Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 4

! Н Гл. ь пРосткйшнв кРнвыв и поВРРхности 18 В дополнениях к этой главе приводятся еще два геометрических факта, которые так же, как построение с помощью фокусов, характеризуют все невыродившиеся конические сечения. Это— построение при помощи подэры и свойства директрис.

После того нак мы получили цилиндр и конус при помощи вращения прямой, естественно напрашивается мысль рассмотреть поверхности, получающиеся при вращении конических сечений. При этом будем выбирать ось вращения так, чтобы коническое сечение располагалось симметрично по отношению к ней. Тогда части кривой, лежащие по обе стороны оси, переходят одна в другую после полуоборота, так что мы получаем единственную поверхность; при другом же расположении оси получилась бы гораздо более сложная фигура. Так как эллипс имеет две оси симметрии, то он порождает две различные поверхности вращения.

В зависимости от того, будем ли мы вращать эллипс вокруг большей или меньшей осн, Рис. 12 рнс. ы. мы получим вытянутый (рис. 11) или сжатый (рис. 12) эллипсоид вращения. Общеизвестным и часто приводимым примером последней поверхности служит Земля; приближенным примером первой поверхности может служить куриное яйцо. Если уменьшать разницу в длине между большой и малой осями эллипса, то получим переходный случай между обоими эллипсоидами вращения. В этом случае, когда обе оси станут равными, эллипс превратится в круг, и мы получим при вращении шар. Так как шар симметричен относительно любого из своих диаметров, то его можно получить вращением бесчисленным множеством способов. В этом и состоит отличительное свойство, характеризующее шар: шар ') — единственная поверхность, которую можно получить вращением более чем одним способом. Парабола имеет лишь одну ось симметрии и дает единственную поверхность вращения — параболоид вращения (рис, 13). ') Здесь сохранена идущая от авторов терминологическая вольность= слово «шар» употребляется и для обозначения сферы, †Пр.

Рад. Э Х иИЛИНДР И КОНИС; КОНИЧВСКИЕ СЕЧЕНИЯ 19 Наоборот, гипербола порождает две различные поверхности вращения. В зависимости от того, происходит ли вращение вокруг линии, соединяющей фокусы, или вокруг перпендикулярной к ней прямой, проходящей через ее середину, мы получаем двуполостный (рис. 14) или однополостный (рис.

15) гиперболоид Рис. !4. Рис. !3. вращения. Здесь следует отметить тот поразительный факт, что на поверхности однополостиого гиперболоида лежит бесконечное множество прямых; именно эту поверхность можно получить также путем вращения прямой вокруг другой прямой, не лежащей с ней в одной плоскости (до сих пор мы познакомились Рис. !7. Рис. 16. лишь с такими поверхностями вращения, у которых ось лежит в одной плоскости с образующей кривой). Доказательство этого может быть проведено только аналитическим путем.

Однако можно непосредственно убедиться, что подобным построением можно получить эту поверхность двумя способами. В самом деле, рассмотрим прямую д' (рнс. !6), симметричную с прямой и, образующей нашу поверхность, по отношению к плоско сти, проходящей через ось а. Прямая и' должна образовать прн вращении ту же самую поверхность, что и прямая и. В соответствии с этим однополостный гиперболоид вращения содержит два семейства прямых, причем каждое семейство само Гл. ь пРостеишии кРиВые и поВВРхности 20 по себе целиком покрывает всю поверхность, и прямые обоих семейств так расположены, что каждая прялзая одного семейства пересекает каждую прямую другого семейства (или параллельна ей), между тем как две прямые одного и того же семейства расположены всегда в разных плоскостях (рис.

17). $ 3. Поверхности второго порядка Поверхности, получающиеся путем вращения конических сечений, являются частными случаями более общего класса поверхностей, называемых из аналитических соображений поверхностями второго порядка; это — поверхности, точки которых в декартовых пространственных координатах удовлетворяют уравнению второй степени. Отсюда легко вывести аналитически, что эти поверхности обладают той особенностью, что любая плоскость пересекает их по кривой второго порядка, т. е.

по некоторому (собственному или несобственному) коническому сечению. Далее, если из некоторой точки провести всевозможные касательные к поверхности второго порядка, то они образуют конус, пересечение которого с любой плоскостью также дает коническое сечение. Конус этот соприкасается с поверхностью также по некоторому коническому сечению. Поверхности второго порядка — единственные поверхности, все плоские сечения которых являются кривыми второго порядка '). Рассмотрим теперь различные типы поверхностей второго порядка. Из кругового цилиндра путем обобщения получается эллиптический цилиндр.

