Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 8

Точка Р должна лежать на этой поверхности, как это следует из выражения (1). Пусть точка 11 есть другая точка той же самой поверхности, которая принадлежит той же прямой, расположенной на взятой поверхности, что и точка Р. Это требование равчосильно тому, чтобы удовлетворялись уравнения 4 з подвижная стегжневая модель гипвгволоида 39 Последнее выражение в квадратных скобках исчезает в силу уравнений (1), (2) и (3), и мы получаем: (х — у )з "-Х (4) Пусть теперь в выражение (1) вместо Х подставлено значение Х', которое также определяет некоторый однополостный гиперболоид. Это имеет место тогда и только тогда, когда знаки разностей а~ — Х и а~ — А' одинаковы для всякого ь'.

В соответствии с этим формулы (5) определяют действительное аффинное преобразование. Очевидно, преобразование (5) переводит поверхность (1) в однополостный гиперболоид, софокусный с (1); обозначим его через (1'). Если точки Р'(х',) и Я'(у,') суть изображения точек Р и (~, даваемые преобразованием (5), то прямая Р'Я' лежит целиком на поверхности (1'), ибо она представляет изображение прямой РО, Наше утверждение будет доказано, если мы покажем, что расстояние Р'О„' = г' осталось равным Р(1, т. е. г'= г. Но для г' мы имеем формулу, аналогичную формуле (4): (х~ — у~) ! (4') Из (5) следует: (х', — у',)' (х, — у,.)' (! 1,2,3), так что в силу (4) и (4') действительно имеем: г=г'. Если мы примем Х за постоянное, а Х' за переменное, то преобразование (5) даст нам кривые, описываемые точками стержневой модели, когда последняя деформируется, сохраняя свои плоскости симметрии.

Эти кривые, как показывает простое вычисление, представляют кривые пересечения эллипсоида, софокусного с гиперболоидом (1), и двуполостного гиперболоида. Глава П ПРАВИДЪНЪ|Е ТОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ В этой главе мы рассмотрим метрические свойства пространства с новой точки зрения. Если до сих пор мы имели дело с кривыми и поверхностями, т.е. с непрерывными образами, то теперь мы переходим к таким системам, которые построены из дискретных элементов. Такие системы.

встречаются часто в некоторых отделах математики, в частности в теории чисел и теории функций, а также в кристаллографии '). й 5. Плоские точечные решетки Чрезвычайно простую фигуру, состоящую из дискретных частиц, представляет плоская квадратная точечная решетка (рис. 39), Чтобы получить эту решетку, отметим на плоскости четыре вершины квадрата, площадь которого равна единице, затем сдвинем квадрат параллельно одной из его сторон на длину, равную стороне квадрата, и отметим две вновь получившиеся вершины. Представим себе, что этот процесс мы продолжаем до бесконечности сперва в одном направлении, а затем в противоположном, Таким образом мы получим на плоскости полосу, состоящую из двух рядов равноотстоящих точек. Сдвинем эту полосу в перпендикулярном к ней направлении на длину стороны квадрата, отметим вновь получившиеся точки и представим себе, что и этот процесс продолжен в обе стороны до бесконечности, Совокупность точек, отмеченных таким образом, ') В той части дальнейших строк, которая касается кристаллографии, обозначения не всегда соответствуют употребительным кристаллографическии тсриинаи.

В пределах простого геометрического рассмотрения, которыя мы ограиичивземся, принятые здесь названия часто короче и выразительнее, В связи с этой главой си. кнл Ш у б н и к о з А. В., К о н и и к В. А. Симиетрия в науке и искусстве. — Мл Наука, 1972; Ф е до р о а Е. С. Правильное деление плоскости и пространства. — Лл Наука, 1979; О г ю ст Б р а. в э. Избранные научные труды. — Лл Наука, 1974 и комментарии к последним двум киигаи. Си. также Тр. МИАН т. !52.

В этих же книгах см, библиографию. -Прим ред, 4 к плоские точечные Решетки 41 образует квадратную точечную решетку; ее можно определить так же как множество точек с целочисленными координатами в декартовой системе координат на плоскости. В этой решетке можно образовать из четырех точек также н другие фигуры, а не только квадраты, например параллелограммы. Легко убедиться, что эту решетку можно построить, исходя не от квадрата, а от параллелограмма, если только параллелограмм кроме своих вершин не содержит ни внутри себя, ни на сторонах никаких других точек решетки (в противном случае мы получили бы нашим построением не все точки решетки).

Из рассмотрения каждого такого параллелограмма можно видеть, что он имеет такую же площадь, как и исходный квадрат (рис. 39); строгое доказательство этого будет дано на с. 42 — 43. Уже эта простая решетка послужила исходным пунктом для важных математических исследований, первое из которых принадлежит Гауссу. Гаусс пытался определить число 7"(г) точек решетки, расположенных на площади круга радиуса г; при этом центр круга должен был быть тОЧКОй рсшсткн а г — цепь!м о о о о а о о а о о а о а о а о ЧИСЛОМ.

