Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 2

Пусть читатель прогуливается в огромном саду геометрии, в котором каждый может саста» вить себе такой букет, какой ему нравится. Основу этой книги составили четырехчасовые лекции «Наглядной геометрии», которые я читал зимой 1920/21 г. в Геттингене и которые обработал В. Роземан. В основном содержание и построение нх остались неизменными. В деталях С. Кон-Ф оссен многое переработал и частично расширил.

Давид Гильберт Геттинген, июнь 1932 г. Глава 1 ПРОСТЕИШИЕ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ 5 1. Плоские кривые Простейшая поверхность — плоскость, простейшие кривые— плоские кривые, простейшая среди последних — прямая, Прямую можно определить либо как кратчайший путь между двумя точками, либо как линию пересечения двух плоскостей, либо как ось вращения. Следующей — в порядке возрастания сложности — кривой является окружность. Уже эта кривая послужила исходной точ. кой для столь многочисленных н столь глубоких исследований, что они могли бы сами по себе заполнить содержание целого курса, Мы определяем окружность как кривую, все точки которой отстоят на 1 равном расстоянии от данной точки. Мы н получаем окружность общеизвестным построением при помощи циркуля или па- з тянутой нити.

Самое построение наглядно показывает, что окружность есть замкнутая, на всем протяжении выпуклая кривая; позтому через каждую точку окружности можно провести определеннуюпрямую— касательную, имеющую с окружностью Рнс. к только одну общую точку, точку касания, а в остальной части лежащую целиком нне окружности (рнс. 1). Радиус МВ, проведенный в точку касания В, должен быть кратчайшим расстоянием от центра М круга до касательной 1, ибо все точки последней„ за исключением точки касания, лежат вне круга н, следовательно, отстоят от центра дальше, чем точка касания. Отсюда далее следует, что этот радиус перпендикулярен к касательной, Для доказатель.

ства построим зеркальное изображение центра М относительно прямой 1, т. е. опустим перпендикуляр нз точки М на прямую 1 и продолжим его на равное расстояние до точки М', тогда М' называется зеркальным изображением точки М. А так как МВ есть кратчайшее расстояние от М до 1, то из соображений симметрии М'В также должно быть кратчайшим расстоянием от М' до 1, 1О ГЛ.

Ь ПРОСТЕЙШИЕ КРИВЫЕ И ПОВЬРХНОСТИ Следовательно, МВМ' должно быть кратчайшим расстоянием между М и М', и, значит, линия МВМ' не может иметь излома в точке В, т. е. МВ действительно является перпендикуляром к й Само собой напрашивается обобщение построения окружности, а именно: при построении окружности с помощью нити мы брали связанную нить, закрепляли ее конец в неподвижной точке, центре круга, и, натягивая нить, вычерчивали кривую. Если же закрепить связанную нить не в одной, а в двух точках, томы получим кривую, похожую на окружность, называемую эллипсом. Обе точки закрепления нити называются фокусами эллипса. Рис.

2. Рис. 3. Построение с помощью нити показывает, что эллипс можно определить как кривую, точки которой имеют постоянную сумму расстояний от двух данных точек. Сближая обе точки, мы получим окружность как предельный случай эллипса. Всем упомянутым свойствам окружности соответствуют простые свойства эллипса. Эллипс также замкнут, всюду выпуклый и имеет в каждой своей точке касательную, которая, за исключением точки касания, целиком лежит вне эллипса. Радиусам окружности соответствуют в эллипсе две прямые, соединяющие точку эллипса с фокусами.

Они называются радиусами-векторами точки эллипса. Тому факту, что касательная к окружности перпендикулярна к радиусу в точке касания, соответствует в случае эллипса то, что касательная образует равные углы с радиусами-векторами, проведенными в точку касания. Это утверждение означает, что на рис. 2: ~ Е~ВТ~ = ~ РсВТ,. Для доказательства (рис. 3) построим зеркальное изображение точки гэ относительно касательной и обозначим его Я.

Прямая Р~Л, которая пересекается с касательной в некоторой точке Вь есть кратчайшее расстояние между г"1 и Я. Следовательно, Р~В1рэ есть кратчайший путь от г1 к Рь нмеющнй общую точку 9 ь плОские кгивыв с касательной, ибо для всякой иной точки Вз касательной Р,В,Рз = Р ВзРз будет больше, чем Р,В,Рз — Р1В~Ж С другой стороны, кратчайшийпуть между Р~ и Рь имеющий общуюточку с касательной, образуют радиусы-векторы, проведенные в точку касания В, ибо всякая другая точка касательной, как расположенная вне эллипса, имеет ббльшую сумму расстояний от фокусов, чем точка В эллипса; значит, точки В и В1 совпадают, л отсюда и вытекает наше утверждение, ибо Рз и Рз расположены симметрично относительно прямой Т,Ть а ~Р,В~Т, есть вертикальный для ~ Р,'В|Ть Это свойство касательной к эллипсу находит применение в оптике, чем и объясняется название «фокусы». Именно, если поместить источник света в одном фокусе, то лучи, зеркально отраженные от эллипса,соберутся в другом фокусе.

