Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 7

С этим свойством, относящимся к точкам пересечения, связано то обстоятельство, что рассматриваемые кривые по аналитическим соображениям называются кривыми четвертого порядка. (Кривые а-го порядка обладают аналогичным свойством, а именно, они имеют с любой плоскостью не более п общих точек, либо имеют с ней общую дугу кривой.) Однако существуют и такие кривые четвертого порядка, которые нельзя получить ') Софокусные системы обладают еще одним свойством, которок впрочем, можно рассматривать как предельный случай только что упомянутых свойств.

Свойство зто заключается в следующем: если нз какой-иибуль точ. кн Р пространства провести конус касательных к некоторой поверхности системы, не заключающей внутри себя взятой точки Р, то касательные плоскости в точке Р к трем проходящим через зту точку поверхностям системы всегда вредставлиют плоскости симметрии конуса касательных. Э ь конические сечения н поданы пересечением двух поверхностей второго порядка '). Пространственные кривые более высокого порядка трудно представить без вспомогательных аналитических средств, а потому они здесь и не рассматриваются. довлвлвния к гллвв ) 5 1. Построение конического сечения при помощи подэры Пусть даны кривая К и точка Рз (рис.

32); будем опускать из точки Р1 перпендикуляры на все касательные г к кривой К Тогда основания этих перпендикуляров опишут новую кривую й, которая называется подэрной кривой или подэрой для кривой,К Рис. 32. Рис. ЗЗ. относительно точки Рь Обратно, можно получить снова кривую К, если даны Р~ и й. Для этого достаточно соединить Р1 со всеми точками кривой й и восставить перпендикуляры г к полученнылз прямым во всех точках кривой й.

Тогда прямые г будут огибающими кривой К. Этот последний способ построения мы будем называть построением с помогцью подэрной кривой и будем говорить, что кривая К получается построением при помощи. подэры (относительно точки Р1) из кривой )з. В зависимости от выбора точки Р, построением при помощи подэрной кривой можно из одной и той же кривой й получить весьма разнообразные кривые К. Мы утверждаем; построением при помощи подэры из круга или из прямой всегда получается коническое сечение. Если точка Р1 расположена внутри круга с центром в точке М (рис. 33), то получается эллипс, причем Р, есть один из его фо- ') Можно аналитически доказать для кривык пересечения двух поверхностей второго порядка, что через инх проходит бесчисленное множество других поверхностей второго порядка н между ними четыре конуса (причем некоторые нз ннх могут совпадать или вырождаться в цилиндры).

х д. Гальеерг, С. Коа-Фоссев 34 гл. ь пРОстеишие кРиВые и пОВБРхности [довлвления~ кусов; второй фокус Рг есть зеркальное отражение точки Р, относительно центра М. Если точка Р1 лежит вне круга, то получается гипербола (рис. 34). Фокусами ее опять являются точка Р1 и ее зеркальное отражение относительно точки М. Если вместо круга взять прямую д, то получается парабола (рис. 35). Фокусом ее служит точка Рь а директрисой — прямая й, параллельная и расположенная по дрчгую сторону от прямой д на таком же расстоянии от нее, что и точка Рь Рве.

35. Рис. з~ Чтобы доказать наше утверждение прежде всего для эл. липса, проведем через точку Р1 произвольную прямую (рис. ЗЗ); пусть она пересекает круг в точках С и С'. На этой прямой возьмем точки Р и Р' так, чтобы Р1С = СР и Р,С' = С'Р'. Да лес, восставим к прямой СС' в точках С и С' перпендикуляры г и Р. Возьмем точку Р, так, чтобы точка М была серединой отрезка Р1РВ Пусть прямая РВР пересекает г в точке В, а прямая РЕР' пересекает Р в точке В'. Тогда Р|В = РВ и, следовательно, Р,В+ ВРэ = РРВ Но так как точки М и С суть середины отрезков Р,РЕ и Р1Р, то имеем: РР,= 2СМ. Обозначив радиус круга через г, получаем соотношение ВР1 + ВРВ = 2г.

