Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 11

Далее, восемь вершин такого параллелепипеда должны совпадать с восемью точками решетки, а внутри параллелепипеда не должно быть ни одной точки решетки. Мы будем называть решетку единичной, когда образующий ее основной параллелепипед имеет объем, равный единице.

4 7. ТОЧЕЧНЫЕ РЕШЕТКИ В ТРЕХ И БОЛЕЕ ИЗМЕРЕНИЯХ бз В силу тех же соображений, какие мы имели для плоскости, для пространственной единичной решетки также не существует положительной нижней границы наименьшего расстояния между двумя точками решетки, но заведомо имеется верхняя граница этой величины. Так как определение верхней границы в данном случае ничем не отличается от определения этой границы для плоской решетки, то мы можем его здесь опустить. Роль, которую в плоскости играл равносторонний треугольник, в пространстве переходит к правильному тетраэдру. Однако в то время как на плоскости основной параллелограмм состоит из двух равносторонних треугольников, соответствующий ему в пространстве параллелепипед — правильный 'ромбоэдр — состоит из двух правильных тетраэдров и одного правильного октаздра (рис. 50, с. 56)').

Объем этого параллелес' пипеда равен =, где с — длина ребра тетраэдра. Этот объем Ч/2 должен быть равен единице. Из соотношения — =1 получаем .чГ2 с = ~/2 . Следовательно, в пространственной единичной решетке на расстоянии ~/2 от каждой точки решетки всегда должна находиться по крайней мере еще одна точка решетки. Аналогично тому, как это было на плоскости, наш вывод одновременно разрешает задачу наиболее плотного решетчатого расположения шаров, Такое расположение будет достигнуто в том случае, когда центры шаров образуют ромбоэдральную решетку. Если радиусы шаров равны 1, то длина ребер тетраэдра равна 2, и, следовательно, объем элементарной ромбоэдральной области равен: 2* — = 4 х/2. ч6 Следовательно, область пространства, имеющая объем У, содеру жит приближенно — точек решетки и, значит, столько же 4 Ч/2 единичных шаров заданного расположения.

Так же, как на плоскости, это соотношение тем точнее, чем больше У. Опишем более подробно это расположение шаров. Вообразим себе сначала плоский слой, составленный из единичных шаров, так что их центры образуют решетку плотнейшего расположения 0 На плоскости иаиболее плотиая упаковка кругов приводит к иеярерывиому заполиеиию плоскости коигруэитиыми равиостороииими треугольииками.

Можио было бы думать, что аиалогичиая простраиствеииая задача приводит к построеиию простраиства из коигруэитиых правильиых тетраэдров. Одиако можио доказать, что яростраиство ие может быть построеиа из коигруэитиых правильиых тетраэдров. Гл. и правит!нные то'!ечиыг Гистгм1,! кругов па плоскости. Очевидно, »ы таким образом получим наиболее плотную плоскую упаковку !паров.

Возьмем теперь второй такой же слой и постараемся пало!нить его иа первыи слой так, чтобы оба слоя оказались т!ежду двумя параллельнымп плоскостянп, расстояние т!ежду которыми было бы воз!!о ьно мсишие, Что!Зы достигнуть этого, необходимо положить шары второго слоя как раз в углубления, получившиеся между шарам!и порно!о сло ! Однако при этом иехватпт места для заполнения вес' таких углублений, и необходимо все врет!я перескакивать '!срез одно углубление (рис. 42, с. 44).

Гели теперь мы захотим таким же образом наложить третий слой шаров на первые два, то взаимное расположение трех слоев еще не определено однозначно. С одной стороны, можно так надоя ить третий слой в углубления гторого, что первый и третий слои будут расположены симметрично относительно второго (рис. 47). Рнс. 48.

Рнс. 47. С другой стороны, мы можем положить и!ары третьего слоя в углубления, остающиеся незаполненными при только что указанном расположении (рис. 48, а, б); тогда первый слой будет переходить во второй прн посредстве такого же смещения, как и второй в третий.

В этом случае бесконечное повторение этого же смешения в обе стороны ласт упаковку шаров в виде ромбоэдральной решетки. Таким образом, в то время как на плоскости наибольшая плот1юсть достигалась единственным способом упаковки кру!ов, та ъе сат!ая задача в пространстве прпводптпокрайней мерекднум сонер!ивино различным упаковка!! шаров '). При этом центры и!аров нооб!це пе должны образовывать правильиоп фигуры во всем пространстве, так как кюжио при переходе от слоя к слою произвольно выбирать один пз двух способов расположения.

