Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 10

Следовательно, если т и и принимают значения всех целых чисел, то Ь//(т, п) дает расстояние соответствуюших точек решетки от начала координат. По теореме, приведенной в начале главы, имеется точка Р решетки, для которой это расстояние не превы- / 2 шает А/ — . Отсюда для двух целых чисел т, и, соответ- М,/з ствующих точке Р, имеем: что и требовалось доказать, Этот результат можно применить к решению задачи о при. ближении действительных чисел рациональными.

Пусть а произвольное действительное число; рассмотрим форму: /(т и) = ( — "" '" ) + е'пг = — т' — 2-"г тп -(- ( — ", -)- ег) и' Определитель этой формы: ! а' аг В= —,( —,+ ) — —,=П При этом е пусть будет произвольным положительным числом. Как мы видели, всегда имеются два целых числа т, и, для которых удовлетворяется неравенство: (аи — в) + 5 6. ПЛОСКИЕ ТОЧЕЧНЫЕ РЕШЕТКИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 49 Значит, имеют место следующие соотношения: )ап — гп )< / 2 откуда получаем '): ( и ( ( —,ТТ / = .

1 / 2 Если а иррационально, то левая часть первого неравенства не может быть равна нулю. Значит, мы необходимо получим бесконечно много пар чисел т, а, если будем давать е все меньшие гп значения; ибо тогда разность ~а — — ~ будет безгранично убыл вать. Таким способом мы получаем последовательность рацио~и нальных чисел —, приближаюших иррациональное число сс сколь угодно точно. С другой стороны, при помощи второго неравенства мы можем исключить е.

В результате получаем: Итак, мы имеем последовательность приближающих дробей, причем точность приближения пропорциональна квадрату знаменателя, т. е. мы получаем довольно хорошие приближения при сравнительно малых знаменателях. 3. Теорема Минковского. Минковскому удалось доказать теорему относительно точе шых решеток, которая, несмотря на ее простоту, разъяснила много различных проблем теории чисел, не поддававшихся решению другими методами, Для ясности мы не будем приводить здесь эту теорему во всей общности, а удовлетворимся специальным случаем, который можно очень легко сформулировать и который тем не менее содержит все сушественное для понимания метода.

Эта теорема гласит: Если в произвольной плоской единичной решетке выбрать квадрат со стороной 2, имеющий центр в точке решетки, то внутри этого квадрата или на его сторонах, по крайней мере,лежит еще одна точка решетки. Для доказательства представим, что в плоскости решетки ограничена какая-нибудь большая область, например внутренность и граннца круга большого радиуса г, имеющего центр в точке решетки. Вокруг каждой точки решетки, попавшей в эту ') деление иа и при достаточно малом е допустимо. так как при / 2 и.= О неравенство ~ап — т~ < е ~ = не могло бм иметь места. "т/ ч/з ГЛ. !1 ПРАВИЛЬНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ область, опишем квадрат со стороной з, принимая точку решетки за центр (рис.

43). Потребуем теперь, чтобы эти квадраты нигде не перекрывались, как бы велико ни было г„ и, исходя из этого требования, оценим длину з стороны квадрата. Так как согласно принятому нами выше обозначению во взятой области расположено 1(г) точек решетки о о и квадраты не перекрываются, о то общая плошадь их равна з'1(г). С другой стороны, эти квадраты наверно попадут внутрь о! о большего концентрического о о круга радиуса г+ 2з.

Таким о 'а образом получаем оценку: о и ЕА1 (г) (и(!. + 2з)с о о о о о о о о о о о о о о о 'О о о о а о о о а о д о о! о ! о !о ! о! о с! о 6 о о о о о или о о о о" о о о о а Ь о о а о о о о о о о о а о о о о Если теперь мы дадим з определенное значение и заставим г безгранично возрастать, то, как видно из наших прежних исследований значений 1(г), правая часть неравенства будет стремиться к единице. Отсюда мы получаем для з условие: э ~ ~1. Так как имеются только две возможности, т. е. квадраты либо перекрываются, либо не перекрываются, то для каждого положительного сколь угодно малого числа е всегда будет происходить перекрытие, если исходить из квадратов со стороной 1 + е.

