Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 9

Сле- ! доеательно, —, больше или равно кратчайшему расстоянию граничной линии полосы от д. Это расстояние, очевидно, есть высота равностороннего треугольника со стороной с; итак, мы имеем: с( ~~— эгз / 2 Число ьг — есть искомая верхняя граница для с. Это экстре. '11 ~/з мальное значение действительно достигается в некоторой решетке, а именно, как можно усмотреть из рис. 41, в решетке, у которой образующий параллелограмм составлен из двух равносторонних треугольников. Путем увеличения или уменьшения мы можем получить любую решетку из единичной решетки. Если а' есть площадь элементарного параллелограмма некоторой решетки, а . С вЂ” наименьшее расстояние двух точек решетки, то имеем: С(а~ Знак равенства и в этом случае имеет место тогда и только тогда, ког.

да решетка составлена из равносторонних треугольников. При задаыыол Рис. 42. наименьшем расстоянии эта решетка имеет, следовательно, наименьший элементарный параллелограмм. 1!о, как мы видели (с. 41 — 42), площадь большой фигуры приближенно равна числу точек решетки внутри фигуры, помноженной иа площадь элементарного параллелограмма. Следовательно, из всех решеток с заданным наименьшим расстоянием, расположенных внутри некоторой данной большой площади, решетка, составленная из равносторонних треугольников, содержит наибольшее число точек.

Если описать вокруг всех точек решетки окружности радиуса, равного половине минимального расстояния точек решетки, то получим систему кругов, которые частично соприкасаются, но нигде не перекрываются. Систему окружностей, построенных таким образом, называют решетчатой упаковкой кру- 4 6. ПЛОСКИЕ ТОЧЕЧНЫЕ РЕШЕТКИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 45 гав ').

Решетчатая упаковка кругов считается тем более плотной, чем больше кругов помещается в заданной (достаточно большой) области. В соответствии с этим решетка, составленная из правильных треугольников, дает наиболее плотную упаковку кругов (рис. 42). В качестве меры плотности упаковки кругов примем частное от деления суммы площадей всех кругов упаковки на площадь данной области. При достаточно больших областях это значение, очевидно, близко к частному от деления площади отдельного круга на площадь элементарного параллелограмма. Наибольшее значение плотности дает решетка правильных треугольников, именно: Р = и = 0,289п.

1 2»'3 В 6. Плоские точечные решетки в теории чисел Точечные решетки играют роль во многих проблемах теории чисел. Мы здесь приведем несколько примеров. Ради краткости изложения в этом параграфе мы будем предполагать у читателя несколько ббльшую математическую подготовку, чем в других местах этой книги. и 1 1 1 1, РЯд Лейбница: — '= ! — — + — — — ... Пусть 1(г), 4 3 5 У как и в $5, обозначает число точек плоской квадратной единичной решетки внутри круга радиуса и с точкой решетки в центре. Примем центр круга за начало декартовой системы координат, в которой точки решетки будут точками с целочисленными координатами.

Тогда !(и) есть число всех пар целых чисел, х, у, для которых имеет место соотношение ха+ у' ( и'. Но сумма х-"+уз представляет всегда целое число и. Иными словами, мы получим )(и), если найдем для всех целых чисел и ( гз, сколькими способами можно каждое из них представить в виде суммы квадратов двух целых чисел, и затем сложим число этих способов для всех и. Здесь имеет место следующая теорема теории чисел: число разложений целого числа и на сумму квадратов двух целых чисел равно учетверенному избытку числа делителей и вида 4й+ 1 над числом делителей вида 4А+ 8.

При этом такие разложения, как и = а'+йз, и =Ьз+а' и =( — а)'+йз и т. д., следует считать различными, так как этим разложениям соответствуют различные точки нашей решетки, Таким образом всякое разложение приводит к системе из восьми разложений (если ') В старой литературе иа русском языке употреблялся термин «расположение» (нем. саяегоия), Сейчас употребимы термины «упаковка», реже «укладка». — Прим. ред. гл. и.

пгхвильныа точячныг. спствмы ие принимать во внимание особых случаев: а = ~Ь, а = О, Ь = 0). В качестве примера рассмотрим число п = 65. Оно имеет четыре делителя 1, 5, 13, 65. Все эти делители имеют вид 41+1; делителей вида 41+3 нет. Таким образом указанный избыток в этом случае равен 4, и согласно нашей теореме число 65 должно разлагаться 16 различными способами на сумму двух квадратов (или, что то же самое, круг радиуса т/65 с центром в начале координат должен захватывать !6 точек решетки). В самом деле, имеем: 65 1з+8з и 65 4т 1 7г причем каждое разложение нужно считать 8 раз.