Однако один признак свойственен всем описанным упаковкам: каждый шар соприкасается Звмшпм, что во втором слу1ас чь! нмссм рсшстчатую упаковку, а в нсрвом нсрсшстчвту!о. См. также стр 89 — 60. — Прим реп $ У, ТОЧЕЧНЫЕ РЕШЕТКИ В ТРЕХ И БОЛЕЕ ИЗМЕРЕНИЯХ 55 всегда точно с двенадцатью другими шарами, именно с шестью шарами того же слоя и с тремя шарами выше и ниже лежащих слоев.

Вопрос о наиболее плотной решетчатой упаковке шаров был изучен также и для пространств четырех и пяти измерений ~). Замечательно, что при этом обнаружилось, что точечная решетка, которая в пространствах высших измерений соответствует треугольной и ромбоэдральной, не дает наиболее плотной упаковки шаров. Результаты исследований сведены в следующей таблице: Таблица Плотность расположения шараа Кратчайшее расстояние межну то саами — = 1,075 2 чуЗ Плоскость 0,289м = 0,907 Обычное пространство — . — и = 0,740 ~,~2 4 8 3 тоа — = 0,617 16 — пз = 0,465 ТУ2 60 з/г =1дгг с1етырехмериое про- странство Пятимерное простран- ство ЗГ2 = 1,189 ~с З/2 = 1,074 (Объем шара единичного радиуса в четырехмерном пространна 8п' стве равен —, а в пятимерном —.

) 2 15 Есть еще целый ряд правильных упаковок шаров, представляющих интерес, хотя плотность их и не является наибольшей. В качестве примера можно назвать кубическую упаковку шаров, при котором (центры единичных (т. е. радиуса, равного единице) шаров образуют такую же решетку, какая получается из куба с ребром, равным 2. При этом каждый шар соприкасается в точности с шестью соседними шарами; можно, значит, ожидать, что плотность этой упаковки намного меньше плотности ромбоэдральной решетки, в которой каждый шар соприкасается с двенадцатью другими. Чтобы доказать это, расположим кубическую решетку так, чтобы каждый куб заключал как раз один шар.

Объем куба со стороной 2 равен 8; значит, в некоторой большой части пространства объемом в 8х всегда заключено х ') Сейчас известны решетки наиболее плотной решетчатой упаковки для пространства и ( 8 измерений (Блихфельдт, 1935Б Результат для и = 4 и 5 принадлежит А. П. Коркину и Б. И. Золотареву, 1872, 1877. — Прим. рзд ГЛ. !Ь ПРАВИЛЬНЫЕ ТОЧЕЧНЪ|Е СИСТЕМЫ 4 шаров. А так как объем единичного шара равен — и, то плот.ность кубической упаковки ! 4 и В= — ° — н = — = 0,524. 8 3 6 Далее напрашивается противоположный вопрос о наименее плотной правильной упаковке шаров в пространстве, при котором шары еще удерживаются друг другом. При этом каждый шар должен соприкасаться по крайней мере с четырьмя другими, центры которых не лежат в одной плоскости и не расположены на одном полушарии; в противном случае наш шар не удерживался бы соседними шарами.

Оказывается, получается значительно менее плотная упаковка, если каждый шар соприкасается в точности с четырьмя другими, причем их центры служат вершинами правильного тетраэдра. Ниже Еиы построим систему точек, расположенных таким образом.

Потом мы исследуем, действительно ли такая упаковка шаров наименее плотна. Добавим к точкам кубической решетки центры граней кубов. Получающаяся фигура, составленная из точек, опять представляет решетку (кубическую решетку с центрированными гранями), ибо она порождается смещением параллелепипеда АВСВЕЕОН (рис. 49 и 50). (Эти две фигуры иллюстрируют уже Рис. 60.

Рис. 49. упомянутый выше факт, что одна и та же решетка может по. рождаться весьма разнообразными элементарными телами.) На рис. 50 видно, что получающаяся решетка есть как раз решетка наиболее плотной упаковки шаров. В самом деле, параллелограмм АВЕВ определяет на плоскости АВВ решетку, составленную из равносторонних треугольников; ближайшая параллельная плоскость, в которой распо. ложены точки решетки, есть СЕВ и точки решетки на этой пло.

й т. точнчнын рвшетки в трнх и волан измврнниях бт скости расположены над первыми так, что образуют с ними правильные тетраэдры, как, например, АВСР, Возьмем дополнительно к решетке К еще другую, конгруэнтную ей решетку Е, получающуюся из К путем смещения в направлении главной 'диагонали АН куба на расстояние, равное четверти длины диагонали (рис.

51). (Точки решетки К на рис. 51 светлые, точки решетки 5 — темные.) Можно утверждать, что точки решеток К и Л вместе представляют центры искомого «тетраэдрального» расположения шаров; при этом радиус шара должен равняться — АА', где А' — точка ре- 2 щетки 1„получившаяся из точки А. В самом деле, из нашего построения получается, что точка А' одинаково удалена от тех точек, которые на рис.