Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 5

ПОВРРХНОСТИ ВТОРО!0 ПОРЯДКА построение показывает, что все прямые одного и того же семейства расположены в разных плоскостях: если бы прямые р и р' (рис. 21) пересекались в некоторой точке Я, то взятые первоначально прямые лежали бы в плоскости РР'Я, между тем как они по условию лежат в разных плоскостях. Таким образом три прямые, расположенные в разных плоскостях, всегда определяют некоторый однополостиый гиперболоид, за исключением того случая, когда взятые три прямые параллельны одной и той же плоскости (не будучи параллельными между собой).

В этом случае они определяют новую поверхность второго порядка, которая не может быть получена нз поверхностей вращения; оиа называется гиперболическим параболоидом. Эта поверхность по своему виду напоминает седло (рис. 22). Она имеет две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, которые пересекают поверхность по параболам. Так Рис, 22. же как н три исходные прямые, в этом случае все прямые каждого из двух семейств параллельны некоторой плоскости, Из рассмотрения поверхности непосредственно видно, что никакая плоскость не может пересечь эту поверхность по эллипсу, так как всякое плоское сечение должно простираться в бесконечность. Поэтому невозможно получить гиперболический параболоид из поверхности вращения с помощью растяжения: ведь иа всякой поверхности вращения расположены окружности, которые при растяжении переходит в эллипсы.

Мы здесь познакомились с новым способом построения поверхностей: берут подвижную прямую, которую заставляют передвигаться по некоторой направляющей, закрепленной в определенном положении в пространстве. Полученные таким образом поверхности называются лииейчатыди поверхностями. Мы видим, что между девятью поверхностями второго порядка имеются шесть лииейчатых, именно: три цилиндра, конус, одиополостиый гиперболоид и гиперболический параболоид; последние две поверхности занимают исключительное положение: это единственные линейчатые поверхности, помимо плоскости, обладающие тем свойством, что через каждую их точку проходит более одной прямой. Гл.

ь пРостеншие кРивыР и повеРхности Остальные три поверхности второго порядка — эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостиый гиперболоид — не .могут содержать прямых целиком уже потому, что оии не Рис. 23. простираются в бесконечность непрерывно в двух противоположных направлениях.

Можно доказать поразительную теорему относительно двух семейств прямых, расположенных иа однополостиом гипербо э 3. Йозвгхностн ВТОРОГО погадка лоиде и гиперболическом параболоиде. Вообразим все прямые одной из этих поверхностей в виде жестких стержней, скрепленных в точках пересечения так, что онн могут вращаться вокруг этих точек, но не скользить одна по другой. Казалось бы, что при таком скреплении стержни должны представлять жесткую конструкцию. На самом же деле эта конструкция подвижна (рис. 23).

Аналитическое обоснование подвижности этой конструкции дано в дополнении к настоящей главе. Для того чтобы представить себе изменение формы гиперболоида, которое при этом происходит, вообразим, что плоскость симметрии гиперболоида, пересекающая его по эллипсу, закреплена неподвижно в горизонтальном положении, и постараемся деформировать нашу конструкцию таким образом, чтобы зта плоскость все время оставалась плоскостью симметрии. Так как однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид— единственные поверхности, у которых через каждую точку проходят две прямые, лежащие на поверхности, то наша стержневая модель, деформируясь, может либо перейти в гиперболический параболоид, либо остаться однополостным гиперболоидом; можно показать, что имеет место последний случай.

Мы можем попытаться поднимать прямые нашей конструкции все круче по отношению к плоскости симметрии. Тогда мы будем получать поверхности, все более сплющенные; эллипсы, расположенные в плоскости симметрии, будут принимать вид софокусных эллипсов семейства, приведенного в $1, становясь все более сжатыми. Наконец, в пределе наша конструкция совпадет с вертикальной плоскостью, а стержни превратятся в касательные к некоторой гиперболе, расположенной в этой плоскости.

Эллипс, расположенный в горизонтальной плоскости симметрии, выродится в дважды покрытый прямолинейный отрезок. Точно так же мы можем деформировать первоначальную модель в обратном направлении, все больше наклоняя стержни„приближая их к |оризонтальиой плоскости. Прн этом горловой эллипс поверхности будет все более резко обозначаться; в пределе наша конструкция совпадет с горизонтальной плоскостью симметрии, а стержни сделаются огибающими эллипса, лежащего в этой плоскости. В случае гиперболического параболоида мы имеем аналогичное явление: соответствующая конструкция постоянно сохраняет форму параболонда и в обоих предельных случаях совпадает с некоторой плоскостью, причем прямые превращаются в огибающие некоторой параболы.

