Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы)

Д. ГИЛЬБЕРТ, С. КОН-ФОССЕН НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Книга представляет собой одно из лучших и исторически адно из первых популярных произведений по математике, написанных крупными математиками. В книге содержится, дсйствительно, очень наглядный, но достаточна строгий рассказ о геометрических науках и теориях, в частности о геометрической кристаллографии, о тсометрдческой сущности кинематики и о топологии.

Книга вполне доступна школьникам старппзх классов, интересующимся математикой. В то же время она во многих юзавах хорошо дополняет, не дублируя, курс вузовской чатемапзкн. Эту книзу с удовольствием прочтет и зрелый математик, случайно не познакомившийся с пею в процессе своего математического образования. ОГЛАВЛЕНИЕ Вступительное слово П. С. Александрова ............ 5 Предисловие ........................

6 Глава й Простейшие кривые и поверхности й 1. Плоские кривые .................... 9 4 2. Цилиндр и конус; конические сечения и поверхности вращения, образуемые ими ........,........... 15 й 3. Поверхности второго порядка ............... 20 й 4. Посзроение эляипсоида и софокусных поверхностей второго порядка при помощи нити ................. 27 Добавления к главе! й 1. Построение конического сечения при помощи подэры ......

33 4 2. Директрисы конических сечений .............. 35 4 3. Подвижная стержневая модель гиперболоида ......,.. 37 Глава Гб Правильные точечные системы 4 5. Плоские точечные решетки ................ 40 й 6. Плоские точечные решетки в теории чисел .......... 45 й 7. '1'очечные решетки в трех и более измерениях ........ 52 4 8. Кристаллы как правильные точечные системы .....,. 60 й 9. Правильные точечные системы и дискретные группы движении .. 64 4 10, Плоские движения и их сложение. Классификация дискретных зрупп плоских движений ................. 67 9 11.

Дискретные зруппы плоских движений с бесконечной фундаментальной областью ................, 72 4 12. Федоровские группы движений на плоскости. Правильные системы точек и стрелок. Построение плоскости из конгруэнтных областей 78 4 13. Кристаллографическне классы и группы пространственных движений. !'руины и точечные системы с зеркальной симметрией ... 90 )) 14. Правильные многогранники ............... 98 Глава И!. Конфигурации й 15. Предварительные замечания о плоских конфигурациях ..... 103 4 16. Конфигурации (7з) и !8з) ................

106 4 17, Конфигурации (9з) .....,............. 110 й 18. Перспектива, бесконечно удаленные элементы и принцип двойственности на плоскости ....,............ 119 4 19, Бесконечно удаленные элементы и принцип двойственности в пространстве. Теорема Дезарга и конфигурапия Дезарга (1Оз)...

126 й 20. Сопоставление теорем Паскаля и Дезарга .......... 135 4 21, Предварительные замечания о пространственных конфигурациях 138 й 22. Конфигурация Рейс .............,.... 140 4 23. Правильные тела и ячейки и их проекции .......... 148 4 24. Исчислительные методы геомшрии ....,......., 161 4 25. ![войной шестисторонник !Плефли ............. 167 ОГЛДЛ1!ЕУП1Е Главе !К Дифференциальная геометрия и 26.

Плоские кривые .................... 175 й 27. Пространственные кривые ......, ....... 18 ! й 28. Кривизна поверхности, Случаи эллиптический, гиперболический и параболический. Линии кривизны и аснмптотические линии, точки округления, игзнгзматьные поверхности,' «обезьянье седло» .... 185 й 29. Сферическое изображение и гауссова кривизна ........ 194 9 30. Развертывающиеся поверхностш Линейчатые поверхности .... 205 9 31. Кручение пространственных кривых ............ 212 й 32.

Одиннадцать свойств шара ................. 216 й 33. Изгибание поверхностей на себя .............. 232 ! 34. Эзшиптическая геометрия ................. 235 9 35. 1 еоиегрия Лобачевского (гиперболическая геометрия). Ее взаимоотношения с евклидовой и эллиптической геометрией ..... 242 9 36. Стереографическая проекция и преобразования, сохраняющие окружности. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского ..... 248 9 37.

Методы отображений. От збражения, сохраняющие длину, сохраняющие юющади, зиодюические, непрерывные и конфармные .. 259 й 38. Геометрическая теория функций. Теорема Римана об отображениях. Конформное отображение в пространстве 263 9 39. Конформное отображение кривых поверхностей. Минимальные поверхности. Задача Плато ...„....,...... 268 Глава !'. Кинематика й 40. 1Парнирные мехавизмы ................. 272 й 41. Движение плоских фигур ................

275 й 42. Прибор дзш построения эллипсов и их рулетг ........ 283 й 43. Движения в пространстве ........,....... 285 Гяава Рй Топология 6 44. Многогранники ...,.......,........ 289 й 45. Поверхности ..................... 294 ! 46. Односторонние поверхности ............ 301 й 47. Проективная плоскость как замкнутая поверхность -,... 311 й 48. Нормальные формы поверхностей конечной связности....