При этом можно вращать квадраты произвольным образом вокруг их центров, так как мы не сделали никаких предположений относительно их взаимного расположения. Будем предполагать, что все квадраты расположены параллельно друг другу. Если мы теперь возьмем два перекрывающихся Рис.

44. квадрата а и Ь с центрами в точках А и В (которые по предположению являются точками решетки), то и середина отрезка А — точка М должна находиться внутри обоих квадратов (рис. 44). Для краткости будем называть все точки, которые делят пополам отрезки, соединяющие между собой две точки решетки, 4 с плОские тОчечные Решетки в теОРии чисел 6! аполовинными» точками решетки. 1'огда мы можем заключить: всякий квадрат а, имеющий стороны длиной ! +е и точку решетки в центре, должен содержать внутри себя половинную точку. Ибо если мы вокруг всех остальных точек решетки построим квадраты, ковгруэнтные и одинаково расположенные с а, то должны иметь место перекрытия, а так как все квадраты у нас равноправны, то и сам квадрат а должен частично перекрываться с некоторым другим квадратом Ь, т. е. содержать половинную точку М, полученную, как показано на рис.

44. А теперь доказательство легко доводится до конца косвенным путем. Если бы было возможно вокруг точки А решетки как центра построить квадрат со стороной 2, не содержащей ни внутри, ни на сторонах других точек решетки, то можно было бы несколько увеличить этот квадрат, сохранив направление сторон и положение центра, так чтобы и больший квадрат а' со стороной 2(! + е) не содержал внутри себя точек решетки. С другой стороны, если мы опять сократим этот квадрат вдвое, сохранив направление сторон и положение центра, то получим квадрат а со стороной 1 + а и точкой А решетки в центре, который по только что доказанному должен содержать половинную точку М 4 Мы получили противоречие, Ибо если мы про.

н должим отрезок АМ на равное ему расстояние до точки В, то точка В должна быть точкой решетки, и из взаимного расположения квадратов а и а' следует, что эта точка решетки должна Рис. 45. лежать внутри квадрата а' (рис. 45). Чрезвычайно плодотворное применение находит теорема Минковского к упомянутой уже проблеме приближения действительных чисел рациональными. Мы можем поступать совершенно так же, как выше, но получим несколько лучший резуль- тат, При помощи зао о о данного действитель- о~=Р ного иррационального о числа сс построим решетку, точки которой о -/ =и имеют декартовы ко- ординаты о о о аа — т х=, у =зп, Рис.

46. где т, п принимают значения всех целых чисел, а з — произвольное положительное число. Как и выше, убеждаемся, что эта решетка является единичной решеткой; на рис. 46 изображен элементарный параллелограмм решетки, причем предположено, что 0 ( и (!. Если мы построим квадрат 52 ГЛ. 11.

ПРАВИЛЬНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат и равными 2, то по теореме Минковского этот квадрат должен содержать еще точку решетки. Эта точка отмечена двумя определенными числами т, л, которые не могут одновременно равняться нулю. С другой стороны, координаты точек внутри квадрата и на его сторонах удовлетворяют неравенствам: 1х1(1, 1у1(1. Значит, числа т, л удовлетворяют неравенствам: » (1, 1 ел ~ » (1, или Это опять дает последовательность дробей †„, сколь угодно точно приближающих число а. Исключая е, получаем: Таким образом теорема Минковского доказывает существование последовательности дробей, приближающих а еще лучше, чем это имело место для последовательности, построенной в предыдушем параграфе, ибо там мы получили приближение 2 которое является более слабым, так как =) 1.

ч~з Методы, приведенные в настоящем параграфе, применимы не, только на плоскости, но и в пространствах любого числа измерений, благодаря чему возможно получить значительно более общие теоретико-числовые результаты. $ 7. Точечные решетки в трех и,более измерениях Пространственная точечная решетка получится в том случае. если применить к трехмерному параллелепипеду тот же способ, при помощи которого мы получали плоскую точечную решетку из параллелограмма. В пространстве одна и та же решетка также может быть построена при помощи параллелепипедов различного вида, но для этого они должны иметь равные объемы.