Если согласно этой теореме для всех целых положительных чисел а ( г' мы вычтем число делителей вида 4А + 3 из числа делителей вида 44 + 1 и сложим все разности, то получим 1 — ()'(г) — !). Однако значительно проще несколько изменить по- 4 рядок вычитаний и сложений, а именно, сперва вычислим общее число всех делителей вида 4Й + 1 для всех чисел и ( гз, а затем вычтем из этого числа общее число делителей вида 4й + 3. Чтобы получить первое число, выпишем числа вида 4А + 1 в по. рядке возрастания величины 1, 5, 9, 13, ..., отбросив все числа, превосходящие г'.

Каждое из этих чисел является делителем в точности столько раз, сколько оно имеет кратных, не превосходящих г'. Значит, 1 нужно считать 1г') раз, 5 нужно считать Ы г'ч — ~ раз, если знаком 1а) будем обозначать наибольшее целое число, не превосходящее а. Таким образом искомое общее число делителей вида 41+ 1 есть: )+~5з+~вз+ По определению символа [а1 этот ряд прерывается сам собой, как только в квадратных скобках знаменатель превысит числитель.

Таким же способом можно представить делители вида 4й+ 3; для них мы получим ряд Я+51+Я+ Теперь нужно вычесть вторую сумму из первой. Так как обе суммы конечны, то мы можем переставлять слагаемые как угодно, и это нам пригодится при переходе к пределу при г-+ оо.

Напишем результат в виде: $ а плоскиг тОчечные Решетки В теОРии чисел 47 Чтобы лучше заметить, когда обрывается наш ряд, предпогб+ 1 ложим, что г — нечетное число; тогда наш ряд имеет членов. Слагаемые имеют чередующиеся знаки и не возрастают. Г гз 1 Поэтому„если мы прервем наш ряд уже на члене !ь — ) = И = г, г ошибка не превысит величины последнего члена, именно г, следовательно, можно представить ошибку в виде ег, где 0 — пра- 1 вильная дробь. Если в оставшихся — (г+ 1) членах мы опустим квадратные скобки, то сделаем в каждом члене ошибку, меньшую единицы, и значит, во всей сумме опять-таки получим ошибку, которую можно представить в виде 0'», где 0' — правильная дробь.

Отсюда имеем: 1 гг »2 гг — (1(г) — 1) = г' — — + — — — + ... ~ г ~ ег ~ 0'г 4 3 5 7 или, разделив на г'. 1»1(г) 1Х ! ! ! ! Е+Е' — ! — — -71=1 — — + — — — + ° ° ° ~ — ~ 4~ гб г 7 3 5 7 '' г г Если г безгранично возрастает (принимая значения всех нечетных чисел), то —., стремится к и, как было доказано в $ б. Та. 100 ким образом получаем ряд Лейбница: 1 1 1 1 4 + + 3 5 7 2.

Наименьшее значение квадратичной форм ы. Пусть 1(т, и) =ат'+2Ьти+ си' — квадратичная форма с действительными коэффициентами а, Ь, с и определителем 17 = ас — Ь' =!. В таком случае а не может быть равно нулю. Будем предполагать, что а О. Тогда, как известно, 1(т, и) положительно определена, т. е. положительна для всех пар действительных чисел т, и, кроме т = и = = О. Докажем, что для любых заданных значений коэффициентов а, Ь, с (ас — Ь' = 1, а ) О) можно найти такую пару целых 2 чисел т, и, не равных нулю одновременно, что ! (т, и) ( —.

4/3 Это утверждение получается как следствие нашего исследования относительно наименьшего расстояния между точками единичной решетки. Преобразуем 7(т, и) обычным способом, воспользовавшись условием 17 = 1: '1(т, и) =(1ггат+ — и) + (л(/ — и) . ГЛ.

П. ПРАВИЛЬНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ Рассмотрим теперь в декартовых координатах на плоскости точки с координатами: ь х = ~/ат+ — и, 'Ча где т, и принимают все целочисленные значения. На основании элементарных теорем аналитической геометрии эти точки должны образовать единичную решетку. гг самом деле, они получаются из квадратной единичной решетки х = т, у = и, если подвергнуть плоскость аффинному преобразованию: х= Ъ'а~+ ~- ть .у~а ~/ „ с определителем, равным единице. Но /(т, и) =х'+ у'.