Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 6

г. пРОстеяшие кРиВые и пОВеРхнОсти эллипсоида в 1882 г. Штауде, который указал способ построения эллипсоида при помощи нити. В этом построении в основу клас дется жесткая конструкция, состоящая из эллипса и гиперболы, причем плоскость гиперболы перпендикулярна к плоскости эллипса и содержит большую ось последнего (рис.

26); фокусы эллипса Рг, Рз являются вершинами гиперболы, а вершины эллипса Ьг, Яз — фокусами гиперболы; эти данныеоднозначно определяют гиперболу. Закрепим конец нить в одной Рт с из вершин эллипса, например в Вг, затем обогнем снизу (т е,под плоскостью эллипса) нитью ближайшую к точке Вг ветвь гиперболы, выведем нить вперед и, обогнув спереди эллипс, выведем нить на верхнюю сторону плоско- 8 сти эллипса; наконец, закрепим другой конец нити в точке Рг.

Рис. 26. Если теперь натянуть в точке В отрезок нити, заключенный между эллипсом и гиперболой, то нить примет форму ломаной БгНВЕР„причем отрезок ВНВг ломаной есть кратчайший путь, соединяющий В с Вг и проходящий через точку гиперболы, а отрезок ВЕРз обладает таким же свойством в отношении точек В и Рз н точки эллипса.

Если теперь изменять положение точки В, оставляя нить натянутой, то точка В будет перемеигаться гго поверхности зллипсоида. При таком закреплении нити, какое указано на рис. 26, точка В опишет всю переднюю нижнюю четверть эллипсоида, остальные три четверти будут получаться в зависимости от того, каким образом нить, закрепленная в точках Вг и Рь огибает между этими точками эллипс и гиперболу '). Конструкция из двух конических сечений при построении эллипсоида играет роль, аналогичную роли фокусов при построении эллипса.

В связи с этим сами кривые называются фокальными кривыми (фокальный эллипс и фокальная гипербола) эллнпсоида. Вообще говорят, что поверхность второго порядка имеет оба эти конические сечения в качестве фокальных кривых, если плоскости последних служат плоскостями симметрии по- ') Вместо точек о1 и Рз концы нити можно было бы закрепить и в любых другик точкак зллипса или гиперболы за исключением только тек случаев, когда невозможно иатвнуть отрезок нити описанным образом между точками закревленин.

э «постноанна оллипсоидл верхности и образуют в сечении с поверхностью кривые второго порядка, софокусные с фокальными кривыми. Так как каждое нз этих сечений (эллипсоида или гиперболоида) должно представлять собой либо эллипс, либо гиперболу, то следует различать четыре случая. Если оба сечения— эллипсы, то мы имеем эллипсоид (рис. 27). Если же оба сечения — гиперболы, то в этом случае у нас двуполостный гиперболоид (рис.

28). Если плоскость фокальной гиперболы пересекается с поверхностью по гиперболе,а плоскость фокального Рнс. 28. Рнс. 27. эллипса — по эллипсу, то наша поверхность представляет собой однополостный гиперболоид (рис. 29). Четвертый мыслимый случай — эллипс в плоскости гиперболы и гипербола в плоскости эллипса — исключается, ибо в этом случае эллипс и гипербола должны были бы пересекаться с прямой Р,Рн в четырех различных точках Еь Еь Нь Нс (рнс.

30), и плоскость фокальной гиперболы имела бы с поверхностью помимо эллипса. получаюшегося в сечении, еше две общие точки Н1 и Нь лежащие вне эллипса, что противоречит определению поверхности второго порядка. Если при построении эллипсоида при помощи нити закрепить фокальные кривые, но пользоваться нитями различной длины, то можно таким образом получить семейство «софокусных» эллипсоидов (т. е. эллипсондов с обшими фокальными кривыми), совокупность которых заполняет пространство однократно и непрерывно. Точно так же семейства однополостных и двуполостных гиперболоидов, принадлежашие к этим же фокальным кривым, каждое в отдельности, заполняют пространство непрерывно гл. ь простнншив кривые и поверхности и однократно; таким образом через каждую точку пространства проходят один эллипсоид, один однополостный н один двуполостный гиперболоиды (рис. 31). Точно так же, как софокусные конические сечения на плоскости, софокусные поверхности второго порядка пересекаются в пространстве ортогонально, т.

