Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 14

Преобразование, которое получится, если провести сперва а, а потом Ь, будем всегда обозначать символом аЬ. Преобразование, обратное преобразованию а, обозначим через а-'. Если объединить оба свойства„ которыми мы определилн группу, в одной формуле, то мы придем, например, к преобразованию аа-'. Эта операция, очевидно, оставляет все точки некзменными. Тем не менее удобно рассматривать ее как особый случай преобразования.

Она называется тождественных преобразованием или единицей и обозначается буквой е. В символических вычислениях преобразование е играет роль, аналогичную роли единицы нрн умножении чисел; имеем всегда ае = еа = а. Если к какой-нибудь точке системы мы будем применять все возможные совмещения системы, то, согласно третьему определяющему свойству правильной точечной системы, мы будем по» лучать из этой точки все другие точки правильной системы. С другой стороны, согласно определению совмещения при этом ни одна точка системы не может перейти в точку, не принадле.

жашую к системе; в противном случае это движение не остав ляло бы систему неизменной. Говорят вообще, что точка экви. валенгна другой точке по отношению к некоторой заданной группе преобразований, если одна точка получается из другой путем одного из преобразований данной группы. В соответствии с этим правильная точечная система состоит из совокупности всех точек, эквивалентных некоторой определенной точке по отношению к группе совмещений, Значит, в силу второго определяюшего свойства правильной точечной системы, в каждой конечной области имеется лишь конечное множество точек, эквивалентных какой-нибудь определенной точке. Если вообще в каждой конечной области находится лишь конечное множество точек, эквивалентных любой из точек по отношению к некоторой группе преобразований, то такая группа называется дискретной.

В соответствии с этим группа совмещений правильной точечной системы всегда должна быть дискретной. Казалось бы вполне допустимо, чтобы для точки не принадлежащей к системе, мы имели в конечной области бесконечное множество эквивалентных точек. Однако непосредственно очевидно и легко может быть строго доказано, что в таком случае и для точек системы мы должны были бы иметь бесконечное множество эквивалент» ных точек в конечной области, 1 пе плосКие движвния и их сложенип Итак, мы должны искать группы совмещений исключительно среди дискретных групп движений плоскости и пространства, а правильные точечные системы — исключительно среди систем точек, эквивалентных какой-нибудь точке относительно такой группы.

Таким, казалось бы, окольным путем можно провести исследование наиболее просто. Оказывается, что вообще существует лишь конечное множество сушественно различных дискретных групп движений на плоскости и в пространстве. Если мы найдем для этого конечного числа групп системы точек, эквивалентных некоторой точке, то эти системы заведомо должны будут удовлетворять второму и третьему определяющим свойствам точечной системы. В противоположность этому существуют группы, не обладающие первым свойством.

Эти последние группы нам необходимо также исключить. Оставшиеся группы, и только они, приводят нас к правильным точечным системам. В связи с тем значением, которое имеют правильные точечные системы для кристаллографии, дискретные группыдвижений, приводящие к правильным точечным системам, называются кристаллографическими ') группами движений. Теперь перейдем к установлению дискретных групп движений. Нам придется ограничиться движениями плоскости, так как аналогичные исследования для пространства завели бы нас слишком далеко, заставив выйти за пределы этой книги. Даже для случая плоскости дискретные группы движений требуют довольно обширного исследования.

Тем не менее мы проведем это исследование полностью, так как при этом мы познакомимся с методами, характерными н для случая пространства. й 1О. Плоские движения и их сложение. Классификация дискретных групп плоских движений В дальнейшем мы будем называть отображение плоскости на самое себя плоским движением, если конечное положение плоскости может быть получено из начального положения непрерывным движением плоскости как твердого тела, и притом таким движением, при котором траектории всех точек плоскости лежат в самой плоскости. В остальном плоское движение будет характеризоваться только начальным и конечным положениями, независимо от того, как в каждом отдельном случае в действительности происходило перемещение; при этом, конечно, перемещение может происходить различным образом, так что траектории могут даже частично выступать из плоскости или могут происходить деформации, которые в конце концов исчезают.

Для наших целей достаточно потребовать только возмоясности такого В Ивв, в честь Е. С. Федорове, — федоровсквмв. — Прим. ред. Гл. ть прдвильные тОчечные системы 68 перемещения, как опо описано выше. Одна из первых наших задач будет заключаться в том, чтобы найти для каждого данного плоского движения наиболее простой вид перемещения.