Этот цилиндр образует прямая, движущаяся по эллипсу, перпендикулярная к его плоскости. Таким же способом, положив в основание параболу или гиперболу, получим параболический или гиперболический цилиндр (рис. 18 и 19). Соответствующее обобщение кругового конуса дает общий конус второго порядка. Его мы получим, если соединим все точки какого-нибудь собственного конического сечения с некоторой точкой, расположенной вне плоскости этого конического сечения.

Следует при этом заметить, что в противоположность случаю с цилиндром мы не получаем различных типов поверхностей, когда исходим от эллипса, от параболы или от гиперболы; как мы угке видели, плоскость может образовать в пересечении с одним н тем >ке конусом все три конических сечения, в пересечении же с одним и тем же цилиндром этого получить нельзя. ') Из указанного только что свойства следует, что прямая, ие совпа. даюшан с поверхностью ца протяжении целого отрезка, может иметь с ней не более лвух обших точек; олнако последним свойством облалают помимо поверхностей второго порядка многие другие поверхности, например поверхность куба.

$ а ПОВВРХНОСТН ВТОРОГО Порядка Конус и эллиптический цилиндр можно получить из соответствующих поверхностей вращения также путем деформации, которая называется растяжением. Закрепим неподвижно нее точки какой-нибудь плоскости, проходящей чепез ось вращения, Рис. 18. Рис. 19. и г редставим себе, что все остальные точки пространства сдвинуты по направлению к неподвижной плоскости или отодвинуты в противоположном направлении так, что расстояния всех этих точек от неподвижной плоскости изменились в одном .и том же отношении.

Можно доказать, что такое преобразование переводит все круги в эллипсы (или в круги). Далее, оно переводит все прямые в прямые же, все плоскости в плоскости') н все кривые и поверхности Второго порядка опять-таки в кривые и поверхности второго порядка. Применяя растяжение к вытянутому или сжатому эллипсоиду врашения, получим эллипсоид самого общего вида. В то время как вся- Рнс. 20. кий эллипсоид вращения симметричен по отношению к любой плоскости, проходящей через ось вращения, эллипсоид самого общего. вида имеет всего только три плоскости симметрии, которые. расположены перпендикулярно друг к другу, Отрезки трех линий пересечения этих плоскостей, заключенные внутри зллипсоида, имеют неравную длину; они называются «большой», «средней» и «малой» осямн эллипсоида (рис. 20), ') Изменение формы различных 'фигур, расположенных на плоскости при .»том такое же, как при параллельной проекции плосностн иа другую плоскость, наклоненную под некоторым углом по отношению к первой.

ГЛ. Ь ПРОСТЕИШИЕ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ Из трехосного эллипсоида можно снова получить вытянутый или сжатый эллипсоид вращения, если, применив преобразование растяжения, сделать равными друг другу большую и среднюю или среднюю и малую оси. Форму трехосного эллипсоида часто принимают камни на морском берегу. Вода морского прибоя, шлифуя камни, постепенно придает любого вида камню форму, наиболее близкую к эллипсоиду. Математическое исследование этого явления приводит к вопросам теории вероятностей. Наиболее общими поверхностямн, получающимися путем растяжения гиперболоидов вращения и параболоида вращения, яв.ляются однополостный и двуполостный гиперболоиды и эллиптический параболоид.

Оба гиперболоида имеют по три плоско. сти симметрии, а эллиптический параболоид — две. Так как всякое растяжение переводит прямые линии в пря- мые же, то однополоатный гиперболоид общего вида обладает .тем же свойством, что и соответствующая поверхность врашения: на нем расположены два семейства прямых. Они расположены так же, как и на однополостном гиперболоиде вращения, т.

е. всякая прямая одного семейства пересекается со всякой прямой другого семейства, в то время как прямые одного и того же семейства не пересекаются друг с другом, будучи рас. положены в разных плоскостях. Отсюда получаем следуюший способ построения однополостного гиперболоида. Возьмем три произвольные прямые одного семейства (рис. 2!). Так как они расположены в разных плоскостях, то через лю.

рР бую точку Р одной из этих прямых можно провести одну и только одну прямую р, которая пересечет две другие прямые; это будет линия пересечения двух плоскостей, одна из которых проходит через точку Р н Вторую прямую, а другая — через точку Р и третью прямую. Прямая р имеет три общие точки с гиперболоидом и„следовательно, должна целиком лежать на гиперболоиде, так как гиперболоид как поверхность второго порядка не может пересекаться с прямой более чем в двух точках. Если мы заставим точку Р пробегать всю первую прямую, то соответствуюшая прямая р пробежит все прямгяе того семейства, к которому не принадлежит первая прямая. Если теперь из этого второго семейства снова взять три произвольные прямые, .то таким же способом мы получим прямые первого семейства, в том числе, конечно, и три взятые первоначально прямые. Само з 3.