е. в каждой точке пространства касательные плоскости к трем поверхностям, проходящим через эту точку, взаимно перпендикулярны '). Подобные тройные орто. гональные системы поверхностей — и прежде всего система софокусных поверхностей второго порядка — играют роль в целом Рнс. 30. Рнс. 29. ряде математических и физических исследований; применение «эллиптических координат», к которым привело аналитическое представление этих поверхностей, оказалось целесообразным и при исследовании многих других, в частности астрономических проблем. Можно получить представление о строении системы софокусных поверхностей второго порядка, если проследить за различными поверхностями в определенной последовательности.

Будем исходить от весьма больших эллипсоидов семейства, имеющих приблизительно форму шара. Затем будем постепенно укорачивать большую ось; при этом эллипсоиды будут все более сплющиваться и все меньше напоминать по форме шар, ибо они будут различным образом сжиматься в направлении трех осей.

В конце концов как предельный случай мы получим внутрен. ность фокального эллипса, покрытую дважды. !\ ) Точки фекальных кривых составляют при этом исключение: в этих точках две ив трех плоскостеа становятся неопределенными, См. ниже. з> 54. ПОСТРОЕНИЯ ЭЛЛИПСОИДА Отсюда мы сразу скачком переходим к внешней части эллипса, которую также следует представлять себе дважды покрытой и которая представляет предельный случай сплющенного однополостного гиперболоида. Если мы будем, исходя от этого предельного случая и делая гиперболоиды все более крутыми, следить за семейством этих гиперболоидов, то мы будем все ближе подходить с обеих сторон к плоскости фокальной гиперболы, а эллипсы в горловине гиперболоидов, оставаясь все время софокусными, будут становиться все более узкими.

В конце концов, когда горловой эллипс станет бесконечно узким, т. е. обратится в двойной прямолинейный отрезок, гипер. болоид превратится в дважды покрытую плоскуго полосу между ветвями фокальной гиперболы г). Теперь снова скачком переходим на другую сторону фокальной гиперболы, которую опять-таки следует представлять дважды покрытой. Это есть предельный случай для сжимающегося двуполостного гиперболоида. Если мы будем постепенно выпучивать обе полости гиперболоида, то они будут все более приближаться с обеих сторон к плоскости, проходящей через центр фо- Рис.

3!. кальных кривых и расположенной перпендикулярно к плоскостям обеих кривых. В предельномслучае мы получим эту плоскость, опять-таки дважды покрытую. Этим мы полностью исчерпали всю систему софокусных поверхностей, причем наше рассмотрение показало нам, каким образом каждое семейство заполняет пространство однократно и непрерывно. Связь между фокальными кривыми, а также связь этих кривых с соответствующими поверхностями второго порядка можно обнаружить с помощью еще одного свойства. Если мы будем рассматривать фокальный эллипс из какой-нибудь точки фокальной гиперболы в направлении ее касательной, то эллипс представится в виде круга, в центр которого направлен наш взгляд.

Следовательно, фокальная гипербола представляет геометрическое место вершин круговых конусов, которые можно прове- В Приведенная выше подвижная стержневая модель пробегает как раэ эту систему гиперболоидов, включая и предельные положения. 32 ГЛ. Е ПРОСТЕЙШИЕ ХРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ сти через эллипс, причем осью вращения каждого такого конуса служит касательная к фокальной гиперболе в вершине конуса. Точно так же все конусы, образуемые касательными к эллипсондам, софокусным с данными фокальными кривыми, проведенными из точек фокальной гиперболы, расположенных вне эллипсоида, являются круговыми конусами и притом с теми же осями, что и в первом случае.

Вообще можно доказать, что любая поверхность софокусной системы, рассматриваемая из точек фокальной кривой, расположенных вне поверхности, представляется в виде круга, причем если смотреть по направлению касательной к фокальной кривой, то взгляд будет направлен в центр круга. (Прн этом конус, образуемый касательными, может соприкасаться с поверхностью, вообще говоря, и не по окружности, а по любому коническому сечению, в том числе и по гиперболе').) Естественно возникает мысль рассмотреть наряду с фокальными кривыми также и те кривые, по которым пересекаются две различного вида поверхности софокусной системы. Такие кривые обладают одним простым дифференциально-геометрическим свойством, которое будет указано ниже ($28).

Далее, эти кривые дают первый пример кривых, не лежащих в одной плоскости. Легко видеть, что кривая, по которой пересекаются две произвольные как угодно расположенные поверхности второго порядка, не может пересечься с любой плоскостью более чем в четырех точках, если только кривая не имеет дуги, целиком расположенной на плоскости. В самом деле, всякая плоскость дает в пересечении с этими поверхностями два конических сечения; и легко аналитическим путем доказать (что, впрочем, и непосредственно очевидно), что два конических сечения пересекаются не более чем в четырех точках, если только они не совпадают или не имеют общей прямой ($24).