Простейшее из плоских движений есть параллельный перенос'), при котором все точки движутся в 'плоскости в одном н том же направлении на равные расстояния и каждая прямая остается параллельной самой себе. Следующий часто встречающийся тип плоских движений представляют вращения плоскости вокруг какой-нибудь точки на определенный угол (поворот). Прн этом направление каждой прямой изменяется на тот же угол'), и кроме центра вращения ни одна точка плоскости не остается неподвижной.

При любом плоском движении, отличном от тождественного преобразования, можно указать самое большее одну точку, остающуюся неподвижной. В самом деле, если мы закрепим две точки плоскости, то кроме тождественного преобразования существует только одно преобразование плоскости в самое себя, которое можно получить движением плоскости как твердого тела; оно получается, если повернуть плоскость на 180' вокруг прямой, соединяющей две закрепленные точки. Это преобразование не принадлежит к числу тех, которые были указаны в начале параграфа. Оно не ьюжет быть получено прн помощи вышеуказанных перемещений.

В самом деле, при таком преобразовании окружность, описываемая движением точки слева направо, всегда переходит в окружность, описываемую справа налево, между тем как при плоском движении нельзя получить изменение направления вращения на обратное, что следует из непрерывности этого движения. Наше рассмотрение показывает, что плоское движение вполне определяется изображениями двух точек. В самом деле, два плоских движения, преобразующие одинаковым образом две какие бы то ни было точки, могут отличаться одно от другого только на плоское движение, которое должно оставлять неизменными две точки, иначе говоря, не могут отличаться друг от друга.

Обозрение плоских движений значительно облегчается бла. годаря тому, что каждое такое движение можно получить путем только одного параллельного переноса или только одного поворота. Чтобы доказать наше утверждение, допустим, что нам дано определенное плоское движение 6; если исключпть тривиальный случай тождественного преобразования, то можно ') В дальнейшем, ради краткости, параллельный перенос мы будем называть просто переносом. з) Для прнмых, проходящих через центр вращения, зто очевидно.

Для всякой прямой зто следует из того, что каждая прямая имеет параллельную прямую, проходящую через центр вращения, а все параллельные прямые остаются параллельными при всяком движении. Ф ~ю. плоскив двнжвння н нх сложения выбрать некоторую точку А, которая переходит в А'. Пусть В есть середина отрезка АА'. Точка В может либо оставаться неподвижной, либо перейти в другую точку В'. В первом случае (рис. 58) наше утверждение во всяком случае оправдывается. В самом деле, в этом случае можно заменить заданное движение Ь вращением вокруг точки В на угол и. Это вращение Ь' переводит точки А и В в те же точки А' и В, как и заданное движение Ь.

Но мы видели, что плоское движение вполне опреде. ляется двумя точками и положением их образов, следовательно. л л л д' я и~ ж л Рис. 58. Рис. 59. движения Ь' и Ь должны совпадать. Если же В переходит в другую точку В', то опять будем различать частный случай, когда В' лежит на прямой АА', и общий случай, когда АА' и ВВ'— различные прямые. В первом случае можно видеть, что В' однозначно определено; действительно, пасстояние между А и В должно оставаться неизменным при движении Ь.

А так как по построению АВ = А'В, то должно быть также А'В' = А'В. Этим равенством и условием В' ~ В точка В' определяется однозначно (рис. 59). Но если так, то можно 'заменить движениеЬ .переносом, преобразующим А в А', ибо такой перенос переводит также точку В в заданную точку В'. Итак, остается еще рас. смотреть последний случай. Для этого восставнм в точке В перпендикуляр к прямой ЛВ и точно также в точке В' перпендикуляр к прямой Л'В' (рис. бО).

Так как оба перпендикуляра по Л й й' предположению и по построению не совпадают и не параллельны, то они пересекаются в некоторой точке М. Мы утверждаем, что моюкно заменить движение Ь тем пово- В вч ротом вокруг точки М, который переводит точку А в точку А'. Для доказательства Рис 60. следует показать, что при этом точка В переходит в В', но это следует из конгруэптности треугольников АМВ и А'МВ'. Мы имеем, с одной стороны, АМВ.:" А'МВ, нбо оба треугольника имеют прямые углы при точке В и равные катеты, а, с другой стороны, А'В'Мс' А'ВМ, ибо эти треугольники имеют прямые углы при точках В и В' и обшую гипотенузуА'М и, кроме того, как мы' уже упоминали, А'В' = АВ = А'В.