Следовательно, точка В лежит на эллипсе с фокусами в точках Р1 и Ре и с большой осью 2г. Остается еше показать, что прямая Г касается эллипса в точке В. Это следует из показанного на с. 10 свойства углов, образуемых касательной к эллипсу с его радиусами-векторами, проведенными в точку касания. Именно, у нас по построению ~СВР, = ~СВР. Взяв точки В', С' и Р', мы проведем совершенно аналогично доказательства для прямой ~'. э 3. ДИРЕКТРИСЫ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИИ Доказательство для гиперболы можно усмотреть из рис.

34. Построение на этом чертеже отличается от рис. ЗЗ только тем, что точка Р, взята вне круга. В этом случае точки В и В' описывают две различные ветви гиперболы. Здесь мы имеем: Р|Рт = 2г = ВРз — ВР~ и Р'Рз = 2г = В'Р, — В'Р,. Для параболы приходится несколько видоизменить доказательство. Именно, если в этом случае точки С и Р и прямая 1 (рис. 35) построены аналогично предыдущим двум построениям, то нужно опустить перпендикуляр из точки Р на прямую д. Пусть В есть точка пересечения этого перпендикуляра с пря. мой г.

Тогда будем иметь: ВР1 = ВР. Но здесь точка Р описывает прямую й, построенную так, как было указано выше'). Следовательно, точка В действительно описывает параболу с фокусом в точке Р| Р; и директрисой Ь. Что и в этом случае пря- гг мая г' касается параболы в точке В, следует опять из того, что прямая 1 делит пополам Ра угол РВР1 '). Если точка Р| находится на самой окружности (рис. 36), то прямые 1 и Р вращаются вокруг точек Р1 и Рз, и мы получаем в этом случае два пучка прямых. Как известно, случай такого вырождения получается, естественно, если кривые второго порядка рассматривать как огибающую касательных, 5 2. Директрисы конических сечений Мы определилй параболу как геометрическое место точек, равноотстоящих от неподвижной точки Р, фокуса, и от неподвижной прямой и, директрисы.

Аналогичное определение мож» но дать для эллипса и для гиперболы. Будем искать геометрическое место точек, для которых отношение их расстояния от некоторой неподвижной точки Р к расстоянию от определенной неподвижной прямой аг есть постоянная величина о. В случае параболы о = 1.

Докажем теперь, что если о ~ 1, то искомая кривая есть эллипс, а если о ) 1, то — гипербола. Прн этом точка Р ') В случаяк построения эллипса и гиперболы точка Р описывает окружность с центРом в Ра, вдвое ббльшУю, чем взЯтаЯ пеРвоначально окРУжнпстга нк центр подобия лежит в точке Рь Это следует из условий РРэ 2СМ и РР~ 2СР,.

з) Можно, конечно, получить рис. 35 из рис. 33 таким же предельным нерекодом, при помоши которого мы получали параболу из эллипса на с. ы 2Ф 36 Гл. !. пРОстейшие кРиВые и пОВЯРхнОсти (довааления) есть фокус конического сечения, Обратно, для каждого эллипса и каждой гиперболы можно подобрать две прямые д) и пв так, что для каждой точки кривой отношение расстояний 'ее от Р, и д, и соответственно от Рв и дв будет постоянным. Для доказательства обратимся к рис. 37. Круговой конус пересекается с плоскостью е по некоторому эллипсу А, который и послужит нам для проверки нашего утверждения.

Так же как на рис. 10, возьмем вспомогательный шар, соприкасающийся с конусом по окружности К и касающийся плоскости в точке Р; следовательно, Р есть фокус эллипса А. Далее, пусть 1 — плоскость круга К и д — линия пересечения плоскостей е и 1. Из произвольной точки В эллипса В опустим перпендикуляр ВС нз пряму)о д и перпендикуляр ВВ на плоскость 1.