Поверхности второго порядка можно разбить иа два вида еще с другой точки зрения. Три поверхности второго порядка— именно, гиперболический и параболический цилиндры и гиперболический параболоид — не могут пересекаться с какой бы то ии ГЛ. !. ПРОСТЕЙ!НИЕ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ было плоскостью по окружности, так как любое плоское сечение этих поверхностей простирается в бесконечность.

Наоборот, можно доказать, что на остальных шести поверхностях всегда расположено бесчисленное множество окружностей. С этим связано то обстоятельство, что эти поверхности в противоположность первым трем могут быть присоединены к группе поверхностей вращения. Для того чтобы убедиться в существовании круговых сече~ий, рассмотрим трехосный эллипсоид (рис. 24). Эта поверхность в пересечении со всеми плоскостями, проходящими через среднюю ось Ь, образует эллипсы, у которых одна ось постоянна, а именно равна Ь.

Если мы возьмем плоскость, проходящую через ось Ь и а через малую ось с, и станем вращать ее вокруг оси Ь до совпадения с плоскостью, проходящей через ось Ь и через большую ось а, то будем получать в пересечении с поверхРис. 24. постыл эллипсы, у которых вторая ось сначала будет меньше оси Ь, а затем больше Ь. Значит, должно быть какое-то промежуточное положение плоскости, при котором обе оси эллипса равны, и следовательно, кривая, получающаяся в сечении, обращается в окружность. Вследствие симметрии эллипсоида мы получим путем зеркального отражения в плоскости, проходящей через Ь и с, еще одну плоскость, проходящую через Ь и дающую в пересечении с эллипсоидом окружность. Далее можно доказать, что всякое сечение эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости одного из круговых сечений, также дает окружность. Таким образом на всяком эллипсоиде имеются два семейства параллельных окружностей (рис.

25, а, б). В случае эллипсоида вращения оба семейства окружностей совпадают. Так же как для эллипсоида, можно провести подобное рассуждение и для других поверхностей второго порядка, которые имеют замкнутые плоские сечения. Для двух семейств круговых сечений имеет место предложение, аналогичное предложению относительно прямых, расположенных на однополостном гиперболоиде. Именно, если закрепить все окружности в точках пересечения так, чтобы они могли вращаться без скольжения вокруг этих точек, то полученная конструкция будет не жесткой, а подвижной (рис. 25, а, б; круги сделаны из картона с соответствующими прорезями и вставлены друг в друга; читатель может убедиться, что такая модель лишь незначительно уклоняется от нашего описания).

% 4. ПОСТРОЕНИЕ Э>>ЛИПСОИДА При изменении формы подвижной модели, составленной из круговых сечений, возникают не те семейства поверхностей, которые получались в случае стержневой модели; конические сечения, расположенные в плоскостях симметрии, при этом вообще не пробегают кривых некоторого софокусного семейства. Так, подвижная модель круговых сечений трехосного эллипсоида всегда может быть превращена в шар; в этом случае сечение с каждой плоскостью симметрии дает окружность, между тем как в случае семейства софокусных эллипсов эллипс никогда не вырождается в окружность. Так же как в случае стержневой модели, подвижность модели из круговых сечений допускает изменение формы модели вплоть до того, что поверхность переходит в дважды покрытый эллипс.

Несмотря на большое различие между обоими видами моделей, имеется переходный случай, связывающий ту и другую модель. Именно, можно рассматривать подвижную стержневую модель гиперболического параболоида как предельный случай модели, составленной из круговых сечений, когда радиусы кругов бесконечно велики, т. е, круги превратились в прямые. Если имеется семейство однополостных пшерболоидов, которые, изменяясь все больше, приближаются по виду к гиперболическому Рис. 25. параболоиду, то окружности, расположенные на гиперболоиде, так >ке как и прямые, переходят в семейство прямых параболоида.

й 4. Построение эллипсоида и софокусных поверхностей второго порядка при помощи нити Поверхности второго порядка играют в пространстве роль, аналогичную роли конических сечений на плоскости. Естественно возникает вопрос, нельзя ли перенести на эти поверхности способ построения при помощи нити, употребляемый для вычерчи. вания эллипса. Этот вопрос был разрешен положительно для Гл.