Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 13

Возникает вопрос, нельзя ли построить кристаллы целиком, так же как молекулы, путем дальнейшего последовательного гл. и. правильные точечные системы 62 присоединения атомов, Покажем возможность такого построения сперва на простейшем случае, когда кристалл состоит из одного единственного элемента. Для этого возьмем алмаз, который, как известно, представляет собой чистый углерод, Эадача состоит в том, чтобы так соединить друг с другом атомы углерода, рассматриваемые как точки с четырьмя отростками каждая, чтобы каждая точка была по возможности симметрично связана с четырьмя другими точками при помоши двух совпадаюших отростков.

)г Вопрос о возможности такого Н построения есть чисто геомет- // рический вопрос. Оказывается, /// С // что такая конструкция дейст- / // / вительно осушествима; для / у / 4 / этого следует расположить ато. Н мы так же, как расположены центры шаров при тетраэд/ ральном расположении, ибо, С ; как видно из построения, про- Н - — — — Н неценного в $7, тогда каждая точка имеет ровно четыре бли- Н жайц)их соседних точки, поот ношению к которым она рас Рис. 55 положена так же, как центр правильного тетраэдра по отношению к вершинам (рис. 51, 52, с.

57 — 58). Как показали исследования обоих Враггов, алмаз действительно геометриче. ски таким образом построен из своих атомов. Расстояния между соседними точками составляют согласно этим измерениям 1,53 10 ' см '). Помимо алмаза сушествует другой кристалл, составленный исключительно из атомов углерода, а именно графит. Измерения показывают, что у графита отростки атома углерода расположены несимметрично и даже не равны по длине, а именно один отросток удлинен. до 3,41 10 †' см, между тем как другие трн отростка укорочены до 1,45.10-' см Последние трн расположены приблизительно в одной плоскости. Насколько точно в действительности лежат эти отростки в одной плоскости, экспериментально недостаточно выяснено; для дальнейшего достаточно принять, что они расположены точно в одной плоскости.

При этом условии пространственная решетка графита может быть описана следуюшим образом. Построим плоскую систему ') В кристаллах сериистого цинка (Епз) атомы также имеют тетразд. ральиое расположение. Атомы цинка Еп и серы 5 образуют две решетки, из которых мы строили зту систему точек (рис. 55 с. 57). з а кгистхллы как пгхвильныв точгчнмг системы 63 правильных шестиугольников, в вершинах которых расположены атомы (рис. 56).

При таком плоском расположении у каждого атома использованы три валентности. Для того чтобы связать Рис. 66 этот слой с верхним и нижним слоями, отростки пока свобод. ной четвертой валентности должны быть попеременно направлены вверх и вниз, Тогда все слои в самом деле окажутся конг. руэнтными и точки среднего слоя будут лежать на одной вертикали то с точками верхнего слоя, то с точками нижнего слоя попеременно.

Таким образом можно продолжать построение неограниченно во все стороны. Две правильные точечные системы, которые были установлены для алмаза и графита, объясняют некоторые различия в физическом поведении обоих кри. сталлов, например значительно ббльшую ломкость и сжимаемость рФ .О В дру различий встречает значительные трудности. Пример кристалла, составленного из различных атомов, представляет поваренная соль (г(аС!). ° Кристалл поваренной соли представляет собой кубическую решет- Рнс 57 ку, вершины которой занимают атомы хлора и натрия попеременно (рис. 57).

Расстояние между соседними точками решетки составляет 2 10-' см, т. е. болыпе кратчайшего и меньше длиннейшего отростка атома углерода в графите. В кристалле поваренной соли каждая точка решетки имеет шесть соседних точек. Между тем атомы натрия и хлора одновалентны. Значит, этот кристалл не соответствует рассмотренной выше теории валентности. Вообше не сушествует непосредственной связи между валевтвостями атомов, из которых Гл. !е пР»вильныР точечные системы В4 составлен кристалл, и числом соседних точек у каждой точки решетки. Алмаз, у которого оба числа совпадают, представляет исключение.

Замечательно, что в решетке поваренной соли нет пар точек, которые могли бысоответствовать молекулам (ЫаС!).Иначе говоря, решетка составляется непосредственно из атомов обоих видов. В противоположность атому имеются другие кристаллы, в которых без большого произвола можно обнаружить молекулы или по меньшей мере комплексы атомов В расположении пространственной решетки полевого шпата (СаСО,), например, комплекс атомов СО, четко проявляется как нечто связное.