Затем соединим точку В с точкой Р и с вершиной 5 конуса; пусть прямая В5 пересекается с кругом К в точке Р. Положим для краткости ~РВР =- а и ~РВС = р. Тогда ВВ будем иметь: ВС= — и ВР= сов р ВР = —. Далее, ВР = ВР, ибо оба сов а отрезка представляют собой касательные, проведенные из точки В к одному и тому же шару. Следовательно: ВР ВР сов Р ВС ВС сова ' Рис. 37 Но углы а и )1 не зависят от выбора точки В, так как угол а равен половине угла при вершине конуса, а угол р есть угол наклона плоскости е к оси конуса. Значит, если мы положим сов р — = о, то убедимся в правильности нашего утверждения для сов а эллипса я, причем мы попутно получаем пространственный способ построения директрисы д. Если плоскость е пересекается с конусом не по эллипсу, а по гиперболе й (рис. 38), доказательство можно провести совершенно аналогично, только в первом случаеи ( р, а во втором— а ) 8, и следовательно, для эллипса имеем о ( 1, а для гиперболы, наоборот, о ) 1.

Правда, наше построение доказывает существование директ. рисы только для определенных эллипсов и гипербол, между тем э 3. ПОДВИЖНАЯ СТЕРЖНЕВАЯ МОДЕЛЬ ГИПГРБОЛОИДА 37 как в нашем утверждении задавались, наоборот, т чка Г, прямая д и число О и требовалось найти соответствующую кривую. Но,.

очевидно, вид искомой кривой зависит только от значения числа О, и в то же время мы можем провести построение так, чтобы углы а и р, а следовательно, и о принимали любые зна. чения. Таким образом наше построение исчерпывает всевозможные формы искомой кривой, и значит, кривая, в самом деле, всегда должна представлять коническое сечение. В случае, когда о = (1, т, е. О = 1, мы получаем пара- болу, так что мы снова приходим к первоначальному определению.

Если же плоскость е пересекает конус по кругу, то наше построение ничего не дает, ибо в этом случае (и только в этом) плоскости е и ! не пересекают- Я ся, а параллельны. Всякое соб- Ф ственное коническое сечение, отличное от круга, можно представить как сечение кругового конуса и затем применить к р . к р '- нему наше построение. Поэтому свойство директрис присуше всем собственным кони:сским сечениям за исключением круга. е В частности, греческие па- л звания конических сечений основываются на их отношении к директрисам.

Они обозна- Рис. 38. чают, что О у эллипса не достигает числа ! (Е1сХегяегн), у гиперболы превосходит 1 (нявр(!ай!ьегн) и у параболы в точности равно 1 (парсе()абвер) '). 5 3. Подвижная стержневая модель гиперболоида В настоящем параграфе, предполагая известными основы аналитической геометрии в пространстве, мы докажем высказанное в $3 утверждение, что стержневая модель однополостного гиперболоида подвижна. Вместе с тем мы покажем, что эта конструкция, изменяясь, принимает положения софокусных однополостных гиперболоидов. Пусть хь хь хз и уь уз, уз суть пространственные декартовы координаты точек Р и Я соответственно. Рассмотрим софокусные ') Так считать очень заманчиво, но, к сожалению, это неверно.

Названия возникли в связи с задачей о построении прямоугольника данной площади рз и с заданным основанием 2р. См. «Конические сечения» — БСЭ, изд, З-е, т. !3. Мл Советская энциклопедия, !973, с. 26 — 27. — Прим. реет, 33 гл. !. пгостеишие кгивые и повегхностн !довлвления! поверхности второго порядка: а — Л а — Л и — Л ! г э з ! ! г Д! ! ! з ! ! (3) В самом деле, середина М отрезка РЯ должна также лежать ! на поверхности.

Точка М имеет координаты — (х, + у!). Следовательно, мы должны иметь: Х ! (э+а)г ! ! ! ч! ха, 4 а — Л 4 4 22.га — Л А это равносильно уравнению (3). Обратно; прямая РО целиком совпадает с поверхностью, когда она имеет с поверхностью три общие точки Р, Я и М, т. е, когда удовлетворяются соотна. шения (1), (2) и (3). Вычислим теперь расстояние РЯ = г. Имеем: э гг= ~(х — у )з= ) хг-(- ~уз — 2 ~~~~~ х у = г-! г г = ~~> (а, — А) — '+ ~Х (а, — Х) — ' — 2 ~ (а, — Х) — — '' ! „г г Выберем определенное значение Х так, чтобы уравнение (!) определяло некоторый однополостный гиперболоид.