Э 19 й 49. Топологнческое отображение поверхности на себя. Неподвижные точки. Классы отображений. Универсальная накрывающая тара 322 9 50. Конформпое отображение тора .............. 327 $ 51. Задачи о соседних обзшстях, задача о нити и задача о красках 331 Добавления к главе т'! 9 1. Прошггивная плоскость в четырехмерном пространстве ..... 338 4 2. Евклидова плоскость в четырехиернам пространстве ...... 339 Предметный указатель,...................

341 ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО Одно из свойств личности Гильберта как математика и как человека, мне кажется, правильнее всего назвать увлекательностью этой личности. Это свойство включает в себя и глубокое своеобразие всей личности и ее яркую творческую одаренность и, наконец, ее общую эмоциональность. Увлекательность в этом смысле была присуща и публичным выступлениям Гильберта, его университетским лекциям, в частности, в высшей степени была свойственна лекциям по наглядной геометрии, читанным Гильбертом в геттингенском университете. Этот курс лекций я имел счастье прослушать в течение летнего семестра 1923 года с начала до конца, и он произвел незабываемое, ничем не изгладимое впечатление, Приведение курса лекций к виду книги осуществил талантливый немецкий геометр С.

Кон-Фоссен, который провел последние годы своей жизни в Советском Союзе. Здесь он принял участие в подготовке первого издания русского перевода книги еНаглядная геометрия». Незадолго до начала вто. рой мировой войны С. Кон-Фоссен умер от воспаления легких, не дожив и до сорока лет. П, С. Александров ПРЕДИСЛОВИЕ В математике, как и вообще в научных исследованиях, встречаются две тенденции: тенденция к абстракции — она пытается выработать логическую точку зрения на основе различного материала и привести весь этот материал в систематическую связь — и другая тенденция, тенденция к наглядности, которая в противоположность этому стремится к живому пониманию объектов и их внутренних отношений.

Что касается геометрии, то в ней тенденция к абстракции привела к грандиозным систематическим построениям алгебраической геометрни, римановой геометрии и топологии, в которых находят широкое применение методы абстрактных рассуждений, символики и анализа. ~Тем не менее и ныне наглядное понимание играет первенствующую роль в геометрии, и притом не только как обладающее большой доказательной силой при иссле. довании, но и для понимания и оценки результатов исследования. Здесь мы будем рассматривать геометрию в ее современном состоянии с наглядной стороны. Руководствуясь непосредственным созерцанием, мы сможем уяснить многие геометрические факты и постановку вопросов и благодаря этому во многих случаях мы сможем также изложить в наглядной форме методы исследований и доказательств, которые приводят к пониманию теорем без введения в рассмотрение деталей абстрактных теорий и выкладок.

Например, доказательство того, что сфера со сколь угодно малой дырой зсе еше разгибаема, или что два различных тора не всегда могут быть конформно пи вднсловив отображены друг на друга, можно представить в такой форма, которая дает представление о ходе доказательства, не заставляя следовать за деталями аналитиче. ского изложения. Благодаря разносторонности геометрии и ее отношениям к различным ветвям математики мы получим, та.

ким образом, обзор математики вообще и представление об изобилии ее проблем и о богатстве содержащихся ,в ней идей. Так, с помощью наглядного рассмотрения выявятся результаты важнейших направлений геометрии, содействующие справедливой оценке математики в широкой публике. Ибо вообще математика не пользуется популярностью, хотя ее значение и признается. Причина этого лежит в распространенном представлении о математике как о продолжении и более высокой ступени счетного мастерства. Этому представлению должна противостоять наша книга, в которой вместо формул при« ведено много наглядных фигур, которые читатель легко дополнит моделями.

Книга должна послужить увеличению числа друзей математики, облегчая читателю проникновение в математику без необходимости изучения ее, сопряженного с известными трудностями. При такой целеустановке благодаря богатству мате. риала не может быть никакой речи о систематичности н полноте изложения; не могли быть исчерпаны также и отдельные темы. Далее невозможно во всех разделах этой книги предполагать у читателя равную степень математической подготовки. В то время как вообще изложение совершенно элементарно, некоторые прекрасные математические исследования можно изложить вполне понятно только прошедшим уже некоторую школу, если избегать утомительных длиннот.

Все добавления к отдельным главам предполагают известное предварительное образование. Они всегда дополняют„а не поясняют текст. Различные ветви геометрии находятся в тесных и часто неожиданных взаимоотношениях друг с другом. лгедисловив В нашей книге это очень часто проявляется. При большом разнообразии материала было все же необходимо придать каждой отдельной главе известную законченность и в последующих главах не предполагать полно~о знания предыдущих; путем отдельных маленьких повторений мы надеялись достигнуть того, что каждая отдельная глава, а иногда даже отдельные разделы представляют интерес сами по себе и в отдельности доступны пониманию читателя.