о о о о а о о о а а о а о о Гаусс нашел эмпирически это число для многих значений г, например: г= 1О ((г) = 3!7 а о о о г= 20 ((г)= 1257 о а г= 30 ((г) = 2821 г = 100 ( (г) 31 417 о о а о г=200 ((г)= !25629 а о о о о о г = 300 ( (г) = 282 697 Рассмотрение функции 7'(г) дает метод вычисления значения и. Так как каждый эле. Рис. 40. ментарный квадрат решетки имеет площадь, равную единице, то )(г) равно пло!дади Р, составленной пз всех тех элементарных квадратов, у которых левая нижняя вершина лежит внутри или на границе круга (рис. 40). Таким образом !(г) отличается от площади круга г'и не более чем на величину площади А(г) тех добавленных или опущенных квадратов, которые пересекаются окружностью: ~ ) (г) — гЪ! ( А (г), ГЛ.

И. ПРАВИЛЬНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ я = 3,1417 и = 3,140723 я = 3,14107 Одним из применений формулы (1) служит доказательство утверждения, приведенного на с. 41, что плошадь каждого параллелограмма, пользуясь которым можно построить квадратную точечную решетку («основного» параллелограмма), равна единице. С этой целью для каждой точки решетки, попавшей в круг, указываем одним и тем же способом параллелограмм, для которого она служит вершиной, и сравниваем площадь )ч, составленную из этих параллелограммов, с площадью круга. Здесь опять разность между обеими площадями меньше площади В(г) кругового кольца, внешний и внутренний радиусы которого равны г+ с и г — с, где с есть наибольшее расстояние (не за. висящее от г) между двумя точками основного параллелограмма. Если плошадь последнего равна а, то площадь Р равна а )(г), и мы получаем формулу ) а) (г) — г~п ) ) В(г) = 4гся, т.

е. имеем: 1пп — = —. 1(г) я г-»а $ Для оценки А(г) достаточны несложные выкладки. Наибольшее расстояние между двумя точками элементарного квадрата равно т/2 Следовательно, все квадраты, пересекающиеся с окружностью, расположены в круговом кольце шириной 2.у'2, внешний и внутренний радиусы которого равны г+ тгг2 и г — ~/2. Площадь этого кругового кольца равна: В (г) = ) (г + 1/2 ) — (г — .(г'2 ) 1 и = 4 1ггй гп.

Но А(г)( В(г); следовательно: Отсюда при помощи предельного перехода получается искомая формула: 1пп —, = и. 7 (г) (1) Г.Ф О Если подставить в эту формулу значения функции 7" (г), найденные Гауссом, то получаются следующие приближения к и = 3,14159 ...: г 1О я 3.17 г 100 г =20 я=3,1423 г= 200 г= 30 я =3,134 г =300 43 эв. плоские точечные решетки Но выше было доказано, что 1пп —, = и. 1 (г) гч,.ь ге Отсюда ') следует наше утверждение: а = 1. Теперь обратимся к рассмотрению более общих «еднннчных решеток», т.

е. решеток, которые можно образовать нз произвольного параллелограмма с площадью, равной единице, таким же образом, как квадратную решетку из квадрата. Здесь также различные параллелограммы могут образовать одну н ту же решетку, но для этого все онн должны иметь площадь, равную единице; это можно доказать таким же способом, как для квадратной решетки. Для каждой такой единичной решетки наименьшее расстояние с между двумя точками решетки есть характеристическая величина. Существуют единичные решетки со сколь угодно малым с, например такие, которые составлены нз прямоугольников 1 со сторонами с н — .

Но, очевидно, с не может быть как угодно с ' велико, иначе решетка не могла бы быть единичной. Значит, с имеет верхнюю границу. Мы ее сейчас определим. Пусть нз произвольной единичной решетки выбраны дветочкн с кратчайшим расстоянием с между ними 1рнс. 41). Проведем через этн точки прямую д; — — -е — — -- ° --- — — э-- — - — а-— тогда по определению рещетки на этой прямой долж- /. ны лежать другие точки на (! расстоянии с; точно так же С! прямая й, параллельная я н отстоящая от нее на рас- с ! стояние —, должна содер- с ' жать бесконечное множество точек решетки; наобо. Рис. 41.

рот, полоса, расположенная между этими прямыми, не должна содержать нн одной точки решетки; оба последних утверждения следуют нз того, что наша решетка — единичная, Опишем теперь окружности радиуса с вокруг всех точек решеткн, расположенных на прямой я. Совокупность этнх кругов покрывает полосу, отграниченную от остальной плоскости ') В этом доказательстве можно было взять вместо площади круга любую другую часть плоскости, границу которой можно покрыть полосами, сколь угодно узкими по сравнению со всей площадью. ГЛ. П. ПРЛВИЛЬНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ 44 дугами круга. Всякая точка внутри этой полосы расположена на расстоянии, меньшем с, по крайней мере от одной точки решетки и, значит, не может быть точкой решетки по определению.