Не так легко, как построение эллипса, хотя принципиально столь же просто, построение кривой, у которой разность расстояний ее точек от двух неподвижных точек постоянна. Эта кривая называется гиперболой, а неподвижные точки — ее фокусами. Для каждой точки В или В' кривой (рис. 4) должно удовлетворяться или соотношение Р~ — РзВ = а = сопз1, или РзВ' — Р~В' = и. Соответственно этому гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Вид гиперболы наглядно показывает, что кривая эта всюду выпукла и имеет касательную во всякой точке. Ниже (с. 17, примечание) будет показано, что и в случае гиперболы касательная к кривой имеет с этой кривой только одну общую точку — именно точку прикосновения.

Так же, как и в случае эллипса, можно показать, что касательная к гиперболе делит пополам угол между радиусами- векторами, проведенными в точку касания (рис. 6, с. 13). Из эллипса с помощью предельного перехода можно получить новую кривую — параболу (рис. 5). Для этого оставим один фокус, например Рь и ближайшую к нему вершину 5 эллипса неподвижными (вершинами эллипса называются точки пересечения кривой с прямой, соединяющей ее фокусы). Будем теперь рассматривать эллипсы, получающиеся при перенесении второго фокуса Ра все далее от точки Р1 на продолжение прямой 5Рб эти эллипсы стремятся к некоторой предельной кривой, которая и есть парабола. Из самого предельного перехода можно вывести простое определение параболы.

Именно, при вычерчивании эллипса с помощью нити мы можем заметить, что если карандаш находится вблизи тс |ки Я (рис. 5), то при достаточно большом расстоянии между Р, и Рз отрезок нити, соединяющей карандаш 12 ГЛ. 1. ПРОСТЕЙШИЕ КРИВЫС И ПОВЕРХНОСТИ с точкой Рз, почти параллелен линии ЯРР Следовательно, если в некоторой точке 1. прямой Р1РХ восставить перпендикуляр ( к Р1РЙ то приближенно будем иметь: Р В+ ВРЕ=РВ+ Вй'+ СР,=сопз1 (где ь'' — основание перпендикуляра, опушенного из точки В на прямую ().

Если теперь ввести новую постоянную, равную сопз1 — ЬРХ (ЬРХ имеет постоянное значение для каждой кривой), то будем иметь: Р1В+ ВЬ'=сопзй Это соотношение будет удовлетворяться с тем большей точностью, чем больше расстояние Р|РЙ а для предельисй крсзой Рис 5. оно будет вполне точно.

Таким образом парабола есть кривая, для точек которой сумма расстояний от некоторой определенной точки и некоторой определенной прямой постоянна или (что приводит к тому же) такая кривая, точки которой отстоят на равном расстоянии от некоторой постоянной точки и некоторой по. стоянной прямой. Мы получим эту последнюю прямую, если проведем прямую, параллельную ( и расположенную по другу1О сторону от точки 5 на расстоянии, равном ЯР~,' она называется директрисой параболы. Если вообразить, что парабола представляет собой отражающее зеркало, то она должна отражать все лучи, падающие параллельно Р15, в точку Ри это также следует из предельного перехода. Мы рассмотрели семейство эллипсов, имеющих общую вершину и общий ближайший к этой вершине фокус.

Теперь рассмотрим семейство всех эллипсов, имеющих общие фокусы. Это $1. ПЛОСКИН крнвыс семейство «софокусных» эллипсов покрывает плоскость однократно и непрерывно, т. е. через каждую точку плоскости проходит одна и только одна кривая семейства; действительно, каждой точке соответствует вполне определенная сумма расстояний от этой точки до фокусов, и следовательно, каждая точка принадлежит тому эллипсу, котороыу соответствует эта сумма расстояний '). Возьмем еще семейство гипербол, имеющих эти же взятые нами точки в качестве фо;усов. Это семейство также покрывает плоскость однократно и непрерывно').

Так что через каждую точку плоскости проходят в точности две кривые системы, состоящей из софокусных эллипсов и гипербол (рис. 6). В каждой точке (за исключением фо. кусов) касательные к проходящим через эту точку двум кривым †эллип и гиперболе †дел пополам угол между радиусами-векторами взятой точки и смежный с ним угол; следовательно, касательные эти взаимно перпендикулярны. Таким образом софокусные эллипсы и гиперболы образуют два «взаимно ортогональных семейства кривых» (два се- Рнс. 6. мейства называются ортогональными, если каждая кривая одного семейства пересекает каждую кривую другого семейства под прямым углом; угол пересечения двух кривых определяется как угол между касательными к этим кривым, проведенными в точке пересечения). Теперь, чтобы получить наглядное представление о нашей системе кривых (рис.

7), начнем с прямой, перпендикулярной к отрезку г1гя, проходящей через его середину, и затем рассмотрим семейство гипербол. Мы видим, что гиперболы становятся все более сжатымн и, наконец, переходят в полупрямые, служащие продолжением отрезка Р1Рз вправо и влево. При этом плоскость целиком заполняется гиперболами.