В то время как в алмазе осуществляется тетраздральная упаковка шаров, у большого числа кристаллов мы находим «кубическую решетку с центрированными гранями», которой соответствует та из наиболее плотных упаковок шаров, в которой от слоя к слою переходят одинаковым способом (рис. 48, а, б, с. 54). Другой тип наиболее плотного расположения шаров, когда система углублений меняется от слоя к слою (рис. 47, с.

54), встречается, например, в кристалле магния. Такое расположение называется «плотнейшим гексагональным расположением шаров». й 9. Правильные точечные системы и дискретные группы движений Кристаллография приводит нас к чисто геометрической задаче: установить все возможные правильные расположения объектов, например атомов. Так как для многих целей мы можем представить себе объекты в виде точек, то мы называем подобное расположение правильной точечной системой. В соответствии с изложенным выше мы определим правильную точечную систему следующими тремя свойствами: !. Правильная плоская или пространственная точечная система должна содержать бесконечное множество точек, причем число точек, лежащих внутри круга или шара, должно возрастать пропорционально квадрату или, соответственно, кубу его радиуса до бесконечности. 2. Правильная точечная система должна содержать во всякой конечной области лишь конечное множество точек.

Э. Правильная точечная система должна иметь одинаковое расположение по отношению к любой из своих точек. Первые два определяющих свойства понятны без дальней. ших разъяснений. Третье свойство можно пояснить следующим образом: проведем из определенной точки системы линии, соединяющие ее со всеми другими точками системы, и сделаем то же самое с какой-нибудь другой точкой системы. Тогда третье э р, прхвильныв системы и дискрвтные гргппы движении вб определяющее свойство говорит, что обе образованные таким образом фигуры, составленные из прямолинейных отрезков, конг.

руэнтны, т. е. при определенном движении плоскости или пространства одна фигура может быть переведена в другую. Таким образом, находясь в наной-нибудь точке системы, мы не можем путем измерений установить, какая это точка, ибо все точки одинаково расположены одна по отношению к другим. Однако для того чтобы удовлетворить третьему требованию, вовсе нет необходимости в проведении соединительных линий; нужно только потребовать, чтобы каждая точка системы могла быть так пе. реведена определенным движением плоскости или пространства в любую другую точку, чтобы в каждом месте, где раньше находилась точка системы, и после движения находилась бы точка системы, и обратно. О таком движении мы говорим, что оно оставляет точечную систему неизменной или инвариантной, а всякое движение подобного рода называем совмещением системы. При помощи этого понятия можно сформулировать третье свойство следующим образом: 3.

Всякая точка правильной точечной системы может быть переведена во всякую другую точку путем совмещения систем ы. Из нашего определения правильной точечной системы следует, что точечные решетки, которые мы определяли путем построения из элементарного параллелограмма или параллелепипеда, принадлежат к правильным точечным системам. Введение нового понятия оправдывается, однако, тем, что существуют правильные точечные системы, как, например, пространствен. ная «решетка» алмаза, которые ие являются точечными решетками.

Теперь мы переходим к установлению совокупности всех различных правильных точечных систем. При этом оказывается, что к точечным решеткам нужно добавить только такие фигуры, ко. торые подобно алмазной решетке состоят из нескольких вставленных друг в друга конгруэитных и параллельно расположениык точечных решеток. С первого взгляда свойства, которыми определяется правиль. ная точечная система, кажутся столь общими, что вообще трудно поверить в возможность геометрически обозреть все эти фигуры; тем не менее в действительности такое обозрение воз. можно.

Мы сумеем его сделать, если проследим за совмещениями системы. Совокупность всех совмещений правильной точечной системы обладает двумя характерными свойствами, существенно облегчающими исследование их: во-первых, два совмещения, проведенные последовательно одно за другим, всегда вновь дают 3 Д. Гильбере, С. Коеороссее ГЛ. Н, ПРАВИЛЬНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ совмещение, а, во-вторых, движение, которое преврашает какое' нибудь совмещение в первоначальное, всегда само есть сонме» щение.

Всякая совокупность преобразований, обладающая ука. ванными двумя свойствами, называется в математике группой преобразований. Чтобы можно было пользоваться обоими свой» ствами для вычислений, будем обозначать каждое преобразова. ние одной буквой, например а или Ь.