу х, а что и точка М(х; у) на гиперболе у = — т('хг г— аг (см. Рис. 5б), и найдем разность МХ между ординатами прямой и ветви гиперболы: М1~( = — х — — тй' — аг = — (х — Ъ х — О ) = и, а а Ь (х — з((хг г— аагг)(х + тlтг — аг) Ь аг О х+ чсхг г— аг х+ ~/Р:аг 81 Рис. 55 Рис. 56 Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличиваегся; числитель — есть постоянная величина.

Стало быть„длина отрезка М!!' стремится к нулю. Твх как М!г больше расстояния а* от точки .М до прямой, то д и подавно стремится к нулю. Итак, прямые р = х-х являются асимптотами гиперболы (11.9). Р = — '— ". И ьзуем формулы гюворота осей координат (их 4' вывод показан на с. 63): х = х созп — р зшо, р = х'з!по+р'сова.

П ставляем значениях и р в уран . .( . ): пение (11.12): одстав. 2 к я 2 (х-(-)-"-( )) (х "( )+р-(4)) —, аз к ! !)2 ( г+ гв г, ! 2 ' 2 2 а2 гдв 1! = —. У авнение равносторонней гивер~"., д. . ~".ы ля которой оси Ох и Ор 'рав ь вип являк>тся асимптотами, будет иметь вип р = —. Рис. 57 Ряс. 58 При построении гиперболы (11.9) целесообразно сначала построить Ю основной прямоугольник гиперболы (сь!. рис. 57), провести прямые, проходяшие через противоположные верппшы этого прямоуголь-' ника, -- асимптоты гиперболы и отметить вершины А! и Аз гиперболы. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптотами которой служат оси координат Гипербола (11,9) называется раеносгпороннем, если ее полуоси Д равны (а = Ь).

Ее каноническое уравнение (11.12) х — р =а Асимптоты равносторонней гиперболы имея!т уравнения р = х и р = -х и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов. Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой системе координат Ох'р' (см. рис. 58), полученной из старой поворотом осей координат Дополнительные сведения о гипер боле й Эк нгприсигпегаом гипс рболы (11.9) называется отношение сне фо ми к величине действительной оси гирасстояния меясцу фокусами к вели перболы, обозначается ш Е = —. а а то эксцетггриситег гиперболы больТак как для гиперболы с > а, т . ', льфо м гипгр лы. ше единицы! е > 1.

Экспгнтриситет характеризует фор у рк з Действительно, из равенства (11.10) следует, что -т — — ьт — 1, т. е. — = ъГез — 1 и е = ! 1+ ( — ) ы . эксцентриситет гиперболы, тем Отсюда видно, что чем меныпе эксц. — й, а значит, тем более вытянут ег основ- меньше отношение — ее полуосе, пой прямоугольник.

Эксцентриситег рввн<юторонней гиперболы равен тельно, ,7 + ° 6Р = — — — — = ~/ — = !/2. г= — = — — = ~/ —,г — ~/. а а а в 2 .')з + т в гт = (х — с) +р для 45акалънме раднрсы г! -— — (х + с) р т— точек правой ветви гиперболы имеют вид в г с ях+аиг2 для левой — г! = — (гх+а) 2 = — ( ) и т = — (гх — а). Прямые х = — назы — ва!огся днрскшросамо гиперболы. ак как — < а.. Это значит, что правая директриса для гиперболы е > 1, то — а.. расположена между це жду центром и правой вершиной гиперболы, левая— между центром и левой вершиной.

т. е. уг = 2рх (11.13) 11.5. Парабола Рис. 60 85 Директрисы гиперболы имеют то же свой во ство — = е, что и директрисыы эл.липса. ег г КРиваЯ, опРеделлемаЯ УРавпением гх — х = 1, ф — --т —— , также есть гипербола, действительная ось 2Ь которой асп расположена на оси Оу, а, мнимая ось 2а — на оси Ох. На ' рисунке 59 ова изображена пунктиром.

Ряс. 59 г г г Очевидно, что гиперболы * у 1 и у х ат Ьг = и Ьт т = 1 имеют общие а асимптоты. Такие пщерболы пазы ают в ся соиряженними. Каноническое уравнение параболы Па бв рабвлвй называется множество всех точ которых одинаково удалена от данной точки, называемой фв свм и данной и ямой н р, азываемой директрисой. Расстояние от фок Е дира р называется параметром параболы обо. ,кт исы окуса до (р > 0).

и о значается через р Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Ох . пр д .рез фокус Г перпендикулярно днрек.му к динат ху трисе в направлении от директрисы к Е,а начало коо ачало координат О расосередине между фокусом и директрисой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус Г имеет коо (й; 0), координаты (2; 0), а уравнение директрисы имеет вид х = — к, или х+ с = О. 2' 2 Пусть М(х„.у) — произвольная гочка параболы. Соединим точку М с К. Проведем отрезок Лг Ж перпендикулярно директрисе.

Согласно определению параболы МК = ЛХХ. По формуле рвссгояния между двумя точками находим: г МР= ( — й) +у, а ММ= Следоваттвп но, (х — й) + уг — (х+ ~) Возведя обе части уравнения в квадрат; получим хг — рх+ р-+у'=хг+р + р' 4 Уравнение (11.13) называетгя каноническим уравнением параболы. Па- рабола есть линия второго порядка. Исследование форм параболы по ее уравнению 1. В уравнении (11.13) переменная у входит в четной степени, значит„парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох, является осью симметрии параболы. 2. Так как р > О, то из (11.13) следует, что х > О. Следовательно, парабола расположена справа от оси Оу. 3.

При х = 0 имеем у = О. Следовательно, парабола проходит через начало координат. 4. При неограниченном возрастании х модуль у также неограниченно возрастает. Парабола у" = 2рх имеет вид (форму), изображенный на рисунке 61. Точка О(0; О) называется веригиной параболы, отрезок ЕЛХ = г называется !Локальным радиусом точки М. Рис.